Stochastik 1 - Mathematisches Seminar - Christian

Christian-Albrechts-Universität zu Kiel
Mathematisches Seminar
Prof. Dr. Uwe Rösler
Marcin Wnuk
SS 2016
Blatt 6
Stochastik 1
Aufgabe 1 (6 Punkte)
Die Dichte der Exponentialverteilung zum Parameter λ > 0 ist gegeben durch:
f (x) = λ e−λ x 1{x>0}
Mithilfe der Exponentialverteilung modeliert man oft Wartezeiten. Nehmen wir ein Modell
an, in dem die Wartezeit beim Arzt (in Minuten) eine zum Paramter λ exponentiell verteilte
Zufallssgröße X ist.
(a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X
Sei weiter λ = 1.
(b) Mithilfe der Markov-Tschebyschev Ungleichung schätzen Sie von oben die Wahrscheinlichkeit, dass man länger als 10 Minuten warten muss.
(c) Wie hoch ist wirklich diese Wahrscheinlichkeicht?
Aufgabe 2 (6 Punkte)
Es sei (Ω, A , P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Zeigen Sie, dass für eine nichtnegative ZuR∞
fallsgröße X gilt: EX = 0 P(X > t)dt
Aufgabe 3 (6 Punkte)
Wir wollen den folgenden Satz von Weierstraß beweisen: Sei f eine stetige Funktion auf
[0, 1]. Dann existiert für jedes ε > 0 ein Polynom p mit supx∈[0,1] | f (x) − p(x)| < ε. Hinweis:
man betrachte pn (x) = E f ( Bn ), wobei B eine Zufallsgröße mit Binomialverteilung zu den
Parametern n, x ist.
Aufgabe 4(6 Punkte)
In einem Land Ö, in dem es bald Wahlen gibt, existieren zwei Parteien: A und B. Da die Bürger
ziemlich unschlüßig sind, jeder würfelt kurz vor den Wahlen eine unfaire Münze (unabhängig
von allen anderen) die mit Wahrscheinlichkeit p = 0, 499 A zeigt und mit Wahrscheinlichkeit
1 − p B, und wählt dann entsprechend. In Ö gibt es gerade genau n = 107 Wahlberechtigte,
wir wissen auch, dass jeder davon an den Wahlen teilnehmen wird (Menschen in Ö sind
ausgesprochen pflichtbewusst).
Eine Partei gewinnt die Wahlen wenn sie mehr als n/2 Stimmen bekommt.
(a) Mithilfe der Tschebyschev - Markov Ungleichung schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit,
dass die Partei A gewinnt von oben ab.
(b) Mithilfe der Hoeffding Ungleichung schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit dass die
Partei A gewinnt von oben ab.
Aufgabe 5 (6 Punkte)
Sei Xn , n ∈ N eine Folge von zentrierten unabhängigen identisch verteilten Zufallsgrößen mit
endlichem vierten Moment. Weiterhin, sei Sn = ∑ni=1 Xi . Zeigen Sie, dass limn→∞ Snn = 0 fast
sicher gilt.
Hinweis: Tschebyschev-Markov Ungleichung für den vierten Moment und Borel-Cantelli
Lemma können sich als nützlich erweisen.
Abgabetermin: DIENSTAG 31.05.2016, 14:15 (ich würde mich offensichtlich auf früheren
Abgaben freuen)
Besprechung: Mittwoch, 1.06.2016