20 § 2 Erste Fragestellungen der griechischen Mathematik Man sagt

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§ 2 Erste Fragestellungen der griechischen Mathematik
Man sagt, dass sich die griechische Mathematik zum ersten Mal von der ägyptischen
und der babylonischen Mathematik durch die Überlegungen von Thales absetzt. Leider
sind die Quellen, die etwas über die ”mathematischen” Leistungen von Thales aussagen
könnten, erst viele Jahre nach dessen Tod geschrieben worden. Ihre Aussagekraft ist daher
in einigen Punkten anzuzweifeln:
Mehrfach wird bezeugt, dass Thales auf Reisen auch in Ägypten war. Er soll den ionischen
Seeleuten beigebracht haben, sich auf See nicht nach dem grossen Bären, sondern nach dem
kleinen Bären zu orientieren. Nach Aristosteles soll Thales gezeigt haben, dass man mit der
Wissenschaft auch reich werden kann. Er habe nämlich auf Grund seiner astronomischen
Kenntnisse eine gute Ölernte vorausgesehen und deshalb schon im Winter alle Ölpressen
in Milet und auf Chios gemietet und auf diese Weise nachher einen grossen Gewinn erzielt.
In der Mathematik habe Thales allgemeine Sätze aufgestellt und gelegentlich nach den Ursachen ihrer Gültigkeit gefragt. Die sichersten Angaben über die mathematischen Leistungen von Thales enthält der Kommentar des Proklos (* 18.2.412 in Byzanz, dem heutigen
Istanbul, †17.4.485 in Athen) zum
1. Buch von Euklids Elementen:
1) Thales hat ”erkannt und ausgesprochen”, dass die Basiswinkel im gleichschenkligen
Dreieck gleich sind.
2) Thales habe gefunden, dass die Scheitelwinkel gleich sind, einen Beweis habe aber
erst Euklid für erforderlich gehalten. (Wenn zwei Dreiecke zwei Winkel und eine Seite
gleich haben, dann sind auch die übrigen Seiten und der übrige Winkel einander
gleich.)
3) Thales habe zuerst ”bewiesen”, dass der Kreis durch den Durchmesser halbiert wird.
Inhaltlich befassen sich die Aussagen des Thales zumeist mit dem Umfeld des Winkelbegriffs. Ob Thales eine genaue Defininiton des Winkels (als Neigung zweier Linien zueinander) gegeben hat, ist unbekannt. Ebenso unbekannt ist, ob oder wie Thales Winkel
gemessen hat. Sinnvoll wäre gewesen, einen Winkel durch den zugehörigen Kreisbogen zu
messen.
Wir beziehen uns bei Euklids Elementen auf das 13 Bücher umfassende Gesamtwerk,
das erfolgreichste mathematische Buch der Weltgeschichte; es ist mehr als 2 Jahrtausende Grundlage mathematischen Unterrichts gewesen. Die überlieferte Fassung geht wahrscheinlich auf eine Zusammenfassung (mit Kommentaren) von Proklos zurück.
Euklid baut sein Lehrwerk auf Definitionen, Postulaten mit Axiomen auf; es folgen Lehrsätze
mit Beweisen, Problemstellungen und Hilfssätze.
Die Definitionen der Grundelemente – Punkt, Linie, Strecke, Fläche – sind anschaulicher,
beschreibender Art. Wir werden ggfs. später darauf zurückkommen.
Die Gliederung der ”Elemente” sieht folgendermaßen aus:
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Buch I:
Buch II:
Buch III:
Vom Punkt bis zum pythagoreischen Lehrsatz
Geometrische Algebra
Kreislehre
Buch IV:
Buch V:
Buch VI:
Ein- und umbeschriebene Vielecke
Ausdehnung der Größenlehre auf Irrationalitäten
Proportionen und Anwendung auf Planimetrie
Buch VII: Teilbarkeitslehre, Primzahlen
Buch VIII: Quadrat- und Kubikzahlen, geometrische Reihen
Buch IX:
Lehre von Gerade und Ungerade
Buch X:
Klassifikation quadratischer Irrationalitäten,
Methoden der Flächenanlegung zur geometrischen
Lösung aller Typen quadratischer Gleichungen
Buch XI:
Elementare Stereometrie
Buch XII: Exhaustionsmethode: Pyramide, Kegel, Kugel
Buch XIII: Reguläre Polyeder
Am Ende von Buch IX steht eine Reihe von Sätzen, die mit den vorangegangenen keinen
Zusammenhang haben. Deshalb geht man davon aus, dass es sich um altpythagoreische
Ergebnisse handelt. Wir wollen uns zunächst einigen Ergebnissen der Pythagoreer zuwenden.
a) Primzahlen
Die Grundlagen zu den Ergebnissen in Buch IX von Euklid’s Elementen stehen in Buch
VII, das in Definitionen und Sätze unterteilt ist. Dort sind die folgenden Definitionen zu
finden:
Definitionen
1. Einheit ist das, wonach jedes Ding eines genannt wird.
2. Zahl ist die aus Einheiten zusammengesetzte Menge. (1 ist also keine Zahl, sondern
eine Einheit, aus der die Zahlen 2,3,4, . . . zusammengesetzt sind.)
3. Teil einer Zahl ist eine Zahl, die kleinere von der größeren, wenn sie die größere
genau misst. (Wir sagen heute: ’b teilt a’ oder ’b ist ein Teiler von a’, wenn eine
(ganze) Zahl c > 1 existiert mit bc = a.)
5. Vielfaches ist die größere Zahl von der kleineren, wenn sie von der kleineren genau
gemessen wird.
6. Gerade ist die Zahl, die sich halbieren lässt,
7. und ungerade die, die sich nicht halbieren lässt, oder die sich um die Einheit von
einer geraden Zahl unterscheidet.
22
11. Primzahl ist eine Zahl, die sich nur durch die Einheit messen lässt. (Da 1 keine
Zahl ist, kann 1 auch keine Primzahl sein.)
12. Gegeneinander prim sind Zahlen, die sich nur durch die Einheit als gemeinsames
Maß messen lassen. (Wir sagen heute: Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn der
größte gemeinsame Teiler 1 ist.)
13. Zusammengesetzt ist eine Zahl, die sich durch irgendeine (andere) Zahl messen
lässt.
