Stochastik Musterlösung 2

ETH Zürich HS 2016
RW, D-MATL, D-MAVT
Prof. Dr. Martin Schweizer
Koordinator
Calypso Herrera
Stochastik
Musterlösung 2
1. a) Es tritt genau eines der beiden Ereignisse A oder B ein.
b) Die Unabhängigkeit von A und B bedeutet P(A ∩ B) = P(A)P(B), daraus
folgt unter Beachtung von P(D \ C) = P(D) − P(C), falls C ⊆ D,
P(A ∩ B c) = P(A \ (A ∩ B)) = P(A) − P(A ∩ B) = P(A) − P(A)P(B)
= P(A)(1 − P(B)) = P(A)P(B c ).
Alternativ folgt der Tipp auch daraus, dass A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B c ) eine
disjunkte Vereinigung ist und damit
P(A) = P(A ∩ B) + P (A ∩ B c).
(Das is auch klar aus dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit.)
c) Die jährliche Einsturzwahrscheinlichkeit E1 ∪ E2 lässt sich wie folgt berechnen:
P (E1 ∪ E2 ) = P (E1 ) + P (E2 ) − P (E1 ∩ E2 ) = 0.04 + 0.08 − 0.04 · 0.08 = 0.1168,
wobei P (E1 ∩ E2 ) = P (E1 ) · P (E2 ), weil E1 , E2 unabhängig sind.
2. a) Wir betrachten das Laplace-Experiment mit Grundraum Ω = {1, . . . , 30}
wobei die Zahlen folgenden Ereignissen entsprechen:
1, . . . , 5
6, . . . , 10
Junge, hat braune Augen,
Junge, hat keine braunen Augen,
11, . . . , 20
Mädchen, hat braune Augen,
21, . . . , 30
Mädchen, hat keine braunen Augen.
P[M ] = 3010 = 31 .
W = {11, . . . , 30} ⇒ P[W ] = 20
= 32 .
30
B = {1, . . . , 5} ∪ {11, . . . , 20} ⇒ P[B] = 15
= 12 .
30
M = {1, . . . , 10}
⇒
Bitte wenden!
M ∩ W = ∅ ⇒ P[M ∩ W ] = 0 6=
und W nicht unabhängig.
M ∩ B = {1, . . . 5} ⇒
M und B unabhängig.
2
9
=
12
33
=
P[M ]P[W ], also sind M
P[M ∩ B] = 305 = 16 = 13 12 = P[M ]P[B], also sind
10
= 13 = 23 21 = P[W ]P[B], also
W ∩ B = {11, . . . 20} ⇒ P[W ∩ B] = 30
sind W und B ebenfalls unabhängig.
(Alternativ folgt das auch aus Aufgabe 1 b) wegen W = M c .)
b) Das Ereignis von Interesse ist:
• A: Es gibt mind. 2 Lawinenabgänge in der Alpenregion an einem Tag.
Wir betrachten zunächst:
• Ac : Es gibt keine oder genau eine Lawine in der Alpenregion an einem
Tag.
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich an einem Gipfel eine Lawine löst, beträgt
1/40. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich an einem Gipfel keine Lawine löst,
beträgt daher 1 − 1/40 = 39/40. Da Lawinenabgänge auf verschiedenen
Berggipfeln unabhängig sind, gilt
25
39 39
39
39
P (’keine Lawine’) =
= 0.5310 .
·
· ··· ·
=
40 40
40
40
Die Wahrscheinlichkeit eines Lawinenabgangs an einem bestimmten Berggipfel und keinen Abgängen an den restlichen 24 anderen Gipfeln ist analog
(1/40) · (39/40)24 . Summiert über die 25 möglichen Gipfel ergibt sich
24
1
39
P (’genau eine Lawine’) = 25 ·
·
= 0.3404 .
