Das Standardmodell der Teilchenphysik

Das Standardmodell der Teilchenphysik
Clara Fuhrer
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Einführung
Das Ziel des Standardmodells der Teilchenphysik ist es, die grundlegende Struktur der sichtbaren Materie in Form von punktförmigen Elementarteilchen, das Verhalten dieser Teilchen und die zwischen
ihnen wirkenden Kräfte zu beschreiben. Das Standardmodell basiert auf dem Prinzip der Eichsymmetrie, die Wechselwirkungen sind also in Form von Eichtheorien formuliert. Dies bedeutet, dass die
Kräfte durch Felder mit spezifischen Feldquanten, den Eichbosonen oder auch Austauschteilchen, beschrieben werden. Die einzige Ausnahme der fundamentalen Kräfte ist hierbei die Gravitation, die sich
momentan noch nicht über eine Eichtheorie beschreiben lässt. Sie ist also nicht im Standardmodell
enthalten, da sie im Bereich der kleinsten Teilchen ohnehin eine vernachlässigbare Rolle spielt. Das
Standardmodell beschreibt also die komplette gravitationsfreie Physik.
2
Die Elementarteilchen
Zu jedem Teilchen gibt es ein Antiteilchen, das die entgegengesetzte Ladung trägt.
Man unterscheidet Elementarteilchen zunächst einmal auf Grund ihres Spins. Dieser kann ganzzahlig,
Bosonen, oder halbzahlig, Fermionen, sein. Abhängig davon, werden Vielteilchen-Systeme durch eine
andere Statistik beschrieben, da sich die Wellenfunktion der Teilchen unter der Lorentztransformation
der speziellen Relativitätstheorie verschieden verhält. Außerdem gilt für Fermionen das Pauliprinzip,
sie können also nicht in all ihren Quantenzahlen übereinstimmen. Ein weiteres Unterscheidungskriterium ist, ob die Teilchen an der Kernkraft teilhaben oder nicht. Dies führt zur Unterscheidung in
Leptonen und Hadronen.
2.1
Leptonen
Leptonen nehmen nicht an der starken Wechselwirkung teil. Sie haben alle Spin 21 und sind punktförmig,
also wirklich elementar. Es gibt drei Familien von Leptonen. Eine Familie besteht immer aus einem
einfach negativ geladenen Teilchen einer bestimmten Masse, die von Familie zu Familie zunimmt,
z.B in der ersten Familie dem Elektron, und einem zugehörigen neutralen, masselosen Teilchen, dem
Neutrino, im Falle der ersten Familie den Elektroneutrino. Jede Familie von Leptonen hat eine eigene Quantenzahl, die Leptonenzahl L. Sie beträgt eins für die Leptonen und null für alle anderen
Elementarteilchen. Eine Übersicht befindet sich in Tabelle 1.
2.2
Hadronen
Hadronen nehmen an der Kernkraft teil, einer Auswirkung der starken Wechselwirkung die ähnlich
zu Stande kommt wie die Van-der-Vaals Kraft zwischen Molekülen. Hadronen sind nicht elementar,
sondern bestehen aus Quarks. Man unterscheidet weiter zwischen Hadronen mit halbzahligem Spin,
Baryonen, und Hadronen mit ganzzahligem Spin, Mesonen.
Tabelle 1: Übersicht über die Leptonen
1. Generation
2. Generation
3. Generation
2.2.1
e
νe
µ
νµ
τ
ντ
Q
Le
Lµ
Lτ
L = Le + Lµ + Lτ
-1
0
-1
0
-1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
Baryonen
Baryonen haben halbzahligen Spin. Sie bestehen aus drei Quarks. Da es verschiedene Arten von Quarks
gibt, gibt es auf Grund der vielen Kombinationsmöglichkeiten auch viele Arten von Hadronen. Für
Baryonen wurde eine eigene Quantenzahl, die Baryonenzahl, eingeführt. Sie nimmt bei Baryonen den
Wert eins an. Alle anderen Elementarteilchen haben die Baryonenzahl null.