22. Eine vollkommene Zahl ist eine solche, die ihren Teilen zusammen gleich ist.
(Eine Zahl ist also vollkommen, wenn sie die Summe ihrer echten Teiler ist, wobei
die Einheit 1 mitgezählt wird, aber nicht die Zahl selbst. 6 ist z.B. vollkommen, weil
6 = 1 + 2 + 3 ist.)
Anschließend werden einige Sätze über Zahlen bewiesen, indem die Summe von Zahlen
durch das Aneinanderlegen von Strecken und das Multiplizieren durch das entsprechend
häufige Aneinanderlegen von Strecken veranschaulicht wird. Wichtig sind die folgenden
Ergebnisse:
§31 Jede zusammengesetzte Zahl wird von irgendeiner Primzahl gemessen.
§32 Jede Zahl ist entweder eine Primzahl oder wird von irgendeiner Primzahl gemesen.
(Heute zeigen wir, dass sich jede natürliche Zahl ≥ 2 als Produkt von Primzahlpotenzen darstellen lässt.)
Wir finden dann in Buch IX von Euklid:
§20 Die Primzahlen sind mehr als jede vorgegebene Menge von Primzahlen.
Der Beweis von Euklid ist bekanntlich konstruktiv:
Sind q1 . . . , qn endlich viele Primzahlen, dann wird die Zahl
a := q1 · q2 · . . . · qn + 1
betrachtet. (Im Original wird gesagt: Man bilde die kleinste von q1 , . . . , qn und um
die Einheit vergrößerte Zahl.) Ist dann a eine Primzahl, so ist diese größer als alle
bisher gefundenen, also eine weitere Primzahl im Widerspruch zu der Annahme,
dass es nur n Primzahlen gibt. Ist a keine Primzahl, so muss a von irgendeiner
Primzahl p gemessen werden. Da es nur endlich viele Primzahlen gibt, muss p mit
einer der Primzahlen q1 , . . . , qn übereinstimmen, etwa mit q1 . Also gilt a = q1 · r und
a − 1 = q1 · . . . · qn und somit
1 = a − (a − 1) = q1 · (r − q2 · . . . · qn ).
q1 misst also die Einheit, was Unsinn ist. Damit muss p eine Primzahl sein, die von
allen q1 , · · · , qn verschieden ist. Also kann die Menge der Primzahlen nicht endllich
sein.
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Wie findet man Primzahlen? Eine ganz alte Methode geht auf Eratosthenes zurück und
ist nach ihm benannt, das sog. Sieb des Eratosthenes. Man schreibt alle natürlichen
Zahlen von 2 bis zu einer Zahl n auf, nach Möglichkeit in einem rechteckigen Schema.
Dann verfahre man folgendermaßen:
(1) Markiere die Zahl 2 und streiche dann jede zweite Zahl.
(2) Ist k die erste nicht-gestrichene und nicht-markierte Zahl, so markiere k und streiche
dann jede k-te Zahl.
(3) Führe den Schritt (2) für alle k, die kleiner oder gleich der Quadratwurzel von n
sind, durch; ist k größer als n, so stoppe das Verfahren.
(4) Alle markierten Zahlen sind Primzahlen, und zwar sind dies alle Primzahlen kleiner
oder gleich n.
Die Primzahlen sind sehr unregelmäßig verteilt; so gibt es z.B. zwischen 9.999.901 und
9.999.999 genau 9 Primzahlen und zwischen 10.000.001 und 10.000.100 nur 2 Primzahlen.
Wenn man die Primzahlverteilung visualisiert, so ergibt sich ein bestimmtes ”Muster”.
Dies hat z.B. die Künstlerin Rune Mields (geb. 1935 in Münster, lebt in Köln) animiert.
Sie hat eine große Tafel mit neun Rechtecken geschaffen. Dabei sind jeweils drei Rechtecke
nebeneinander und drei Rechtecke übereinander entstanden. In der unteren Reihe hat sie
das Sieb des Eratosthenes umgesetzt und die 1 sowie alle Primzahlen durch weiße Punkte
gekennzeichnet. Links unten hat sie 129 Zahlen pro Reihe untersucht, in der Mitte 130
Zahlen und rechts unten 131 Zahlen pro Zeile. Es entstehen jeweils vertikal bzw. horizontal
”gegliederte Flächen”. Bei den mittleren drei Rechtecken hat sie die Zahlen ab 1 Million
nach dem gleichen Schema untersucht und in der oberen Reihe die Zahlen ab 1030 . Wegen
der immer ”geringeren” Anzahl großer Primzahlen sind die Strukturen in den oberen
Rechtecken nicht mehr zu erkennen.
Mields hat auch ein besonderes Interesse an ausgezeichneten Primzahlen gefunden. So
hat sie in ihren Kunstwerken u.a. die sog. Repunit-Primzahlen dargestellt, das sind
Primzahlen, die im Dezimalsystem nur aus Einsen bestehen. Bis 1986 wurden 5 solcher
Primzahlen gefunden, die kleinste ist die 11, die zweite besteht bereits aus 19 Einsen und
die fünfte aus 1031 Einsen.
Der junge Carl Friedrich Gauß1 beschäftigte sich mit der ”Tabelle der Primzahlen”. Bei
D. Kehlmann (vgl. [Kehl], S. 65) heißt es auf die Frage ”Betest du?”: ”Nein, flüsterte Gauß,
er zähle Primzahlen, das mache er immer, wenn er nervös sei.” In der Tat beschäftigte
sich Gauß mit der Frage, wie viele Zahlen unter den ersten 100 Zahlen, unter den ersten
1000 Zahlen, unter den ersten 10000 Zahlen usw. Primzahlen waren. Aus diesem Grund
hat Gauß im Alter von 15 Jahren alle Zahlen zwischen 2 und 1.000.000 darauf untersucht,
1
Carl Friedrich Gauß wurde am 30.4.1777 in Braunschweig geboren. Durch die Empfehlung seines
Volksschullehrers und finanzielle Unterstützung durch den Herzog von Braunschweig kam er zum Gymnasium. Von 1792 bis 1795 studierte er am Braunschweiger Collegium Carolinum, dem Vorläufer der heutigen
TH, und von 1795 bis 1798 an der Göttinger Universität; dort wandte er sich erst dem Mathematikstudium zu. Die finanzielle Unterstützung durch den Herzog von Braunschweig ermöglichte ihm ohne weitere
Verpflichtungen wissenschaftlich zu arbeiten. Nach dem Tod des Herzogs im Jahr 1807 nahm Gauß eine
Berufung als Professor für Astronomie und als Direktor der Sternwarte an die Universität Göttingen an.
