Algebraische Geometrie 1 2.¨Ubungsblatt

Prof. Dr. Torsten Wedhorn
Jan Möllers
Elena Fink
WS 08/09
Algebraische Geometrie 1
2. Übungsblatt
Abgabe: Am Mittwoch, den 29.10.08 bis 12 Uhr im Briefkasten 8 vor D1.348.
Bei jeder Aufgabe kann man 10 Punkte erreichen.
Aufgabe 5:
Sei X ein topologischer Raum und E eine Menge.
(a) Eine Abbildung f : X −→ E heißt lokal konstant, wenn für jedes x ∈ X eine offene Menge
x ∈ U ⊆ X existiert, auf der f konstant ist. Zeige, dass für eine Abbildung f : X −→ E gilt:
f ist stetig bezüglich der diskreten Topologie auf E ⇐⇒ f lokal konstant.
(b) Sei E eine beliebige Menge. Wir definieren für eine offene Teilmenge U ⊂ X:
F (U ) = {f : U −→ E lokal konstante Abbildung}.
Zeige, dass F eine Garbe auf X ist, die sogenannte konstante Garbe.
(c) Bestehe nun die Menge E aus mehr als einem Element. Zeige, dass für diese konstante Garbe F
genau dann gilt F (U ) = E ∼
= {f ∈ F (U ) | ∃e ∈ E : f (x) = e ∀x ∈ U } für alle ∅ 6= U ⊆ X,
wenn X irreduzibel ist.
Aufgabe 6:
Wir identifizieren den Raum M2 (k) der 2 × 2-Matrizen mit dem A4 (k) (mit Koordinaten a, b, c, d und
zugehörigen Unbestimmten A, B, C, D) durch
a b
M2 (k) 3 M =
7−→ (a, b, c, d) ∈ A4 (k)
c d
Darin betrachten wir solche Matrizen, deren Quadrat verschwindet, also die Verschwindungsmenge
des Ideals a ⊂ k[A, B, C, D] welches von den Einträgen von M 2 erzeugt wird:
a = (A2 + BC, D2 + BC, (A + D)B, (A + D)C).
Zeige, dass
a ( rad(a) = (AD − BC, A + D),
und dass V (a) eine irreduzible abgeschlossene Teilmenge von A4 (k) ist.
Bemerkung: rad(a) wird gerade von der Determinante und der Spur von M erzeugt. Sind diese beiden
gleich 0, so gilt für das charakteristische Polynom χM = T 2 − Tr(M ) · T + det(M ) = T 2 ∈ k[T ],
und M ist nilpotent. Für 2 × 2-Matrizen ist dies äquivalent zu M 2 = 0. Deshalb heißt V (a) auch der
nilpotente Kegel.
Aufgabe 7:
Sei char(k) 6= 2, und seien Z1 = V (U (T − 1) − 1) ⊂ A2 (k) und Z2 = V (Y 2 − X 2 (X + 1)) ⊂ A2 (k)
abgeschlossene Teilmengen des A2 (k). Zeige, dass die Vorschrift (t, u) 7→ (t2 − 1, t(t2 − 1)) einen
bijektiven Morphismus f : Z1 −→ Z2 definiert, der jedoch kein Isomorphismus von Varietäten ist.
Skizziere f .
Aufgabe 8:
Eine Teilmenge Z eines topologischen Raums X heißt lokal abgeschlossen, wenn Z der Schnitt einer
offenen und einer abgeschlossenen Teilmenge von X ist.
Beschreibe das Bild von f : A2 (k) → A2 (k), (x, y) 7→ (x, xy). Zeige, dass dieses Bild nicht lokal
abgeschlossen ist, aber endliche Vereinigung von lokal abgeschlossenen Mengen ist.