Mathe I - Ingo Manfraß

Mathe I
Modul: Grundlagen Rechnungswesen
Studiengänge: BBA/BGS
Ingo Manfraß (TEAM Dr. Kowalski)
19. April 2015
Dies’ ist kein Selbstlernskript, sondern lediglich als Hilfe
für die Vorlesung gedacht. Es enthält u.a. etliche Lückentexte.
Zudem ist es nur für die Vorlesungen in Costs für den Bachelor
gedacht, die ich halte.
Alle Angaben sind (wie immer) ohne Gewähr. D.h. Fehler sind
menschlich und bitte ich somit zu entschuldigen...
Ingo Manfraß
§1
Grundlagen
§ 1.1 Mengen
A, B, C, . . .
Elemente
a, b, c, . . .
Elementzugehörigkeit
a∈A
bzw.
A∋a
1
Beispiel für Zahlenmengen
Natürliche Zahlen N
N = {1, 2, 3, . . . , n, n + 1, . . . }
N0 = {0, 1, 2, 3, . . . , n, n + 1, . . . }
Ganze Zahlen Z
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }
2
Rationale Zahlen Q
Q={
m
| m ∈ Z und n ∈ N}
n
Zahlen mit endlich vielen Nachkommastellen ( 1
4 =
0.25) oder mit unendlich vielen periodischen Nach1 = 0.333 . . . ).
kommastellen ( 3
Reelle Zahlen R
Alle rationalen Zahlen und die Zahlen, die unendlich viele nicht-periodische Nachkommastellen haben.
√
(z.B. 2, π, e ≈ 2.718 . . . )
3
Mengenverknüpfungen
Seien A, B Mengen
Durchschnittsmenge
A ∩ B = {x | x ∈ A und x ∈ B}
4
Vereinigungsmenge
A ∪ B = {x | x ∈ A oder x ∈ B oder x ∈ A ∩ B}
5
Differenzmenge
A \ B = {x | x ∈ A und x ∈
/ B}
6
Logische Operatoren
• oder: ∨
• und: ∧
• Negation: ¬
• Implikationspfeil/Folgerungspfeil: ⇒
Wenn x in A ist, dann ist auch x in B:
x∈A ⇒ x∈B
• Äquivalenzpfeil: ⇔
(x ∈ A ⇒ x ∈ B) und (x ∈ B ⇒ x ∈ A):
x∈A ⇔ x∈B
7
Mengeninklusionen
• A ist Teilmenge von B
d.h.: x ∈ A ⇒ x ∈ B
A⊆B
• A ist gleich B
A=B
d.h.: x ∈ A ⇔ x ∈ B
• A ist echte Teilmenge von B
A⊂B
bzw.
A(B
d.h.: A ⊆ B und A 6= B
8
Für festes G mit A ⊆ G heißt
Ā = {x ∈ G | x ∈
/ A}
das Komplement von A (bzgl. G).
9
Ein Fazit für die obigen Zahlenmengen:
N ⊆ N0 ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R
10
Ebenfalls zu den Grundlagen gehört die Benutzung von
Quantoren:
• Für alle Elemente x der Menge A gilt die Aussage a:
∀ x ∈ A : a(x) gilt
• Es existiert ein Element x in A, für das die Aussage a
gilt:
∃ x ∈ A : a(x) gilt
11
Definition Es seien A, B zwei Mengen.
Das kartesische Produkt (auch Kreuzprodukt) A × B ist
die Menge aller geordneter Paare (a, b) mit a ∈ A und
b ∈ B:
A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}
12
§ 1.2 Funktionsbegriff
Definition Seien X, Y Mengen und f : X → Y eine Zuordnung zwischen den Elementen von X und Y .
Dann heißt f eine Funktion (oder Abbildung), wenn gilt:
∀x, x′ ∈ X :
x = x′ ⇒ f (x) = f (x′ )
13
Beispiel X = Y = R und f : R → R mit x 7→ x2
14
Beispiel X = Y = [−1, 1], x2 + y 2 = 1
15
Definition Seien X, Y Mengen, f : X → Y . Dann heißen
a) Definitionsbereich von f
Df := {x ∈ X | ∃y ∈ Y : f (x) = y}
b) Wertebereich von f
Wf := {y ∈ Y | ∃x ∈ X : f (x) = y}
c) Graph von f
Gf := {(x, y) ∈ X × Y | f (x) = y}
16
§2
Wahrscheinlichkeitsrechnung
§ 2.1 Grundlagen
Zufallsexperiment = reproduzierbarer Vorgang, dessen Ausgang vom Zufall abhängig ist.
17
Beispiel einmaliger Würfelwurf
Ergebnis = Ausgang eines Zufallsexperimentes
Ω = Ergebnisraum
= {alle Ergebnisse}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
18
Eine Teilmenge A ⊆ Ω heißt Ereignis“.
”
Speziell heißen Ereignisse, die nur aus einem Ergebnis bestehen Elementarereignisse“.
”
19
Aus Ereignissen A, B lassen sich neue Ereignisse konstruieren:
A ∩ B = A und B treten gleichzeitig ein.
20
Beispiel Zufallsexperiment: einmaliger Würfelwurf
C = Ereignis: gerade Augenzahl größer als 2
Aufsplitten in kleinere“ Ereignisse
”
A=
=
B=
=
⇒
C=
21
A ∪ B = A oder B oder beide treten ein.
22
Beispiel Zufallsexperiment: dreimaliger Münzwurf
C = Ereignis: mindestens 2 Wappen
Ω=
Stelle C als Vereinigung von Elementarereignissen dar.
( Primfaktorzerlegung“)
”
⇒
C=
23
Für einander ausschließende Ereignisse A, B gilt also
A ∩ B = ∅ = {}
wobei ∅ das unmögliche“ Ereignis ist.
”
Dual dazu ist (ganz) Ω das sichere Ereignis“.
”
24
Definition Das Ereignis Ā heißt das zu A bzgl. Ω komplementäre Ereignis oder Gegenereignis“.
”
25
Dabei gilt offensichtlich:
A ∪ Ā = Ω
(Tautologie)
A ∩ Ā = ∅
(Kontradiktion)
Bezeichnung
|A| =Anzahl der Ergebnisse in A
26
Ein Maß für die Sicherheit des Eintretens eines Ereignisses
A ist die Wahrscheinlichkeit:
W (A) = Wahrscheinlichkeit dafür, dass A eintritt
27