Dort blieb er bis zu seinem Tod am 23.2.1855 in.
24
ob sie Primzahlen seien. Mit modernen Methoden ergibt sich die folgende Tabelle, wobei
π(N ) die Anzahl der Primzahlen von 1 bis N bezeichnet und wobei sich die Zahlen in
der letzten Spalte als gerundete Werte des Quotienten q(N ) von N und π(N ) ergeben
(entnommen aus [duSa], S. 66):
N
π(N ) q(N )
10
4
2,5
100
25
4,0
1000
168
6,0
10.000
1229
8,1
100.000
9592 10,4
1.000.000
78.498 12,7
10.000.000
664.579 15,0
100.000.000
5.761.455 17,4
1.000.000.000 50.847.534 19,7
10.000.000.000 455.052.511 22,0
Man kann die Zahlen in der letzten Spalte so interpretieren, dass im Durchschnitt der
Abstand der Primzahlen von 1 bis N gerade q(N ) ist. Gauß beobachtete, dass sich die
Zahlen in der letzten Spalte ungefähr um 2,3 erhöhen, wenn man eine Zehnerpotenz
weitergeht. Nun gibt es Funktionen f mit der Eigenschaft
f (x · y) = f (x) + f (y) ;
diese hatte Gauß in der geschenkten Logarithmentafel gefunden. Was ist der Logarithmus
einer Zahl? Logarithmen werden bezüglich einer Basis berechnet; normalerweise ist die
Basis die Zahl 10. Mit welcher Zahl x muss ich 10 potenzieren, um die Zahl y zu erhalten?
Also muss
10x = y
gelten. Dann nennt man x den Logarithmus von y zur Basis 10 und schreibt
x = log10 y .
Man kann aber auch statt der Basis 10 eine beliebige andere positive Zahl b wählen und
dann fragen, ob
bx = y
gilt. Dann heißt x der Logarithmus von y zur Basis b, kurz
x = logb y .
Eine wichtige Rolle in der Mathematik spielt als Basis die Eulersche Zahl e, nämlich
e=2+
1
1
1
1 1
+ +
+
+
+ . . . ≈ 2, 718281828 .
2 6 24 120 720
25
Den Logarithmus zur Basis e bezeichnet man üblicherweise als natürlichen Logarithmus
ln (logarithmus naturalis) und erhält dann zum Beispiel
ln 10 = loge 10 ≈ 2, 30258093
und stellt fest, dass
e2,3 ≈ 10 ,
e4,6 ≈ 100 ,
e6,9 ≈ 992 . . .
gilt. Hieraus leitete Gauß die Vermutung ab, dass
π(N ) ≈
N
ln N
gilt. Es vergingen mehr als 100 Jahre, bis ein erster vollständiger Beweis dieser Aussage
gegeben wurde. Unabhängig voneinander fanden der französische Mathematiker Jacques
Hadamard2 und der belgische Mathematiker Charles de la Vallée-Poussin3 im Jahr 1896
einen Beweis.
Im Zusammenhang mit Primzahlen gibt es noch viele ungelöste Fragen. Der CambridgeProfessor Hardy sagte gerne: ”Jeder Narr kann Fragen zu den Primzahlen stellen, die
selbst der weiseste Mensch nicht beantworten kann.” (vgl. [duSa], S. 56) Wir wollen einige
von ihnen ansprechen. Eine Fragestellung verfolgt die Idee, Primzahlen nach gewissen
Gesetzmäßigkeiten zu erzeugen.
Bemerkungen
a) Auf Christian von Goldbach4 geht die folgende Aussage zurück:
Es ist 4n4 + 1 genau dann eine Primzahl, wenn n = 1 ist.
b) Sophie Germaine5 zeigte:
Es ist n4 + 4 genau dann eine Primzahl, wenn n = 1 ist.
2
Jacques Hadamard wurde am 8.12.1865 in Versailles geboren. Nach dem Studium (1884 – 1888)
und der Tätigkeit als Gymnasiallehrer (1890 – 1893) war an verschiedenen Universitäten in Frankreich
tätig. Am 17.10.1963 verstarb Hadamard in Paris.
3
Baron Charles Jean Gustav Nicolas de La Vallée-Poussin wurde am 14.8.1866 in Louvain (Belgien)
geboren. Nach dem Studium war er im Wesentlichen an der Universität in Louvain bis zu seinem Tod am
2.3.1962 tätig.
4
Christian Goldbach wurde am 18.3.1690 in Königsberg geboren; er studierte dort Jura und
beschäftigte sich gleichzeitig mit Mathematik. Er unternahm ausgedehnte Bildungsreisen durch fast ganz
Westeuropa und machte dabei wertvolle Bekanntschaften. Er war ein geschätzter Gesprächs- und Briefpartner der damaligen Petersburger Akademiker wie z.B. D. Bernoulli oder L. Euler. Goldbach verstarb
am 1.12.1764 in St. Petersburg
5
Sophie Germaine wurde am 1.4.1776 in Paris geboren; da sie als Frau nicht zum Studium an der
Ecole Polytechnique zugelassen wurde, besorgte sie sich die Vorlesungsmitschriften und arbeitete sich so
in die Mathematik ein. Ihr Betreuer war J. L. Lagrange; sie verwendete stets ihr Pseudonym ”Leblanc”,
auch beim Briefwechsel mit Gauß. Als sie auf Betreiben von Gauß die Ehrendoktorwürde der Universität
Göttingen erhalten sollte, war sie bereits am 26(?).6.1831 in Paris verstorben.
26
c) Es gibt Polynome niedrigen Grades mit ganzzahligen Koeffizienten, die durch Einsetzen natürlicher Zahlen Primzahlen erzeugen. So erhalten wir z.B. für das Polynom
p(n) = n2 + n + 41
für alle n = 0, 1, . . . , 39 Primzahlen p(n); es gilt aber
p(40) = 402 + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 = 40 · 41 + 41 = 412 .
d) Zu jedem n ∈ N gibt es mindestens n aufeinanderfolgende zerlegbare natürliche
Zahlen. Betrachte dazu die Zahlen
(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4, . . . , (n + 1)! + (n + 1) ,
wobei die Fakultät (n + 1)! definiert ist durch (n + 1)! = 1 · 2 · 3 · . . . · (n + 1). Die
Zahl (n + 1)! + m ist für 2 ≤ m ≤ n + 1 ein Vielfaches von m.
