Übungen zur Physik III

Übungen zur Physik III
SoSe 2017
Blatt 11 (16 P.)
Abgabe am 3.07. in der Vorlesung mit Angabe des Namens und der Übungsgruppe
Aufgabe 1: Stabilität der DNS
Die DNS-Doppelhelix sei vereinfacht durch einen Reißverschluss mit N Gliedern
beschrieben. Jedes Glied hat einen geschlossenen Zustand der Energie 0 bzw. einen offenen
Zustand der Energie ε > 0 . Der Reißverschluss lasse sich nur von einem Ende aus öffnen,
das k-te Glied kann also nur geöffnet werden wenn das (k-1)-te Glied bereits offen ist.
(a) Zeigen Sie, dass für die Zustandsumme Z gilt:
"
1 ! exp(!(N + 1)
)
k BT
Z =
"
1 ! exp(!
)
k BT
(b) Berechnen Sie die innere Energie U des Systems.
(2 P.)
(2 P.)
(c) Bestimmen Sie den Erwartungswert <N-n> für die Anzahl geschlossener Glieder (n steht
hier für die Anzahl offener Glieder) und berechnen Sie deren Grenzwerte für T → ∞ bzw. für
T → 0. Diskutieren Sie den Fall N = 1000, T = Raumtemperatur, ε = 2eV.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem hier betrachteten System und den Vibrationen
zweiatomiger Moleküle (siehe Vorlesung)
(2 P.)
Aufgabe 2: Zwei-Niveau-System
Betrachten Sie ein System aus N unterscheidbaren Teilchen mit je zwei Zuständen der
Energien 0 bzw. ε > 0.
Geben Sie die innere Energie in Abhängigkeit von der Temperatur an. Skizzieren Sie den
funktionalen Zusammenhang und diskutieren Sie den Grenzfall großer Temperaturen.
Berechnen Sie die spezifische Wärme und die Entropie und geben Sie deren Grenzwerte für
T → ∞ bzw. für T → 0 an.
(3 P.)
Aufgabe 3: Molekularstrahl
In einer Kammer befinde sich ein Gas bei der Temperatur T und der Teilchendichte ρ.
Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit der Teilchen in der Kammer. In der Wand sei
eine kleine Öffnung mit der Fläche A, durch welche Gasmoleküle austreten. Wie viele
!
Teilchen pro Fläche und Zeitintervall treten aus der Kammer mit der Geschwindigkeit v = v
in den Raumwinkel dΩ aus? Wie viele Teilchen treten insgesamt pro Fläche und Zeiteinheit
durch die Öffnung. Drücken Sie diese Größen durch die berechnete mittlere Geschwindigkeit
aus.
Hinweis:
!
" dx x e
#x
(3 P.)
=1
0
Aufgabe 4: Ideales Gas im harmonischen Potential
1
!
In einem harmonischen Potential W( r ) = m!2 r 2 seien N nicht miteinander wechsel2
wirkende Teilchen der Masse m eingeschlossen. Die Teilchen befinden sich im thermischen
Gleichgewicht bei der Temperatur T.
(a) Geben Sie den 1/e-Radius des Ensembles und die Teilchendichte im Nullpunkt des
Potentials an.
(2 P.)
(b) Berechnen Sie die mittlere Energie pro Teilchen. Welchen Anteil haben die kinetische und
die potentielle Energie?
(2 P.)
Hinweis:
"
#
0
dx x 2 exp(!x 2 ) =
$
,
4
"
#
0
dx x 4 exp(!x 2 ) =
3 $
8