2.2.2
Mesonen
Mesonen bestehen aus einem Quark und einem Antiquark. Es handelt sich um Bosonen.
2.3
Quarks
Quarks sind die Elementarteilchen die an der starken Wechselwirkung teilhaben. Sie sind Fermionen
und kommen ebenfalls in drei verschiedenen Familien vor. Die verschiedene Arten von Quarks unterscheiden sich auf Grund einer Quantenzahl die man flavour nennt. Quarks sind die elementaren
Bausteine der Hadronen. Da es über hundert verschiedene Hadronen gibt, war das Ziel diese anhand
von Quantenzahlen zu kategorisieren und auf elementare Bausteine zurückzuführen. Die hierzu verwendeten Quantenzahlen sind vor allem der Isospin I und die flavour Quantenzahlen wie Strangeness
s oder Charm c. Der Isospin ist eine theoretische Spin Quantenzahl, die eingeführt wurde um zum
Beispiel aus Proton und Neutron, die von der starken Wechselwirkung nicht unterschieden werden,
ein Ladungsdublett zu machen. Die Orientierung der dritten Komponente des imaginären Spins repräsentiert die verschiedenen Ladungen innerhalb einer Teilchenart. Für die Ladung gilt dann:
Q = e · (I3 +
B+S+C +T +B
)
2
Die Summe aus der Baryonenzahl, dem Isospin und den flavour Quantenzahlen ergibt eine neue Quantenzahl, die sogenannte Hyperladung Y . Betrachtet man die Erhaltung von Isospin und Hyperladung
so lässt sich dies als SU(3) Symmetrie darstellen. Die Transformationen der SU(3) Gruppe führen zu
Multipletts denen die verschiedenen Hadronen zugeordnet werden können. Die Elemente des niedrigsten Multipletts sind dann die Quarks. Eine Übersicht über die Quarks befindet sich in Tabelle 2.
2.4
Charakteristische Quantenzahlen
Die verschiedenen Teilchen werden durch bestimme Quantenzahlen charakterisiert. Dazu gehört der
Spin, die elektrische Ladung, der Isospin, die flavour Quantenzahlen, die Farbladung, die Leptonenund Baryonenzahl. Jedes Teilchen wird durch seine individuelle Kombination an Quantenzahlen charakterisiert.
2
Tabelle 2: Übersicht über die Quarks
flavour
B
I
I3
S
C
B
T
Q
u
d
c
s
t
b
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
2
1
2
1
2
− 12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
1
0
2
3
− 13
2
3
− 13
2
3
− 13
1. Generation
2. Generation
3. Generation
3
Die Wechselwirkungen
Die fundamentalen, in der Natur wirkenden Kräfte sind Gravitation, die elektromagnetische Wechselwirkung, die schwache Wechselwirkung und die starke Wechselwirkung. Jede Kraft wirkt auf alle
Teilchen die eine für die Kraft spezifische Ladung tragen. Im Falle der elektromagnetischen Wechselwirkung ist dies zum Beispiel die elektrische Ladung. Im Standardmodell werden die Kräfte durch
Eichtheorien beschrieben, die Kraftwirkung erfolgt also durch Austausch des zugehörigen Eichbosons.
Außerdem können sich Eichbosonen auch in Teilchen und Antiteilchen umwandeln oder Teilchen und
Antiteilchen können sich zu einem Eichboson vernichten. Das Prinzip der Eichtheorie basiert auf der
Eichinvarianz der Langrange-Dichte, die die Wechselwirkung beschreibt, unter bestimmten Symmetrietransformationen, die für die Erhaltungsgrößen der Wechselwirkung stehen.