Beweis: Zu a): Es gilt
4n4 + 1 = 4n4 + 4n2 + 1 − 4n2
2
= (2n2 + 1) − (2n)2
= (2n2 + 1 + 2n)(2n2 + 1 − 2n) ,
also
4n4 + 1 ∈ P
2n2 + 1 − 2n = 1
⇔
⇔
2n(n − 1) = 0
⇔
n=1.
Zu b): Es gilt
n4 + 4 = n4 + 4n2 + 4 − 4n2
2
= (n2 + 2) − (2n)2
= (n2 + 2 + 2n)(n2 + 2 − 2n) ,
also
n4 + 4 ∈ P
⇔
n2 + 2 − 2n = 1
⇔
(n − 1)2 = 0
⇔
n=1.
Defintion
Sind zwei Zahlen p und p + 2 Primzahlen, so sprechen wir von dem Primzahlzwilling
(p, p+2). Es ist z.B. 1.000.037 und 1.000.039 ein solcher Zwilling. Eine bislang unbewiesene
Vermutung lautet: ”Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge.”
Wir nennen das Tripel (p0 , p1 , p2 ) mit Primzahlen p0 < p1 < p2 einen Primzahldrilling,
wenn die Differenz p2 − p0 kleinstmöglich ist.
Bemerkung
Es gibt zwei verschiedene Arten von Primzahldrillingen. Die eine Sorte besteht aus den
Primzahlen p, p + 2, p + 6 (wie z.B. bei dem Drilling (11, 13, 17)); die andere Sorte besteht
aus den Primzahlen p, p+4, p+6 (wie z.B. bei dem Drilling (7, 11, 13) oder (613, 617, 619)).
Der einzige Drilling der Form (p, p + 2, p + 4) ergibt sich für p = 3.
27
Betrachten wir die Primzahlen 7, 17, 31, 127, 257, 8191, so sind diese von der speziellen
Form 2s + 1 bzw. 2s − 1, z.B. 17 = 24 + 1 oder 31 = 25 − 1. Dass nicht alle Zahlen der
obigen Form zu Primzahlen führen, zeigen die Zahlen 26 + 1 = 65 und 26 − 1 = 63. Das
hat Anlass zu folgenden Definitionen gegeben:
Definition
Ist s ∈ N, so heißt Ms := 2s −1 eine Mersennesche Zahl; ist Ms eine Primzahl, so heißt Ms
eine Mersennesche Primzahl (nach dem französischen Franziskanermönch Marin Mersenne
(1588 - 1648)). Im Folgenden bezeichnen wir mit P die Menge der Primzahlen.
Marin Mersenne wurde am 08.09. 1588
in Soultiére bei Bourg d’Oizé geboren.
Mersenne lernte von 1604 bis 1609 zusammen mit R. Descartes (vgl. S. 38) am
Jesuitenkolleg von La Flche und studierte von 1609 bis 1611 Theologie an der
Pariser Sorbonne. Er wurde 1611 Franziskanermönch und gehörte ab 1619 in
Paris zu deren Konvent. Er hat 1626 eine Textsammlung ”Synopsis mathematica” zur Mathematik und Mechanik publiziert. Mersenne starb am 01.09.1648
in Paris.
Als notwendige Bedingung erhalten wir
Satz
Ist Ms eine Mersennesche Primzahl, so ist s eine Primzahl.
Beweis: Wir verwenden die verallgemeinerte dritte binomische Formel, nach der
a2 − b2 = (a − b)(a + b),
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ),
also allgemein
an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + . . . + abn−2 + bn−1 )
gilt. Wir nehmen nun an, dass s zerlegbar ist mit s = uv und natürlichen Zahlen u, v > 1.
Dann ergibt sich
2s − 1 = (2u )v − 1v = (2u − 1)((2u )v−1 + . . . + 2u + 1) .
Wegen u, v > 1 sind beide Faktoren auf der rechten Seite größer als 1. Also ist Ms zerlegbar
im Widerspruch zur Voraussetzung, dass Ms eine Primzahl ist.
28
Bemerkungen
a) Gottfried Wilhelm Leibniz6 glaubte, dass jede Primzahl s eine Mersennesche Primzahl liefert. Das ist falsch. Mersennnesche Primzahlen erhält man z.B. für
s = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127 ;
aber nicht für
s = 11
211 − 1 = 23 · 89 .
wegen
b) Nach meinen Informationen (Stand August 2010) sind bisher 47 Mersennesche Primzahlen bekannt. Die größte ist
243.112.609 − 1
und ist gleichzeitig die größte bekannte Primzahl. Sie besteht aus 12.978.189 Stellen
und wurde im Rahmen des GIMPS-Projektes (Great Internet Mersenne Prime
Research) zur Suche von Mersenneschen Primzahlen am 23.08.2008 gefunden. Am
12.4.2009 wurde eine Mersennesche Primzahl gefunden, die kleiner ist. Bisher ist
man nur sicher, dass neben den ersten 40 Mersenneschen Primzahlen keine kleineren
mehr auftauchen.
Es gibt andere Zahlen, die im ”Verdacht standen”, nach einem bestimmten Gesetz Primzahlen zu liefern.
Definition
Zahlen der Form
n
Fn := 22 + 1
heißen Fermat-Zahlen.
Bemerkungen
a) Pierre de Fermat (20.8.1601-12.1.1665, vgl. S. 58) vermutete, dass für jede natürliche Zahl n ∈ N0 die Zahl Fn eine Primzahl ist. Dies ist nur für n = 0, 1, 2, 3, 4 richtig.
Wir erhalten die Zahlen
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257 und F4 = 65537 .
Leonhard Euler (14.04.1701-18.9.1783, vgl. S. 31) zeigte 1732, dass für n = 5 gilt
5
F5 = 22 + 1 = 232 + 1 = 4.294.967.297 = 641 · 6700417 .