Es gibt 4 mögliche Wahrscheinlichkeitsbegriffe
1) subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff
2) statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff (nach von Mises)
3) klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff (nach Laplace)
A Ereignis
⇒
Anzahl der Günstigen
Anzahl aller Möglichkeiten
|A|
=
|Ω|
W (A) =
28
4) axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff (nach Kolmogorov )
① Jede Wahrscheinlichkeit ist eine eindeutig bestimmte reelle Zahl:
W (A) ∈ R
mit
0 ≤ W (A) ≤ 1
② W (Ω) = 1
③ spezieller Additionssatz
A, B einander ausschließend
⇒
W (A∪B) = W (A)+W (B)
29
③ läßt sich auf endlich viele (sogar abzählbar unendlich
viele) paarweise einander ausschließende Ereignisse übertragen:
A1, A2, . . . , An paarweise einander ausschließend
⇒
W (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An) = W (
n
[
Ai )
i=1
= W (A1) + W (
n
[
Ai )
i=2
= W (A1) + W (A2) + W (
n
[
Ai )
i=3
= W (A1) + W (A2) + · · · + W (An)
=
n
X
W (Ai)
i=1
30
Beispiel Ein Würfel wird zweimal hintereinander geworfen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl
= 4 ist?
31
Vorgehensweise A als Vereinigung von Elementarereignissen darstellen und die Wahrscheinlichkeit W (A) mit
Laplace (und Kolmogorov) ausrechnen.
32
Für das Gegenereignis Ā = Augensumme 6= 4 ergibt sich:
33
Allgemein gilt für das Gegenereignis Ā eines Ereignisses A:
W (A) = 1 − W (Ā)
34
Insbesondere gilt für die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses ∅:
W (∅) = 0
Begründung
35
Der allgemeine Additionssatz für beliebige (nicht notwendig einander ausschließende) Ereignisse: A, B beliebige Ereignisse
W (A ∪ B) =
36
A, B, C beliebige Ereignisse
W (A ∪ B ∪ C) =
37
Problem
W (A ∪ B) = W (A) + W (B) − W (A ∩ B)
Man sieht“: Es müssen Multiplikationssätze“ her!
”
”
38
§ 2.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Fallbeispiel 6 Glühbirnenbeispiel, 1. Evolutionsstufe
Grundgesamtheit:
Stichprobe:
39
Gesucht: Die Wahrscheinlichkeit beim 2. Zug eine brauchbare Birne zu entnehmen (B) unter der Voraussetzung
(Bedingung), dass bereits die erste Birne brauchbar war
(A).
W (B unter der Bedingung A) = ?
Abk.:
W (B/A)
apriori-Ereignis
aposterioriEreignis
40
Vereinbarung: Die Glühbirnen sind durchnumeriert. 5 und
6 sind defekt.
Ω=
(1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6);
(2, 1);
(2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6);
(3, 1); (3, 2);
(3, 4); (3, 5); (3, 6);
(4, 1); (4, 2); (4, 3);
(4, 5); (4, 6);
(5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4);
(6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5)
(5, 6);
41
1. Birne ist brauchbar
2. Birne ist brauchbar
1. und 2. Birne sind ( gleichzeitig“) brauchbar
”
42
1. oder 2. Birne brauchbar
43
Da man beim 2. Zug voraussetzt, dass die erste Birne ok
ist (Bedingung A), steht für den 2. Zug nicht mehr der
ganze Ergebnisraum Ω zur Verfügung.
Im Sinne von Laplace ist also die Anzahl aller möglichen
Ergebnisse nicht mehr |Ω| = 30, sondern lediglich |A| = 20.
44
Also hat man gemäß Laplace:
W (B/A) =
=
=
45
Es ergibt sich:
Satz allgemeiner Multiplikationssatz
W (A ∩ B) = W (A) · W (B/A)
46
Definition A, B heißen stochastisch unabhängig, wenn das
Eintreten von A nicht vom Eintreten von B und das
Eintreten von B nicht vom Eintreten von A abhängig
ist.
W (B/Ā) = W (B/A)
Lemma (Hilfsatz)
A, B stochastisch unabhängig
⇒
W (B/A) = W (B)
47
Korrolar (Folgerung) spezieller Multiplikationssatz
A, B stochastisch unabhängig
⇒
W (A∩B) = W (A)·W (B)
48
Wahrscheinlichkeit = Maßbegriff für Ereignisse
49
§ 2.3 Binäre Entscheidungsbäume
Fallbeispiel 6 Glühbirnenbeispiel, 2. Evolutionsstufe
Bezeichnung:
Bi = brauchbar im i-ten Zug
(i ∈ {1, 2})
Übersetzung“:
”
50
Entscheidungsbaum
51
Allgemein:
W ( ∩ ∆)
W (/∆) =
W (∆)
W (B1/B2) =
52
Musterklausur, Aufgabe 2 Zuerst die Checkliste“:
”
① Z = Zug verspätet
S = Schiff verspätet
② Alle gegebenen Wahrscheinlichkeiten hinschreiben;
gesuchte Wahrscheinlichkeit formulieren
③ Baum so verzweigen, dass alle Wahrscheinlichkeiten
direkt eingetragen werden können
④ Baum vervollständigen
⑤ Gesuchte Wahrscheinlichkeit formulieren/ermitteln
53
①
② geg.:
ges.:
⑤
54
③,④ Entscheidungsbaum
55
Fallbeispiel 5b)
①
② geg.:
ges.:
⑤
56
③,④ Entscheidungsbaum
57
Fallbeispiel 5a)
①
② geg.:
ges.:
⑤
58
③,④ Entscheidungsbaum
59
§ 2.4 Kombinatorik
Binomialkoeffizient