40
40
Da diese beiden Ereignisse disjunkt sind, erhalten wir
P (Ac ) = P (’keine Lawine’) + P (’genau eine Lawine’) = 0.8714 ,
und wir können die Wahrscheinlichkeit von A berechnen:
P (A) = 1 − P (Ac ) = 0.1286.
Anmerkung: Die Anzahl der Lawinenabgänge in der Alpenregion ist binomialverteilt (siehe später); wir hätten also auch direkt mit den Formeln der
Binomialverteilung rechnen können.
3. Seien A bzw. B das Ereignis, dass eine zufällig ausgewählte Festplatte von der
Einheit A bzw. B produziert wurde. Sei D das Ereignis, dass diese Festplatte
defekt ist.
Siehe nächstes Blatt!
a) Nach dem Satz von Bayes ist
P (A|D) =
P (D|A) P (A)
0.08 · 0.11
=
= 0.063 = 6.3% .
P (D)
0.14
b) Analog zu a) berechnen wir mit dem Satz von Bayes zunächst
P (B|D) =
P (D|B) P (B)
0.04 · 0.23
=
= 0.066 = 6.6% .
P (D)
0.14
Unter Beachtung, dass A und B disjunkte Ereignisse sind, folgt dann
P ((A ∪ B)c |D) = 1 − P (A ∪ B|D) = 1 − P (A|D) + P (B|D)
= 1 − 0.063 − 0.066 = 0.871 = 87.1% ,
4. a) Gemäss den Rechenregeln für bedingte Wahrscheinlichkeiten folgt
P (G|W c ) = 1 − P (Gc |W c ) = 1 − 0.9 = 0.1.
Mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit erhält man
P (G) = P (G ∩ W ) + P (G ∩ W c ).
Einsetzen der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten liefert
P (G ∩ W ) + P (G ∩ W c ) = P (G|W )P (W ) + P (G|W c )P (W c )
1
2
19
= 0.75 · + 0.1 · =
= 0.3167,
3
3
60
wobei P (W c ) = 1 − P (W ) = 23 .
b) Mithilfe der Formel von Bayes erhält man
P (W |G) = P (G|W ) ·
P (W )
1/3
15
= 0.75 ·
=
= 0.7895.
P (G)
19/60
19
c) Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses (W ∩ Gc ) ∪ (W c ∩ G)
(beachte: Die Aufgabenstellung fragt nicht nach bedingten Wahrscheinlichkeiten...). Die Wahrscheinlichkeit, dass Patrick vermutet, dass kein Öl vorhanden ist und tatsächlich welches da ist, ist gegeben durch P (W ∩ Gc ).
Analog ist die Wahrscheinlichkeit, dass Patrick vermutet, dass Öl vorhanden ist und tatsächlich aber keines da ist, gegeben durch P (W c ∩ G). Die
Bitte wenden!
Wahrscheinlichkeit, dass Patrick die Lage falsch einschätzt, ist also gegeben
durch
P (W ∩ Gc ) + P (W c ∩ G) = P (Gc |W ) · P (W ) + P (G|W c ) · P (W c )
1
2
= 0.25 · + 0.1 · = 0.15.
3
3
d) Sei A das Ereignis, dass Patrick mindestens einmal angibt, dass kein Öl vorhanden ist. Das Komplementärereignis (Ac ) dazu ist dann, dass Patrick nie
angibt, dass kein Öl vorhanden ist (also dass er in allen 10 Fällen angibt,
dass Öl vorhanden ist). Da die Entscheidungen an allen Standorten als unabhängig voneinander angenommen werden, ist die Wahrscheinlichkeit, dass
Patrick an allen 10 Standorten angibt, dass Öl vorhanden ist gegeben durch
P (Ac ) = 0.7510 = 0.056.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Patrick mindestens einmal angibt, dass kein Öl
vorhanden ist, beträgt also
P (A) = 1 − P (Ac ) = 1 − 0.7510 = 0.944.