Da F5 eine 10-stellige Zahl ist, konnte Fermat damit nicht richtig ”rechnen”. Außer
den angegebenen 5 Zahlen sind bisher keine weiteren Primzahlen unter den Fermatschen Zahlen entdeckt worden.
6
Gottfried Wilhelm Leibniz wurde am 1.7.1646 in Leipzig geboren. Er promovierte 20-jährig an der
Universität Altdorf. Er trat 1676 als Bibliothekar und juristischer Berater in den Dienst des Herzogs von
Hannover. Im Oktober 1675 faßte Leibniz die entscheidenden Grundgedanken seiner Infinitesimalrechnung
und erkannte den Zusammenhang von Integration und Differentiation. Die Ergebnisse wurden aber erst
später publiziert. Leibniz gilt als eine der bedeutendsten Gestalten der frühbürgerlichen europäischen
Kultur und Wissenschaften. Einsam und verbittert sowie von Krankheit gezeichnet verbrachte er seine
letzten Lebensjahre. Leibniz starb am 14.11.1716 in Hannover.
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b) Wie schwierig es ist nachzuweisen, dass Fn keine Primzahl ist bzw. eine Primfaktorzerlegung von Fn anzugeben, soll durch die nachfolgende Tabelle angedeutet werden.
F6
F7
F8
F9
F10
F11
F12
F13
F14
F15
F16
F17
F18
F19
F20
F21
F22
F23
F24
Status
vollständige Faktorisierung
vollständige Faktorisierung
vollständige Faktorisierung
vollständige Faktorisierung
vollständige Faktorisierung
vollständige Faktorisierung
unvollständige Faktorisierung
unvollständige Faktorisierung
Zerlegbarkeit
unvollständige Faktorisierung
unvollständige Faktorisierung
unvollständige Faktorisierung
unvollständige Faktorisierung
unvollständige Faktorisierung
Zerlegbarkeit
unvollständige Faktorisierung
Zerlegbarkeit
unvollständige Faktorisierung
Zerlegbarkeit
Jahr
1880
1970
1980
1990
1995
1988
1963
1987
1993
1999
c) Bis Ende Mai 2006 war die Zerlegbarkeit von insgesamt 227 Fermat-Zahlen bekannt.
Die größte bekannte zerlegbare Fermat-Zahl ist F2.478.782 ; sie besitzt den Faktor
3 · 22.478.785 + 1 .
Dieser Faktor ist 746190-stellig und wurde am 10.10.2003 entdeckt.
d) Die kleinsten Fermat-Zahlen mit unbekanntem Status sind (nach dem Stand von
Mai 2006) F33 , F34 , F35 , F40 , F41 , F44 , . . . .
Wir listen noch einmal (zusammenfassend) ein paar offene Fragen der elementaren Zahlentheorie auf.
Offene Fragen
1. Gibt es unendlich viele Mersennesche Primzahlen?
2. Gibt es unendlich viele Primzahl-Mehrlinge?
3. Gibt es außer den bekannten 5 Fermatschen Primzahlen noch weitere?
4. Ist die Goldbachsche Vermutung richtig, dass sich jede gerade natürliche Zahl
n, die größer als 3 ist, als Summe zweier Primzahlen darstellen läßt?
30
b) Vollkommene und befreundete Zahlen
In Definition 22 in Buch VII der Euklidischen Elemente sind die vollkommenen Zahlen
definiert. In Buch IX werden einige Eigenschaften ganzer Zahlen aufgelistet und dann
wird schließlich in §36 ein Satz über vollkommene Zahlen bewiesen.
§36 Aus §35 wird ”gefolgert”
1 + 2 + . . . + 2n−1 = 2n − 1.
Diese Tatsache war wahrscheinlich schon den Babyloniern aus folgendem Grund
bekannt:
1 + 1 = 2, 1 + 1 + 2 = 4, 1 + 1 + 2 + 4 = 8,
also
1 + 1 + 2 + . . . 2n−1 = 2 · 2n−1 = 2n .
Damit wird gezeigt:
Satz
Wenn 1 + +2 + 4 + . . . + 2n = 2n+1 − 1 = p eine Primzahl ist, so ist
v = 2n p
eine vollkommene Zahl, d.h.
X
d=v
d|v,d6=v
X
d = 2v .
d|v
Nun zum Beweis: Die Teiler d von v mit v 6= d sind
1, 2, . . . , 2n , ihre Summe ist 1 + 2 + 22 + . . . + 2n = p
und
p, 2p, . . . , 2n−1 p, ihre Summe ist p(1 + 2 + . . . + 2n−1 ) = p(2n − 1).
Aus den Sätzen in den Büchern des Euklid folgt, dass keine weiteren Teiler existieren.
Die Summe aller Teiler d von v mit d 6= v ist also
p + p(2n − 1) =
p · 2n = v.
Leonhard Euler hat in zwei Manuskripten, die erst nach seinem Tod veröffentlicht wurden,
bewiesen, dass sich jede gerade vollkommene Zahl in der Form 2n · p darstellen lässt.
Satz
Ist v = 2n p mit n ≥ 1 und ungeradem p ≥ 1, so sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) p ist eine Primzahl, und es gilt p = 2n+1 − 1.
31
(ii) v ist vollkommen.
Nachfolgend sind einige Daten zu dem Leben von L. Euler aufgeführt.
Als Pfarrerssohn nahm Leonhard Euler
das Studium 1720 an der philosophischen
Fakultät, 1723 an der theologischen Fakultät der Universität Basel auf; 1727 folgte er Daniel Bernoulli und Niklaus II Bernoulli an die neu gegründete Akademie
in Petersburg. 1731 Professor für Physik, 1733 Professor für Mathematik; nach
dem Tode von Zarin Anna I ging er 1741
an die Berliner Akademie; Differenzen mit
König Friedrich II. bewogen ihn, 1766 nach
St. Petersburg zurückzugehen. Kurz darauf verlor Euler nach einer Star–Operation
(1771) auch das linke Auge;
das rechte
Auge hat Euler 1738 als Folge einer Krankheit verloren. Von diesem Zeitpunkt an war
Euler blind. Euler war zweimal verheiratet, von 1734–1773 mit Katharina Gsell, ab 1776
mit der Stiefschwester seiner ersten Frau, mit Salome Abigail Gsell. Euler hatte mit seiner
ersten Frau 13 Kinder, von denen 8 nicht älter als 4 Jahre wurden. 3 Söhne haben ihren
Vater überlebt, 2 Töchter sind im Alter von 39 Jahren bzw. 35 Jahren verstorben.
