Abstract - Research Collection

Research Collection
Doctoral Thesis
Primes of the shape x² + ny²
The distribution on average and prime number races
Author(s):
Ditchen, Jakob J.
Publication Date:
2013
Permanent Link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-010138958
Rights / License:
In Copyright - Non-Commercial Use Permitted
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ETH Library
Diss. ETH No. 21502
Primes of the shape x2 + ny 2
The Distribution on Average and Prime Number Races
A dissertation submitted to
ETH Zürich
for the degree of
Doctor of Sciences
Presented by
Jakob Johann Ditchen
Dipl.-Math. techn.
Universität Karlsruhe (TH)
Certificate of Advanced Study in Mathematics
University of Cambridge
Born on 10 November 1982
Citizen of Germany
Accepted on the recommendation of
Prof. Dr. Emmanuel Kowalski
Prof. Dr. Özlem Imamoglu
Prof. Dr. Philippe Michel
2013
Examiner
Co-examiner
Co-examiner
Abstract
This thesis focuses on uniformities and discrepancies in the distribution of prime
numbers represented by positive definite integral binary quadratic forms of various
discriminants.
We prove results of Bombieri–Vinogradov and Barban–Davenport–Halberstam type
on the average distribution of the primes with respect to their representability by
these forms. Our results imply that the corresponding prime number theorem holds
uniformly and with a non-trivial error term for almost all negative fundamental
discriminants in long ranges.
Moreover, we investigate a variant of “Chebyshev’s bias” between primes of the
shapes x2 + ny 2 and x2 + my 2 for certain distinct positive integers n and m.
Deutsche Zusammenfassung
Die vorliegende Dissertation befasst sich mit Gleichmäßigkeiten und Diskrepanzen
in der Verteilung von Primzahlen, die durch positiv definite, ganzzahlige binäre
quadratische Formen mit unterschiedlichen Diskriminanten darstellbar sind.
Wir beweisen Varianten des Satzes von Bombieri-Vinogradov sowie des Satzes von
Barban-Davenport-Halberstam und zeigen so, dass der betreffende Primzahlsatz,
von höchstens „wenigen“ Ausnahmen abgesehen, für negative Fundamentaldiskriminanten in langen Intervallen ein gleichmäßiges und nicht-triviales Restglied aufweist.
Des Weiteren untersuchen wir für gewisse Paare (n, m) positiver ganzer Zahlen
eine Diskrepanz zwischen den Verteilungen von Primzahlen der Form x2 + ny 2 und
solchen der Form x2 + my 2 ; dies stellt ein Gegenstück zu einer klassischen Beobachtung von Tschebyscheff bezüglich Primzahlen der Formen 4k + 1 und 4k + 3 dar, die
in den letzten Jahren intensiv untersucht wurde.
Binäre quadratische Formen, das heißt homogene Polynome der Gestalt
f (x, y) = ax2 + bxy + cy 2
(x, y ∈ Z)
mit ganzzahligen Koeffizienten a, b und c, sind neben arithmetischen Folgen die einfachsten
Polynome von denen bekannt ist, dass jedes von ihnen unendlich viele Primzahlen darzustellen
vermag, sofern dem nicht Kongruenzbeziehungen der Koeffizienten offensichtlich entgegenstehen.
Die analytische Theorie der Darstellung von Primzahlen durch fest gewählte binäre quadratische
Formen ist ähnlich gut erforscht wie jene der Primzahlen in fest gewählten arithmetischen
Folgen. Es ist hingegen nur wenig darüber bekannt, wie sich diese Eigenschaften im Durchschnitt
über mehrere binäre quadratische Formen unterschiedlicher Diskriminante verhalten oder wie
sie im Vergleich zweier verschiedener Formen von einander abweichen – andererseits existieren
zahlreiche solcher Resultate für Primzahlen in arithmetischen Folgen.
Für Primzahlen in arithmetischen Folgen wurden für die erstgenannte Art von Problemen
mittels des Großen Siebs ab den 1960er Jahren Resultate erzielt, die es in Anwendungen häufig
ermöglichen, auf den Gebrauch der verallgemeinerten Riemannschen Vermutung zu verzichten.
Die bekanntesten dieser Ergebnisse sind der Satz von Bombieri-Vinogradov sowie der Satz von
Barban-Davenport-Halberstam. Diese zeigen zum einen, dass das Restglied im Primzahlsatz für
arithmetische Folgen im Durchschnitt dem durch die Riemannsche Vermutung vorhergesagten
entspricht; dabei wird der Durchschnitt über die Moduln der arithmetischen Folgen im selben
Bereich betrachtet, in welchem die Riemannsche Vermutung nicht-triviale Ergebnisse liefert.
Zum anderen konnte gezeigt werden, dass der mittlere quadratische Fehler im Primzahlsatz
sehr klein ist, wenn sowohl über die Moduln als auch über deren Restklassen gemittelt wird;
der hier zulässige Bereich für die Moduln übersteigt dabei sogar den durch die Riemannsche
Vermutung kontrollierten Bereich.