3.1
Gravitation
Die Ladung der Gravitation ist die Masse. Da die uns bekannte Materie positive Masse besitzt, ist
die Kraftwirkung der Gravitation immer anziehend. Die Gravitation ist unabhängig von sämtlichen
Quantenzahlen und beeinflusst diese auch nicht. Betrachtet man Elementarteilchen, so kann die Gravitation in der Regel vernachlässigt werden, da sie sehr, sehr schwach im Vergleich zu den anderen
Kräften ist. Im Makroskopischen ist die Gravitation allerdings die relevante Kraft, da sie eine unendliche Reichweite besitzt. Klassisch wird die Gravitation durch die allgemeine Relativitätstheorie
beschrieben. Eine quantenmechanische, eichtheoretische Beschreibung der Gravitation gibt es nicht,
die Gravitation ist also nicht im Standardmodell enthalten.
3.2
Die elektromagnetische Wechselwirkung
Die Ladung der elektromagnetischen Wechselwirkung ist, wie bereits erwähnt, die elektrische Ladung.
Da es elektrisch positiv und negativ geladene Teilchen gibt, kommt es zu anziehender und abstoßender
Kraftwirkung. Die Reichweite der elektromagnetischen Kraft ist ebenfalls unendlich, allerdings wird sie
mit zunehmendem Abstand schwächer, da die Ladung durch Vakuumpolarisation abgeschwächt wird.
Klassisch wird der Elektromagnetismus durch die Maxwellschen Gleichungen beschrieben. Quantenmechanisch wird die elektromagnetische Wechselwirkung durch die Quantenelektrodynamik beschrieben.
Das zugehörige Austauschteilchen ist das Photon. Es ist selbst ungeladen und masselos.
3.2.1
Quantenelektrodynamik
Die Erhaltungsgröße der Quantenelektrodynamik ist die elektrische Ladung. Die Langrange-Dichte
muss also invariant unter den Transformationen G der zugehörigen U(1) Symmetriegruppe sein. Also:
GL(Ψe ) → L(Ψ∗e )
Diese Symmetriegruppe entspicht einer Phasenverschiebung in der Wellenfunktion der Teilchen. Diese
globale Phasensymmetrie bedeutet, dass die physikalischen Gesetze unabhängig von der Phase der
3
Wellenfunktionen sind. Fordert man nun auch lokale Eichinvarianz, also Invarianz unter lokaler Phasentransformation gilt:
G(x)L(Ψe ) → L∗ (Ψ∗e )
Dies bedeutet, dass die Phase der Wellenfunktion an jeden Raum-Zeit-Punkt neu gewählt werden
kann. Nun wird aber die Lagrange-Dichte durch die Transformation verändert, ist also nicht mehr Invariant. Diese Invarianz lässt sich allerdings wieder herstellen, wenn ein weiteres Feld mit unendlicher
Reichweite eingeführt wird, das die örtlichen Änderungen der Wellenfunktion kompensiert. Dieses Feld
ist das elektromagnetische Feld. Die Änderung in der Wellenfunktion des Feldquants, des Photons,
kompensiert die Änderung in der Wellenfunktion des Teilchens. Die Invarianz ist also wieder gegeben,
wenn das Photon als Feldquant eingeführt wird und die Wechselwirkung zweier Teilchen als Wechselwirkung eines Teilchens mit einem Photon, Propagation des Photons und als Wechselwirkung des
zweiten Teilchens mit dem Photon beschrieben wird. Es gilt also:
G(x)L(Ψe , A) → L(Ψ∗e , A)
Die lokale Eichinvarianz führt also dazu, dass ein masseloses Eichboson als Austauschteilchen benötigt
wird. Wäre das Photon massebehaftet, wäre die Eichinvarianz nicht gegeben. Ein massebehaftetes
Teilchen würde auch dazu führen, dass die Theorie nicht renormierbar wäre. Lokale Eichinvarianz
scheint also ein Indiz für eine renormierbare Theorie zu sein.
3.3
Die schwache Wechselwirkung
Die schwache Wechselwirkung hat eine kurze Reichweite. Sie erhält die Parität nicht, unterscheidet
also zwischen rechts- und linksdrehenden Teilchen. Dies zeigt sich daran, dass nur links händige Neutrinos und größtenteils links händige Elektronen bei Zerfällen der schwachen Wechselwirkung entstehen.