Zum wissenschaftlichen Werk Eulers ist zu sagen, dass seine gesammelten Werke die umfangreichsten unter allen mathematischen gesammelten Werken sind: geplant ist eine Gesamtausgabe in 83 Bänden, davon sind bisher 76 erschienen und 6 in Vorbereitung
29 Bände über Mathematik (alle erschienen, Bd. 16 in zwei Teilen, ca 3410 Euro)
31 Bände über Mechanik und Astronomie
12 Bände über Physik und Verschiedenes
9 Bände Wissenschaftliche Korrespondenz (erschienen sind davon bisher 4
und 4 sind in aktiver Vorbereitung).
Euler hat insgesamt 760 Arbeiten zum Druck fertiggestellt, davon allein 270 in der Zeit
ab 1775.
Bemerkungen
Die Bestimmung der geraden vollkommenen Zahlen ist also auf die Bestimmung der Mersenneschen Primzahlen zurückgeführt. Die ersten vier (geraden) vollkommenen Zahlen
waren schon den Griechen vertraut. Die 5. und 6. vollkommene Zahl wird in Manuskripten, die um das Jahr 1460 geschrieben wurden, erwähnt. Weitere Informationen über die
Vermutungen und Ergebnisse im Zusammenhang mit vollkommenen Zahlen findet man
in [ReUl]. Wir erhalten folgende Tabelle:
32
n
p = 2n+1 − 1
1
3∈P
2
7∈P
3
15 ∈
/P
4
31 ∈ P
5
63 ∈
/P
6
127 ∈ P
7
255 ∈
/P
8
511 ∈
/P
9
1023 ∈
/P
10
2047 ∈
/P
11
4095 ∈
/P
12
8191 ∈ P
16
131.071 ∈ P
18
524.287 ∈ P
30 2.147.483.647 ∈ P
v = 2n · p
6 vollkommen
28 vollkommen
496 vollkommen
8128 vollkommen
33.155.168
8.589.869.056
137.438.691.328
2.305.843.008.139.952.128
vollkommen
vollkommen
vollkommen
vollkommen
Eine weitere Fragestellung betrifft die Frage der sog. ”befreundeten” Zahlen. Wir geben
zunächst die
Definition
Zwei Zahlen a, b ∈ N heißen befreundet, wenn
σ ∗ (a) = b und σ ∗ (b) = a
gilt, wobei σ ∗ definiert ist durch
σ ∗ (v) =
X
d = σ(v) − v
.
d|v,d6=v
Den Griechen war bekannt, dass das Paar (220,284) befreundet ist. So soll Pythagoras
geschrieben haben: ...” ein Freund ist einer, der ein anderes Ich ist, wie 220 und 284.” Es
ist nämlich
220 = 22 · 5 · 11
und
284 = 22 · 71 ,
also
σ ∗ (220) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
und
σ ∗ (284) = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 .
Es hat lange gedauert, bis ein weiteres befeundetes Zahlenpaar gefunden wurde. Erst Pierre de Fermat und der oben erwähnte Mersenne zeigten, dass 17296 und 18416 befreundet
sind.
Sie scheinen dabei nach folgendem ”Rezept” vorgegangen zu sein, das arabischen Ursprungs zu sein scheint, ohne dass bis zu diesem Zeitpunkt außer dem bekannten Paar ein
neues gefunden wurde:
33
Satz
Sind x = 3 · 2n − 1 , y = 3 · 2n−1 − 1 und z = 9 · 22n−1 − 1 Primzahlen, so sind die Zahlen
a und b mit a = 2n · x · y und b = 2n · z befreundet.
Beweis: Es ist
σ ∗ (a) = σ(a) − a = σ(2n ) · σ(x) · σ(y) − 2n · x · y
= (2n+1 − 1) · (x + 1) · (y + 1) − 2n · (3 · 2n − 1) · (3 · 2n−1 − 1)
= (2n+1 − 1) · 9 · 22n−1 − 2n · (9 · 22n−1 − 3 · 2n − 3 · 2n−1 + 1)
= 2n · (18 · 22n−1 − 9 · 2n−1 − 9 · 22n−1 + 3 · 2n + 3 · 2n−1 − 1)
= 2n · (9 · 22n−1 − 1) = b
und
σ ∗ (b) = σ(b) − b = (2n+1 − 1) · 9 · 22n−1 − 2n · (9 · 22n−1 − 1)
= 2n · (9 · 22n − 9 · 2n−1 − 9 · 22n−1 + 1)
= 2n · (9 · 22n−1 − 9 · 2n−1 + 1)
= 2n · (3 · 2n − 1) · (3 · 2n−1 − 1) = a .
Das dritte Paar befreundeter Zahlen, dass sich nach dieser Regel für n = 7 ergibt, wurde
von René Descartes7 mit 9363584 und 9437056 angegeben. Bis 1747 hat es gedauert,
bis Euler 30 weitere befreundete Zahlenpaare angegeben hat. 3 Jahre später hat Euler 34
weitere Paare veröffentlicht, von denen allerdings 2 falsch waren. Im Jahr 1867 überraschte
der erst 16 Jahre alte Nicolo Paganini die Fachwelt mit dem befreundeten Zahlenpaar
(1184,1210). Dieses zweitkleinste Paar war bisher von allen übersehen worden. Euler fand
übrigens seine ”Paare” nicht nach dem oben angegebenem Rezept.
