¨Ubungsblatt 1

Experimentalphysik IVa (Festkörperphysik I)
WS 2012/13
Prof. Dr. Rolf Pelster
Übungsblatt 1
für die Übungen in der Woche vom 22.-26.10.2012
1) In der Vorlesung wurde gezeigt, dass für die potentielle Energie eines Ionenkristalls
Upot
z·A
αq 2
'N·
−
R12
4πε0 R
!
gilt (N: Zahl der Atome / z: Zahl der nächsten Nachbarn eines Atoms / R: Abstand der
nächsten Nachbarn / A: Konstante / q: Ladung eines Ions / α: Madelung-Konstante /
ε0 = 8.854 · 10−12 F/m: Permittivität des Vakuums).
a) Bestimmen Sie den Gleichgewichtsabstand R0 zwischen zwei nächsten Nachbarn (Formel, keine Zahlen).
b) Berechnen Sie die Bindungsenergie EB = Upot (R = R0 ) [Hinweis: den unbekannten
Term zA können Sie als Funktion von R0 ausdrücken]. Wie groß ist der relative Anteil
der repulsiven Wechselwirkung?
2) Die elektrostatische Energie (oder Madelung-Energie) eines Kristalls hängt von seiner
Gitterstruktur ab. Berechnen sie für eine lineare Kette, die aus abwechselnd positiven und
negativen Ionen besteht, die Madelung-Konstante,
α=
X (±1)
j6=i
pij
(i: Index des Bezugsatoms; rij : Abstand zwischen den Atomen i und j; pij = rij /R; R:
Abstand nächster Nachbarn ; (±1) = qi qj /|qi qj |, d.h. entgegengesetzt geladene, sich anziehende Ionen liefern einen positiven Beitrag, gleichgeladene einen negativen). Hinweis:
Vergleichen sie das Ergebnis mit einer Taylorentwicklung von ln(z) um z = 1.
3) Berechnen Sie die Madelung-Konstante der skizzierten zweidimensionalen periodischen
Struktur. Berücksichtigen Sie dabei zunächst nur Beiträge von Ionen in der inneren quadratischen Zelle, dann von denen in der größeren zweiten Zelle (überprüfen sie, dass die
Zellen elektrisch neutral sind). Die Ionen sollen dabei jeweils nur mit dem innerhalb der
Zelle liegenden Bruchteil gewichtet zu α beitragen (siehe die Schattierungen der Skizze;
die Bezugspunkte rij sind immer unverändert im Ionenmittelpunkt anzusiedeln).
Hintergrund: Die Zerlegung in Zellen, die die Symmetrie des Kristalls besitzen, aber keine resultierende
Ladung tragen, sorgt dafür, dass die Aufsummierung
der Beiträge rasch konvergiert. Dies ist insbesonere
bei 3D-Gittern wichtig, wo das Coulombpotential mit
1/r abfällt, die Zahl der zu berücksichtigen Ionen aber
mit r2 zunimmt.