In der vorliegenden Arbeit werden analoge Resultate für positiv definite, ganzzahlige binäre
quadratische Formen gefunden: Sei X eine große, positive Zahl. Für die Anzahl der Primzahlen
p 6 X, für welche – bei gegebener ganzer Zahl n – ganze Zahlen x und y existieren, so dass
p sich in der Form p = x2 + ny 2 schreiben lässt, zeigen wir insbesondere, dass der zugehörige
Primzahlsatz für die quadratfreien, positiven ganzen Zahlen n ≡ 1 (mod 4) unterhalb von etwa
X 1/10 gleichmäßig in n gilt – abgesehen von höchstens „wenigen“ Ausnahmen. Allgemeiner
beweisen wir konkret, dass für alle A > 0 eine Konstante B = B(A) existiert, so dass für alle
ε > 0 die Beziehung
li(X) 1/2
−A
max π(X; q, C) −
ε,A Q X(log X)
e(C)h(q)
C∈K(q)
q>−Q
X0
gilt, falls Q10+ε 6 X(log X)−B ist. Hierbei bezeichnet π(X; q, C) die Anzahl der Primzahlen
p 6 X, welche durch die quadratischen Formen der Formenklasse C aus der Formenklassengruppe K(q) zur Diskriminante q darstellbar sind, h(q) bezeichnet die Klassenzahl zu dieser
Diskriminante, li steht für das logarithmische Integral und e(C) ist eine von der Klasse abhängige Konstante; die Summe auf der linken Seite läuft über negative Fundamentaldiskriminanten
q > −Q mit q 6≡ 0 (mod 8).
Ferner zeigen wir, dass das Restglied im Primzahlsatz für positiv definite binäre quadratische Formen im quadratischen Mittel über sowohl Fundamentaldiskriminanten als auch die
zugehörigen Formenklassen in einem größeren Bereich klein ist: Für alle A > 0 existiert eine
Konstante B = B(A), so dass für alle ε > 0 die Beziehung
2
X π(X; q, C) − li(X) ε,A Q1/2 X 2 (log X)−A
e(C)h(q) q>−Q C∈K(q)
X0
gilt, falls Q3+ε 6 X(log X)−B ist.
Beide Ergebnisse erreichen nicht die Stärke der oben genannten Resultate für arithmetische
Folgen. Dies ist unter anderem auf den Umstand zurückzuführen, dass es uns lediglich gelingt
eine schwächere Version einer Ungleichung zum Großen Sieb für komplexe Klassengruppencharaktere zu finden, welche für Ergebnisse dieses Typs unentbehrlich scheint.
Während die bisher genannten Ergebnisse sich mit der Untersuchung von Uniformität in der
Verteilung von durch arithmetische Folgen respektive binäre quadratische Formen darstellbaren Primzahlen befassen, ist die Frage nach Diskrepanzen in diesen Verteilungen nicht minder
interessant. Tschebyscheff bemerkte bereits, dass die Anzahl der Primzahlen in der Folge 4k + 1
unterhalb einer gegebenen Zahl meist kleiner ist als diejenige in der Folge 4k + 3. Dem Primzahlsatz zufolge sind beide Anzahlen asymptotisch gleich, so dass die Ursachen dieser „Vorliebe“
der Primzahlen für die zweite Folge nicht offensichtlich sind. Erst in den letzten Jahren wurde
diese Diskrepanz in allgemeiner Form für arithmetische Folgen eingehend untersucht.
Wir untersuchen in dieser Arbeit einen ähnlichen Effekt, der sich für die Anzahl der Primzahlen der Form x2 + ny 2 und solche der Form x2 + my 2 unterhalb einer gegebenen Zahl
offenbart, wenn sich die zugehörigen Diskriminanten der beiden Formen in der Klassenzahl zwar
gleichen – und somit, nach dem Primzahlsatz, auch das asymptotische Verhalten der Verteilungen übereinstimmt –, sie sich in der Anzahl ihrer ungeraden Primfaktoren aber unterscheiden.
Von den großen Meistern wie Fermat, Euler, Gauß und Dirichlet wurde Primzahlen der
Form x2 + ny 2 mindestens ebenso viel Beachtung geschenkt wie Primzahlen der Form a + nk.
Und noch de la Vallée Poussin bewies in seiner Arbeit zum Primzahlsatz diesen nicht nur in der
gewöhnlichen Form und in der Form für arithmetische Folgen, sondern ebenfalls gleich in der
Form für positiv definite binäre quadratische Formen. Wiewohl Primzahlen, die durch binäre
quadratische Formen darstellbar sind, seither immer wieder prominent in Erscheinung getreten
sind – beispielsweise als wichtiger Bestandteil bestimmter Faktorisierungsalgorithmen –, haben
die Untersuchungen bezüglich Gleichmäßigkeiten und Diskrepanzen in ihrer Verteilung jedoch
bei weitem nicht mehr dieselbe Aufmerksamkeit erhalten wie die entsprechende Forschung zu
Primzahlen in arithmetischen Folgen, die sich häufig einfacher gestaltet. Die vorliegende Arbeit
möchte einen Beitrag dazu leisten, diese Lücke dereinst zu schließen.