 N 
=

n
N!
(N − n)! · n!
=
=
=
60
Beispiel Wie Wahrscheinlich sind 6 Richtige im Lotto?
61
Die hypergeometrische Verteilung
Voraussetzungen:
• Merkmal ist dichotom
• Merkmal ist diskret
• Ziehen ohne Zurücklegen (ZoZ)
62
Variablen:
N
n
M
x
: Grundgesamtheitsumfang
: Stichprobenumfang
: Anzahl der Merkmalsträger in der Grundgesamtheit
: Anzahl der Merkmalsträger in der Stichprobe
63
Wahrscheinlichkeitsfunktion

f (x) = W (X = x) =
 

 M   N −M 

·

x

n−x

 N 


n
64
Beispiel Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit im Lotto (6
aus 49) 3 bzw. 4 Richtige zu tippen.
65
Fallbeispiel 6 Glühbirnenbeispiel, 3. Evolutionsstufe
X = Anzahl brauchbarer Birnen
Berechne die Wahrscheinlichkeiten:
a) Genau 7 brauchbare zu ziehen.
b) Mindestens 1 brauchbare zu ziehen.
66
§3
Lineare Algebra
(Matrizenrechnung)
§ 3.1 Matrizen
Motivation: Möbelproduktion
x = Anzahl Stühle
y = Anzahl Hocker
67
Pro Stuhl werden 4 Beine benötigt
⇒
Pro Stuhl wird 1 Lehne benötigt
⇒
5 Stühle:
5 Stühle:
Beine
Lehnen
68
Tabelle:
Stuhl
Beine
→
Lehnen
69
Pro Hocker werden 3 Beine benötigt
⇒
5 Hocker:
Pro Hocker werden 0 Lehnen benötigt
⇒
5 Hocker:
Beine
Lehnen
70