Die erhaltene Quantenzahl, die angibt welche Zerfälle stattfinden können und welche nicht, ist die
Leptonenzahl L. Die drei Familien der Leptonen haben jeweils eine eigene Leptonenzahl also im Fall
der Elektronen und Elektroneutrinos zum Beispiel Le . Die schwache Wechselwirkung kann als Wechselwirkung zwischen zwei Teilchenströmen beschrieben werden. Man unterscheidet zunächst zwischen
Reaktionen an denen nur Leptonen beteiligt sind, Reaktionen an denen Leptonen und Hadronen beteiligt sind und Reaktionen an denen nur Hadronen beteiligt sind. Betrachtet man Leptonenströme so
fällt auf, dass immer wenn ein Elektroneutrino absorbiert wird ein Elektron entsteht und immer wenn
ein Elektroneutrino entsteht entsteht außerdem ein Positron. Das bedeutet das die Wellenfunktionen
der Leptonen immer Paarweise auftreten. Die beiden Wellenfunktionen sind mittels einer Wechselwirkungsfaktors verknüpft, der dafür sorgt dass es zur Paritätsverletzung kommt. Der Leptonenstrom
lautet also folgendermaßen:
LW = Ψe ΓΨνe + Ψµ ΓΨνµ
und
LW = Ψνe ΓΨe + Ψνmu ΓΨµ
Aus dem Produkt dieser beiden Leptonenströme lassen sich alle stattfindenden Reaktionen zusammensetzen. Da der Strom zwischen einem geladenen Lepton und dem zugehörigen ungeladene Neutrino
fließt, nennt man ihn geladenen Strom.
Möchte man nun auch Reaktionen betrachtet bei denen Hadronen teilhaben, so unterscheidet man
diese zunächst in Reaktionen bei denen die Strangeness erhalten bleibt und solche bei denen sie nicht
erhalten bleibt. Da es so viele verschiedene Hadronen gibt, wird der Hadronenstrom nicht als Summe der einzelnen Wellenfunktionen geschrieben sondern stattdessen als der Effekt, den er auf die
Quantenzahlen der Hadronen hat. Der gesamte Strom kann nun also geschrieben werden als:
J W = LW + H W
4
und
J W = LW + H W
Das Produkt dieser Ströme gibt nun sowohl die Leptonen-, also auch die Hadronen-, als auch die
gemischten Reaktionen wieder. Der Hadronenstrom besteht aus einem Teil der die Strangeness erhält
(h± ) und einem Teil der dies nicht tut(s± ). Da der Hadronenstrom die Quantenzahlen der Hadronen
ändern kann, besteht eine Verbindung zur SU(3) Symmetrie, die die erlaubten Quantenzahlstruktur
der Hadronen beschreibt. Für die Änderung durch den s erhaltenden Teil ergibt sich dann:
h± : (∆Y = 0, ∆I = 1, ∆I3 = ±1)
und für den s ändernden Teil:
1
1
s± : (∆Y = ±1, ∆I = , ∆I3 = ± )
2
2
Die Strangeness erhaltende Komponente ist wesentlich stärker gewichtet. Mit diesem Formalismus
können nun Aussagen über die Wahrscheinlichkeit bestimmter Prozesse gemacht werden, die allerdings nicht exakt sind, da die tatsächlichen Wellenfunktionen der Hadronen nicht betrachtet werden.
