Nachklausur zu Lineare Algebra und Geometrie AI/MI/MTI 3 WS

1
Nachklausur zu
Lineare Algebra und Geometrie
AI/MI/MTI 3
WS 2015/16, 04.11.2015
Prof. Dr. Hans-Jürgen Steens
Name:
Vorname:
Matrikelnummer:
Die Klausur besteht aus 15 Aufgaben.
Es sind maximal 137 Punkte zu erreichen.
Es sind alle Hilfsmittel zur selbständigen Bearbeitung erlaubt.
Sie werden zeitlich nicht alle Aufgaben bearbeiten können. Konzentrieren Sie sich deshalb auf diejenigen Aufgaben, die Ihnen liegen. Markieren
Sie bitte die Aufgaben, die Sie bearbeitet haben.
Aufgabe
Punkte
1
6
2
10
3
6
4
10
5
7
6
5
7
4
8
5
9
8
10
8
11
9
12
15
13
9
14
15
15
20
2
Vektorräume
Aufgabe 1: (6 Punkte)
Wir betrachten den Vektorraum R2 . Sind folgende Teilmengen U des R2 Unterräume?
a) U = {(x, y)|x = y}
b) U = {(x, y)|x + 5y = 0}
c) U = {(x, y)|4x + 7y − 1 = 0}
Aufgabe 2: (10 Punkte)
Wir betrachten den Vektorraum aller stetigen Funktionen [0, 1] → R.
i) Warum handelt es sich hierbei tatsächlich um einen Vektorraum, warum führen die Addition und die skalare Multiplikation nicht aus diesem Raum heraus.
ii) Können Sie eine (begründete Aussage) zur Dimension dieses Vektorraumes machen?
Aufgabe 3: (6 Punkte)
Ist die mengentheoretische Vereinigung zweier Unterräume U1 ∪ U2 zweier Unterräume U1 , U2 ⊂ V eines Vektorraumes V wieder ein Unterraum? (Begründung)
Skalarprodukte
Aufgabe 4: (10 Punkte)
i) Hat die folgendende Funktion f : R2 × R2 → R mit
f ((x, y), (x′ , y ′ )) = 2xx′ + yx′ + 2xy ′ + 2yy ′
die Eigenschaften eines Skalarproduktes?
ii)∗ Können Sie die Funktion f durch eine geeignete Matrixmultiplikation darstellen?
Aufgabe 5: (7 Punkte)
Sie erhalten die Koordinaten verschiedener Vektoren bzgl. eines unter Umständen
schiefwinkligen Koordinatensystems basierend auf zwei Basisvektoren e1 , e2 in R2 .
Das Skalarprodukt habe für die Basisvektoren folgende Werte:
√
e1 · e1 = e2 · e2 = 1; e1 · e2 = 1/ 2.
Die Koordinaten der Vektoren bzgl. der Basis e1 , e2 lauten
(
) (
) (
)
1
−1
2
,
,
.
2
2
−1
Skizzieren Sie das Koordinatensystem und markieren Sie die drei Vektoren in diesem Koordinatensystem.
3
Aufgabe 6: (5 Punkte)
Zeigen Sie, dass eine Projektion pr⃗y deniert durch
pr⃗y (⃗x) :=
⃗x · ⃗y
⃗y
⃗y · ⃗y
idempotent ist, dass also gilt pr⃗y (⃗x) = pr⃗y (pr⃗y (⃗x)).
Basen und Dimensionen
Aufgabe 7: (4 Punkte)
Ergänzen Sie folgende Vektoren (1, 2, 3), (0, 0, 1) um einen Vektor, so dass man eine
Basis des R3 erhält.
Aufgabe 8: (5 Punkte)
Zeigen Sie, wenn e1 , e2 , e3 eine Basis eines 3-dim. Vektorraumes ist, dann ist auch
e1 , e2 , e1 + e2 + e3 eine Basis.
Aufgabe 9: (8 Punkte)
Sie können C × C auf natürliche Weise als C-Vektorraum auassen (zugelassene
Skalare sind dann alle komplexen Zahlen) oder auch als R-Vektorraum (dann dürfen als Skalare nur reelle Zahlen benutzt werden).
Finden Sie jeweils eine Basis für C × C als C-Vektorraum und als R-Vektorraum.
Lineare Abbildungen und Matrizen
Aufgabe 10: (8 Punkte)
Welche der folgenden Abbildungen ist linear (kurze Begründung)? (Denitions
und Wertebereich ergeben sich jeweils aus den Bildungsgesetzen.)
a) (x, y, z) 7→ 4x + y + 6z ,
b) (x, y, z) 7→ x · y + z ,
c) (x, y, z) 7→ (x, y),
d) (x, y) 7→ (x, x, 0).
Aufgabe 11: (9 Punkte)
i) Eine lineare Abbildung R3 → R2 sei gegeben durch
(x, y, z) 7→ (2x − 2y − z, x + 2y).
Wie sieht die Matrix dieser linearen Abbildung aus bzgl. der Standardbasen.
4
ii) Eine lineare Abildung R2 → R2 sei gegeben durch die Festlegungen:
(1, 1) 7→ (1, 1)
und
(1, 2) 7→ (1, 0).
Wie sieht die Matrix dieser linearen Abbildung aus bzgl. der Standardbasen?
Aufgabe 12: (15 Punkte)
Beschreiben Sie die Drehmatrix einer Drehung im R3 um die z -Achse als Drehachse mit Drehung um 90◦ , um 180◦ und um einen beliebigen Winkel α. Können
Sie ohne weitere Rechnungen sagen, welche Eigenwerte und Eigenvektoren diese
Drehungen haben?
Determinanten
Aufgabe 13: (9 Punkte)
Berechnen Sie die Determinanten folgender Matrizen:
(
)
3 1
a)
,
−1 7


1 0 2
b)  3 1 1  ,
2 0 1


1 1 0
0
 0 3 3
1 

c) 
 2 1 0 −1  .
3 0 1
1
Lineare Gleichungssysteme
Aufgabe 14: (15 Punkte)
Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem:
x + y + 2z
= 1
−x + −2y + z
x + 3y + 3z
= 0
= 0.
i) mit dem Gausschen Algorithmus,
ii) mit Hilfe der inversen Matrix,
iii) mittels der Cramerschen Regel.
5
Sonderaufgabe∗
Aufgabe 15: (20 Punkte)
Wir betrachten zwei Abbildungen
F
G
R2 → R2 → R2
mit den folgenden Bildungsgesetzen:
G(x1 , x2 ) = (x21 + x22 , x1 · x2 )
sowie
F (x1 , x2 ) = (x1 + x2 , x1 · x2 ).
∂Fi
Bilden sie die Abbleitung (Funktionalmatrix) ( ∂x
) von F im Punkt (1, 1) und die
j
i
Ableitung ( ∂G
∂xj ) von G im Punkt (2, 1) (= F (1, 1)). Rechnen Sie dann nach, dass
(im Punkt (1, 1)) gilt:
(
) (
) (
)
∂Fj
∂(G ◦ F )i
∂Gi
·
=
.
∂xj
∂xk
∂xk