1985 berechnete Herman te Riele aus Amsterdam alle 1427 befreundeten Zahlenpaare
unter 1010 . Walter Borho von der Universität Bonn ergänzte diese Liste 1987 um weitere
10455 Paare befreundeter Zahlen.
c) Figurierte Zahlen
Zahlen werden verwendet, um damit im täglichen Leben Sachverhalte zu beschreiben:
Feldvermessung, Kanalbau, Berechnung von Steuern usw.. Bei den Griechen wird das
Weltall durch Zahlen und deren Verhältnisse vollständig charakterisiert. Zahlen werden
häufig als Muster von Rechensteinen dargestellt und durch solche geometrischen Anordnungen werden häufig einfache Sätze über Zahlen ”bewiesen”. Die Pythagoreer arbeiteten
wahrscheinlich mit schwarzen und weißen Rechensteinen und verifizierten die erhaltenen Ergebnisse anschaulich. Das deutlichste Zeugnis dieser Art von Mathematik sind die
7
René Descartes (lat. Cartesius) wurde am 31.3.1596 in La Haye/Touraine geboren. Er erhielt am
Jesuitenkolleg La Flèche eine hervorragende, auch Naturwissenschaften umfassende Ausbildung, studierte
in Poitiers, stand einige Zeit im Kriegsdienst und trat in Italien, Paris und den Niederlanden in persönlichen Kontakt zu herausragenden Naturforschern seiner Zeit. Im Vertrauen auf größere Gedankenfreiheit
ließ er sich 1629 in den Niederlanden nieder, geriet aber mit seiner Philosophie auch hier mit konservativen kirchlichen Kreisen in Konflikt und folgte daher 1649 einer Einladung der schwedischen Königin
Christine nach Stockholm. Dort verstarb er am 11.2.1650 in seinem ersten skandinavischen Winter.
34
sog. figurierten Zahlen, bei denen man die Rechensteine der jeweiligen Figur entsprechend anordnete und so Ergebnisse über Dreiecks-, Quadrat-, Rechtecks-, Fünfecks- oder
Sechseckzahlen erhielt. Später wurden durch Übergang ins Dreidimensionale auch Kubik-,
Tetraeder- und Pyramidalzahlen untersucht.
Grundlage ist dabei häufig die Verwendung der binomischen Formeln
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
und
a2 − b2 = (a + b)(a − b) ,
die geometrisch begründet werden. So findet man z.B. bei Euklid im II. Buch in §4:
Teilt man die Strecke, wie es gerade trifft, so ist das Quadrat über der ganzen
Strecke den Quadraten über den Abschnitten und zweimal dem Rechteck aus den
Abschnitten zusammen gleich.
Als erstes beschäftigen wir uns nun mit den Dreieckszahlen Dn , die definiert sind durch
die Anzahl der ”Steine” in der unten stehenden ”dreieckigen” Anordnung.
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
Wie läßt sich Dn in Abhängigkeit von n ausdrücken? Zunächst gilt auf Grund der Anordnung
Dn = Dn−1 + n ;
Also ist Dn die Summe der Zahlen 1, 2, . . . , n. Um eine ”geschlossene” Formel zu erhalten,
ergänzen wir das obige Dreiecksschema zu einem Rechteckschema
×
×
×
×
×
×
◦
×
×
×
×
×
◦
◦
×
×
×
×
◦
◦
◦
×
×
×
◦
◦
◦
◦
×
×
◦
◦
◦
◦
◦
×
◦
◦
◦
◦
◦
◦
Wir haben also ein Dreiecksschema mit der gleichen Anzahl von Steinen darangesetzt;
insgesamt liegen dort also 2 · Dn Steine. Andererseits haben wir ein Rechteckschema
erhalten mit n Zeilen und n + 1 Spalten. Es liegen dort demnach n(n + 1) Steine, und wir
erhalten die Formel
n+1
n(n + 1)
=
.
Dn =
2
2
Können wir die Summe zweier benachbarter Dreieckszahlen einfacher darstellen? Das läßt
sich mit ”Punktmustern” sehr leicht angeben. Diesmal setzen wir an ein Dreiecksschema
von n Zeilen und n Spalten ein Dreiecksschema mit n + 1 Zeilen und n + 1 Spalten in der
unten angegebenen Art an:
35
◦
×
×
×
×
×
×
◦
◦
×
×
×
×
×
◦
◦
◦
×
×
×
×
◦
◦
◦
◦
×
×
×
◦
◦
◦
◦
◦
×
×
◦
◦
◦
◦
◦
◦
×
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
Dann ist sofort einsichtig, dass
Dn + Dn+1 = (n + 1)2
gilt.
Als nächstes betrachten wir die Quadratzahlen Qn ; mit den Steinen läßt sich sehr schnell
erklären, wie die n-te Quadratzahl aus der (n − 1)-ten Quadratzahl hervorgeht. Dazu
betrachten wir folgendes Schema
×
×
×
×
×
×
◦
×
×
×
×
×
×
◦
×
×
×
×
×
×
◦
×
×
×
×
×
×
◦
×
×
×
×
×
×
◦
×
×
×
×
×
×
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
×
Hieraus lesen wir ab, dass
n2 = Qn = Qn−1 + 2 · (n − 1) + 1 = Qn−1 + (2n − 1)
gilt. Setzen wir Q1 = 1, so ist also Qn die Summe der ersten n ungeraden Zahlen, d.h.
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 .
Nun untersuchen wir die Fünfeckszahlen Fn . Wir starten mit einem Fünfeck; es sei F1 = 1
und F2 = 5 die Anzahl der Eckpunkte im Fünfeck ABCDE.
A
×
|
|
|
×
E
–
–
B
×
× C
–
–
×
D
Wir ”erweitern” das gegebene Fünfeck zu einem größeren Fünfeck A = A0 , B 0 C 0 D0 E 0 und
legen nun auf die Seiten B 0 C 0 , C 0 D0 und D0 E 0 noch einen weiteren Stein, d.h.
36
A = A0
×
|
|
|
|
×
E
|
|
◦
E0
—
B
×
—
B0
◦
×
C
◦
◦
—
×
D
C0
◦
—
◦
—
◦
D0
Wir können uns vorstellen, dass wir von A aus eine zentrische Streckung durchgeführt
haben; das liefert uns das neue Fünfeck A0 B 0 C 0 D0 E 0 . Auf den Seiten B 0 C 0 , C 0 D0 und
D0 E 0 wählen wir noch jeweils einen zusätzlichen Stein. Die Anzahl aller Steine sei F3 . Im
nächsten Schritt vergrößern wir das Fünfeck entsprechend zum Fünfeck AB 00 C 00 D00 E 00 und
legen auf jede der Seiten B 00 C 00 , C 00 D00 und D00 E 00 zwei weitere Steine
E
A
×
|
|
×
B
— ×
—
×
B0
—
◦
× C
—
◦
B 00
×
×
◦
D
C0
×
|
B 000
×
C 00
◦
×
E0
E 00
◦
|
×
—
◦
—
—
—
×
—
×
◦
D0
—
×
×
C 000
D00
Alle Steine zusammen ergeben die Fünfeckszahl F4 . Sie setzt sich zusammen aus der
00
00
Dreieckszahl D4 aller Steine im Dreieck 4AD E und zweimal der Dreieckszahl D3 aller
00
000
00
000
Steine im Dreieck 4CC C sowie im Dreieck 4BB B . Vergrößern wir das Fünfeck
weiter so, so erhalten wir die Formel
n
1
Fn = Dn + 2Dn−1 = (Dn + Dn−1 ) + Dn−1 = n2 + n(n − 1) = (3n − 1) .