Betrachtet man den Hadronenstrom auf Ebene der Quarks, so lässt sich dieser zunächst als eine
Änderung eines Quark-flavours interpretieren. Der Fluss der Quantenzahlen lässt sich damit darstellen, allerdings ist das confinement nicht berücksichtigt. Insgesamt lässt sich die schwache Wechselwirkung also einigermaßen im Bild der Teilchenströme darstellen, aber gerade bei hohen Energien trifft
dieses Bild nicht mehr zu. Ziel ist also die schwache Wechselwirkung auch mittels eines Austauschteilchens zu beschreiben. Dieses ist das W-Boson. Bei niedrigen Energien muss eine Beschreibung mittels
W-Bosonen Austausch der mittels der Teilchenströme entsprechen. Zwei Teilchenströme koppeln nun
also nicht mehr direkt aneinander, sonder Wechselwirken über das W-Boson. Da das W-Boson sowohl
geladene Ströme als auch neutrale Ströme beschreiben soll, muss es mit drei verschiedenen Ladungen
vorkommen. Außerdem muss es massiv sein um die geringe Reichweite der Wechselwirkung erklären
zu können.
3.3.1
Eichtheorie der schwachen Wechselwirkung
Um eine Eichtheorie der schwachen Wechselwirkung formulieren zu können, muss die Erhaltung der
Leptonenzahlen der einzelnen Familien als Symmetriegruppe dargestellt werden. Dazu werden die beiden Teilchen einer Leptonenfamilie jeweils in ein Dublett l eingeordnet. Da die schwache Wechselwirkung nicht zwischen den beiden Teilchen einer Familie, also deren elektrischen Ladung, unterscheidet,
können diese als Isospin-Dublett des sogenannten schwachen Isospins aufgefasst werden. Die schwache Wechselwirkung muss also Invariant unter Rotationen im schwachen Isospin-Raum, einer SU(2)
Gruppe, sein. Für die Lagrange-Dichte gilt also:
GSU (2) L(le , lµ ) → L(le∗ , lµ∗ )
Fordert man nun wieder lokale Eichsymmetrie, muss man in Analogie zur Quantenelektrodynamik ein
masselosen Eichboson W einführen um die Invarianz der Lagrange-Dichte zu gewährleisten. Also:
GSU (2) (x)L(le , lµ , W ) → L(le∗ , lµ∗ , W ∗ )
Da das Teilchen seine Ladung durch die Wechselwirkung ändern kann, muss das W-Boson ein Ladungstriplett sein. Nach dieser Theorie muss das W-Boson masselos sein, dies ist aber experimentell
nicht der Fall. Um also die Theorie mit der Realität vereinbaren zu können, muss ein Mechanismus
gefunden werden, durch den das W-Boson Masse erhalten kann und die Wechselwirkung dennoch der
lokalen Eichinvarianz genügt. Dies ist die Spontane Symmetriebrechung.
5
3.3.2
Spontane Symmetriebrechung und Higgs-Mechanismus
Gibt es eine asymmetrische Lösung zu einer symmetrischen Theorie, so ist der symmetrische Zustand nicht der eigentliche Grundzustand. Auf dem Weg zum Grundzustand wird dann die Symmetrie gebrochen. Dies nennt man spontane Symmetriebrechung. In der Eichtheorie bedeutet spontane
Symmetriebrechung das die Lagrange-Dichte symmetrisch, der tatsächliche Grundzustand aber asymmetrisch ist. Betrachtet man eine Lagrange-Dichte, die die Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen
Φ1 und Φ2 beschreibt, die Rotationssymmetrisch um den Ursprung ist, deren Minimum allerdings bei
Φ21 + Φ22 = R2 liegt und führt folgende Transformation aus: Φ01 = Φ1 und Φ02 = Φ2 − R, so ist die
Lagrange-Dichte nun nicht mehr Invariant unter Rotation beschreibt aber die selben physikalischen
Gesetze. Nach der Transformation beschreibt die Lagrange-Dichte nun ein massebehaftetes Teilchen
Φ2 und ein masseloses Teilchen Φ1 . Mit dieser Theorie sollen nun die Teilchenmassen erklärt werden.