2
2
Entsprechend verfährt man bei den Kubikzahlen Kn , den Sechseckzahlen Sn bzw. den
Tetraederzahlen Tn , denen wir uns etwas näher zuwenden wollen. Wir stellen uns ein
Tetraeder mit der dreieckigen Grundfläche 4ABC und der Spitze D vor. Die Anzahl
der Eckpunkte ist T2 = 4; man setzt ferner T1 = 1. Nun betrachten wir für n ≥ 3
das Tetraeder, in dem parallel zur Grundfläche n − 2 Dreiecke eingezeichnet sind. In der
Grundfläche 4ABC sollen wie bei den Dreieckszahlen insgesamt Dn Steine liegen, in
37
dem ”nächsten” Dreieck seien Dn−1 Steine verteilt und dann Dn−2 bis wir endlich an der
Spitze D ankommen, was wir als Dreieck mit einem Stein (mit D1 = 1) auffassen. Tn ist
die Gesamtzahl aller so im Tetraeder verteilten Steine, d.h.
n
X
n+1
Tn =
Dk = 1 + 3 + 6 + 10 + . . . +
.
2
k=1
Ist n gerade, etwa n = 2m, so folgt
n
X
Dk = (D1 + D2 ) + (D3 + D4 ) + . . . + (D2m−1 + D2m )
k=1
= 22 + 42 + . . . + (2m)2
m
X
4
k 2 = m(m + 1)(2m + 1)
6
k=1
1
= . . . = n(n + 1)(n + 2) .
6
= 4·
Ist dagegen n ungerade, etwa n = 2m − 1, so folgt
n
X
Dk = D1 + (D2 + D3 ) + . . . + (D2m−2 + D2m−1 )
k=1
= 12 + 32 + . . . + (2m − 1)2
=
Also ist
m
1
(4m2 − 1) = . . . = n(n + 1)(n + 2) .
3
6
1
Tn = n(n + 1)(n + 2) .
6
Wir erhalten damit folgende zusammenfassenden Ergebnisse
n Dn
1 1
2 3
3 6
4 10
5 15
6 21
..
..
.
.
Qn
1
4
9
16
25
36
..
.
Fn
1
5
12
22
35
51
..
.
Sn
1
6
18
36
60
90
..
.
Tn
1
4
10
20
35
56
..
.
Kn
1
8
27
64
125
216
..
.
d) Platonische Körper
In den Büchern des Euklid wird zum ersten Mal ”axiomatisch” festgelegt, was unter
den Objekten der Geometrie zu verstehen ist. Beginnen wir mit einer Auswahl der 23
Definitionen im I. Buch des Euklid:
38
1. Ein Punkt ist, was keine Teile hat.
2. Eine Linie (ist) breitenlose Länge.
4. Eine gerade Linie (Strecke) ist eine solche, die zu den Punkten auf ihr gleichmäßig
liegt.
5. Eine Fläche ist, was nur Länge und Breite hat.
7. Eine ebene Fläche ist eine solche, die zu den Geraden Linien auf ihr gleichmäßig
liegt.
15. Ein Kreis ist eine ebene, von einer einzigen Linie [die Umfang (Bogen) heißt] umfasste Figur mit der Eigenschaft, dass alle von einem innerhalb der Figur gelegenen
Punkte bis zur Linie [zum Umfang des Kreises] laufenden Strecken einander gleich
sind.
16. Und Mittelpunkt des Kreises heißt dieser Punkt.
20. Von den dreiseitigen Figuren ist
ein gleichseitiges Dreieck jede mit drei gleichen Seiten,
ein gleichschenkliges jede mit nur zwei gleichen Seiten,
ein schiefes jede mit drei ungleichen Seiten.
Dann kommen die 5 Postulate, die wir heute als Grundlage der sog. ”Euklidischen Geometrie” wählen. Gefordert soll sein u.a.:
1. Dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
2. Dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann,
3. Dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,
4. Dass alle rechten Winkel einander gleich sind,
5. Und dass, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt,
dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte
werden, dann die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins Unendliche sich treffen
auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind.
(heutiges Parallelenpostulat)
In Buch XI stehen dann die Definitionen über Körper:
1. Ein Körper ist, was Länge, Breite und Tiefe hat.
2. Eine Begrenzung eines Körpers ist eine Fläche.
12. Eine Pyramide ist ein von ebenen Flächen umfaßter Körper, der von einer Fläche
zu einem Punkte zusammengeht.
39
25. Ein Würfel ist der Körper, der von sechs gleichen Quadraten umfaßt wird.
26. Ein Oktaeder ist der Körper, der von acht gleichen gleichseitigen Dreiecken umfaßt
wird.
27. Ein Ikosaeder ist der Körper, der von zwanzig gleichen gleichseitigen Dreiecken
umfaßt wird.
28. Ein Dodekaeder ist der Körper, der von zwölf gleichen gleichseitigen und gleichwinkligen Fünfecken umfaßt wird.
In Buch XIII werden Sätze über reguläre Polyeder zusammengestellt, d.h. über Körper,
deren Begrenzungsflächen kongruente regelmäßige n−Ecke sind. Unter anderem wird gezeigt:
Es gibt genau fünf reguläre Polyeder, die sog. Platonischen Körper, nämlich das Tetraeder, das Hexaeder (Würfel), das Oktaeder, das Dodekaeder und das Ikosaeder (benannt
nach den griechischen Namen für die Anzahl der Seitenflächen):
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Tetraeder: 4 gleichseitige Dreiecke
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Hexaeder: 6 Quadrate
Oktaeder: 8 gleichseitige Dreiecke
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Dodekaeder: 12 regelmäßige Fünfecke
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Ikosaeder: 20 gleichseitige Dreiecke