Das Problem hierbei ist, dass immer zu einem massiven Teilchen auch ein masseloses Spin-null-Teilchen
entsteht, das sogenannte Goldstone Boson. Betrachtet man nun lokale Eichinvarianz muss wieder ein
Eichboson eingeführt werden. Führt man nun die selbe Transformation von Φ1 und Φ2 durch, erhält
Φ2 eine Masse proportional zu R, das Goldstein Boson Φ1 verschwindet und das Austauschteilchen
erhält ebenfalls eine Masse proportional zu R. Dies nennt man den Higgs-Mechanismus. Das massive
Spin-null-Teilchen Φ2 wird Higgs-Boson genannt.
3.3.3
Das Glashow-Weinberg-Salam-Modell
Das Glashow-Weinberg-Salam Modell beschreibt eine Vereinigung der elektromagnetischen und der
schwachen Wechselwirkung in einer Theorie. Es beschreibt die Wechselwirkung von Leptonen unter
Austausch von W-Bosonen und Photonen und beinhaltet den Higgs-Mechanismus. Zunächst wird die
schwache Wechselwirkung mit einem masselosem W-Boson formuliert, welches dann durch den HiggsMechanismus Masse erhält. Da das Photon der elektromagnetischen Wechselwirkung keine Masse
erhalten soll, sollte die transformierte Lagrange-Dichte immer noch invariant unter den zugehörigen
U(1) Transformationen sein. Die Leptonen werden hierzu wieder in Dupletts lR dargestellt. Allerdings
werden in diesen nur die linkshändigen Teilchen betrachtet, weshalb von Elektron, Muon und Tauon
zusätzlich noch rechtshändige Singletts betrachtet werden müssen lR . Damit dies möglich ist, müssen
die Teilchen zunächst als masselos angenommen werden. Da die Erhaltungsgrößen vor und nach der
spontanen Symmetrie Brechung andere sind und die heutige Welt dem Zustand nach der Symmetriebrechung entspricht, bei dem die Ladung erhalten ist, gibt es eine gewisse Freiheit die Erhaltungsgrößen
vor der spontanen Symmetriebrechung zu wählen. Eine der Größen ist wieder der schwache Isospin.
Um diesen in Bezug zur elektrischen Ladung der Teilchen zu bringen wird die schwache Hyperladung
eingeführt Y. Für die elektrisch Ladung gilt dann:
Q = e(I3W +
YW
)
2
Sind schwacher Isospin und schwache Hyperladung erhalten, so ist auch die elektrische Ladung erhalten. Die Lagrange-Dichte muss nun also lokal invariant unter den SU(2) Transformationen des Isospins
und den SU(1) Transformationen der Hyperladung sein. Es muss also gelten:
∗
GSU (2) (x)L(lL , W ) → L(lL
,W∗
mit dem W-Boson der schwachen Wechselwirkung und
∗ ∗
GU (1) (x)L(lL , lR , B) → L(lL
, lR , B ∗ )
mit einem zusätzlichen Eichboson B. Insgesamt gilt also:
∗ ∗
GSU (2)×U (1) (x)L1 (lL , lR , W, B) → L1 (lL
, lR , W ∗ , B ∗ )
6
Nun wird ein Teilchendublett Φ eingeführt, dass das Higgsfeld enthält. Dieses Dublett hat die selben
Quantenzahlen wie das linkshändige Leptonendublett. Man betrachtet nun den Term, der die Wechselwirkungsenergie beschreibt L2 (Φ, B, W ). Da dieser auch lokal eichinvariant sein muss beinhaltet er
die Eichbosonen. Außerdem erhält man noch einen Wechselwirkungsterm des Higgsfeldes mit den Leptonen L3 (lL , lR , Φ). Die lokale Eichinvarianz der gesamten Lagrange-Dichte L1 +L2 +L3 ist gebrochen.
Führt man nun wieder die Transformation durch ergibt sich folgendes: Der schwache Isospin und die
schwache Hyperladung sind keine Erhaltungsgrößen mehr, die elektrische Ladung ist allerdings noch
erhalten. Die U(1) Symmetrie der elektromagnetischen Wechselwirkung ist also nicht gebrochen und
somit bleibt auch das Photon masselos. Die Eichbosonen B und W erhalten Masse. Das Photon setzt
sich aus den neutralen Eichbosonen B und W 0 zusammen:
A = W 0 sin(ΘW ) + Bcos(ΘW )
wobei der Winkel ein Parameter ist der das Verhältnis angibt. Es entsteht auch noch ein weiteres
zusammengesetztes Eichboson
Z 0 = W 0 cos(ΘW ) − BsinΘW )
Dies ist das neutrale Eichboson der schwachen Wechselwirkung. Es erhält Masse durch Absorption
von Teilen von Φ0 und dessen Antiteilchen. Die verbleibenden Teile ergeben das Higgs-Boson. W +
und W − erhalten Masse durch Absorption von Φ− und seinem Antiteilchen Φ+ . Die Leptonen erhalten Masse proportional zur Ursprünglichen Verschiebung. Insgesamt beschreibt die elektro-schwache
Wechselwirkung also die Quantenelektrodynamik und die schwache Wechselwirkung als Austausch von
massebehafteten Bosonen.
3.4
Die starke Wechselwirkung
Die starke Wechselwirkung ist auf Grund ihrer kurzen Reichweite ein reines Quantenphänomen. Sie ist
unabhängig von der elektrischen Ladung. Die zugehörige Ladung ist die sogenannte Farbladung. Das
Austauschteilchen ist das Gluon. Es ist masselos und elektrisch ungeladen, trägt allerdings Farbladung.
Die Farbladung wird auch benötigt um die Zusammensetzung mancher Baryonen zu verstehen, die
aus drei Quarks mit der gleichen flavour Quantenzahl bestehen. Ohne eine zusätzliche Quantenzahl
zur Unterscheidung der Quarks wäre das Pauli-Prinzip verletzt. Da drei Quarks unterschieden werden
müssen, muss es drei verschiedene Farbladungen geben, die zusammen weiß ergeben, da Baryonen
keine Farbladung tragen. Da auch Mesonen keine Farbladung haben, müssen die Antiquarks eine
entgegengesetzte Farbladung, die Antifarben tragen. Die Kraftwirkung zwischen den drei verschiedenen
Farben und zwischen Farbe und Antifarbe muss anziehend sein. Eine eichtheoretische Beschreibung
der starken Wechselwirkung erfolgt mit der sogenannten Quantenchromodynamik.
3.4.1
Quantenchromodynamik
Die starke Wechselwirkung ist Invariant unter einer Transformation der Farben, deren Symmetriegruppe die SU(3) Gruppe ist. Die Lagrange-Dichte muss also invariant unter den Transformationen
der SU(3) Gruppe sein. Die lokale Invarianz erfordert wieder das Einführen eines Eichfeldes mit dem
zugehören Eichboson, dem Gluon. Das Gluon ist masselos und hat den Spin eins. Da sich ein Quark
und ein Antiquark einer beliebigen Farbe und Antifarbe annihilieren können, müssen Gluonen als
Farbladung eine Farbe und eine Antifarbe tragen. Da die Gluonen Farbladung tragen, können sie
auch untereinander Wechselwirken. Zwei Besonderheiten der starken Wechselwirkung sind das Confinement und die asymptotische Freiheit. Dadurch, dass die Gluonen auch Farbladung tragen werden die
Ladungen der Quarks durch Vakuumpolarisation nicht abgeschwächt sondern verstärkt. Die Stärke
der Kraft nimmt also mit dem Abstand zu. Betrachtet man sehr kleine Abstände sind die Quarks
näherungsweise frei.
7
Teil I
Symmetrien und Erhaltungsgrößen
Symmetrien führen immer zu Erhaltungsgrößen. Symmetrien können durch die Gruppentheorie beschrieben werden. Verändert sich eine Funktion nicht unter der Gruppentransformation einer Symmetrie, ist also invariant, so ist der Generator der Gruppe eine Erhaltungsgröße, bezüglich des physikalischen Vorgangs, der durch die Funktion beschrieben wird.
4
Raum-Zeit Symmetrien
Hierzu gehören Translation, Rotation und Zeitentwicklung. Es handelt sich hierbei um kontinuierliche
Symmetrien, die aus infinitesimalen Transformationen zusammengesetzt werden. Sind physikalische
Gesetze invariant unter diesen Transformationen, verändert sich ihre mathematische Form nicht. Invarianz unter Zeitentwicklung führt zur Energieerhaltung, Invarianz unter Translation zur Impulserhaltung und Invarianz unter Rotation zur Drehimpulserhaltung. Alle Wechselwirkungen sind Invariant
unter diese Transformationen es gilt also immer Energie-, Impuls- und Drehimpulserhaltung.
5
Diskrete Symmetrien
Diskrete Symmetrien beschreiben Spiegelungen. Ein Zustand hat eine bestimmte Symmetrie. Wenn
eine Wechselwirkung die Symmetrie erhält muss der Endzustand die selbe Symmetrie besitzen.
5.1
Parität
Der Paritätsoperator P beschreibt eine Punktspiegelung am Ursprung. Ist ein System Invariant unter der Paritätstransformation, so darf sie die Wahrscheinlichkeitsdichte durch anwenden des Paritätsoperators nicht ändern, der Operator hat also die Eingenwerte ±1. Das System kann also gerade
oder ungerade Parität haben. Wenn bei einer Wechselwirkung die Parität erhalten ist, kann sich ein
Anfangszustand mit gerader Parität nicht in einen Endzustand mit ungerader Parität ändern und
umgekehrt.
5.2
Ladungsparität
Die Ladungsparität C beschreibt eine Vertauschung von Teilchen und Antiteilchen. Sind physikalische
Gesetze die ein Teilchen beschreiben invariant unter Ladungsparität, so gelten sie für das zugehörige
Antiteilchen ebenso. Genau wie bei der Parität kann ein Zustand gerade oder ungerade Ladungsparität
haben.
5.3
Zeitparität
Die Zeitparität verknüpft eine Prozess mit dem selben, in der Zeit rückwärts laufenden Prozess. Ist ein
System invariant unter Zeitparität so kann ein Prozess von Anfangs- zu Endzustand auch umgekehrt
ablaufen.
5.4
CPT-Symmetrie
Ein System kann auch invariant unter einem Produkt der drei diskreten Symmetrien sein, also zum
Beispiel unter einer Punktspiegelung und einer Vertauschung von Teilchen und Antiteilchen. Dann
gelten vor und nach diesem Prozess die selben Gesetze und das Produkt der beiden Eigenwerte eines
Zustandes ist erhalten. Das Produkt der drei diskreten Symmetrien, die CPT-Symmetrie ist immer
8
erhalten. Ein Prozess ist also identisch zu seinem gespiegelten, rückwärts laufenden Antiteilchenprozess.
6
Dynamische Symmetrien
Die Erhaltung der elektrischen Ladung bedeutet dass die Lagrangesichte invariant unter einer Phasenverschiebung in der Wellenfunktion sein muss. Ehaltene Quantenzahlen können durch die Invarianz
der Lagrangedichte unter einer passenden Symmetrieoperation beschreiben werden.
7
Innere Symmetrien
Die bis jetzt beschriebenen Symmetrien beschreiben Erhaltungssätze bei Teilchenreaktionen. Es gibt
auch Symmetrien die die verschiedenen Teilchen anhand von inneren Eigenschaften kategorisieren.
Teilchen können ja nach Wert der verschiedenen Quantenzahlen in Gruppen oder Multipletts geordnet
werden
9
Quellen:
• G. D. Coughlan and J. E. Dodd; The ideas of particle physics - An introduction for scientists;
Cambridge University Press
• H. V. Klapdor-Kleingrothaus/ K. Zuber; Teilchenastrophysik; Teubner
• Berger; Elementarteilchenphysik; Springer
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