76. Seien X1 und X2 voneinander unabhängige ZVe, die die Werte

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76. Seien X1 und X2 voneinander unabhängige ZVe, die die Werte 0 und 1 jeweils mit Wahrscheinlichkeit p = 21 annehmen. Seien Y1 = X1 + X2 und Y2 = |X1 − X2 |; bestimme die gemeinsame
Verteilung von (Y1 , Y2 ) und die Kovarianz Cov(Y1 , Y2 ).
77. Seien X und Y unabhängige ZVe, X sei B(n, p)-verteilt, Y sei B(m, p)-verteilt. Zeige, dass die
ZV X + Y B(n + m, p) verteilt ist.
78. Seien X und Y unabhängige ZVe, X sei P (λ)-verteilt, Y sei P (µ)-verteilt. Zeige, dass die ZV
X + Y P (λ + µ) verteilt ist.
79. Seien X1 , . . . , Xr stochastisch unabhängige G(p)-verteilte ZV. Bestimme die Verteilung der Variablen X1 + · · · + Xn .
80. Sei A ein Ereignis eines Zufallsexperiments mit P (A) = p für ein p ∈ (0, 1). Sei r ∈ N; wir
führen das Zufallsexperiment so oft durch, bis das Ereignis A r mal eingetreten ist. Sei X die
Anzahl der Ausführungen des Experiments. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der ZV
X. (Die so erhaltene Verteilung heißt negative Binomialverteilung N B(r, p) mit den Parametern
r, p.)
81. Man würfelt so lange, bis zum n-ten Mal 6 auftritt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
das beim k-ten Wurf passiert?
82. Wie oft muss man im Schnitt Würfeln, bis alle sechs Augenzahlen geworfen wurden? Wie stark
streuen die tatsächlichen Ergebnisse um diesen Mittelwert?
83. Zwei Punkte werden zufällig in [0, 1] gewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer ≥ t ist (für ein gegebenes t ∈ (0, 1))?
84. Zwei Punkte werden zufällig in [0, 1] gewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihre
Summe ≤ t ist (für ein gegebenes t ∈ (0, 1))?
85. In einer Wand befindet sich ein äußerlich nicht sichtbares Drahtgeflecht aus 4 mm starkem
Draht, das Rechtecke mit den Seitenlängen 50 mm und 80 mm (gemessen von Drahtmitte zu
Drahtmitte) bildet. An einer zufällig gewählten Stelle wird mit einem 10 mm-Bohrer ein Loch
in die Wand gebohrt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dabei das Drahtgeflecht getroffen?
86. Zwei Punkte a und b werden zufällig in [0, 4] gewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
die quadratische Gleichung x2 + ax + b = 0 zwei reelle Nullstellen hat?
2
n
1
, n+1
, . . . , n+1
mit jeweils gleicher Wahr87. Für n ∈ N sei Xn eine diskrete ZV, die die Werte n+1
scheinlichkeit annimmt. Skizziere die Verteilungsfunktion Fn für n = 2, 3, 4 und zeige, dass die
Funktionenfolge (Fn ) gegen eine Funktion F konvergiert (punktweise oder sogar gleichmässig?).
Ist die Grenzfunktion F ebenso eine Verteilungsfunktion? Wenn ja, welcher Verteilung?
88. Bestimme Erwartungswert und Varianz einer auf dem Intervall [a, b] gleichverteilten ZV X.
89. Seien X eine stetige ZV mit Erwartungswert E(X) und a, b ∈ R, a 6= 0. Zeige, dass E(aX + b) =
aE(X) + b (verwende die Dichtefunktion der ZV aX + b).
90. Sei X eine stetige ZV mit Dichte f , sodass E(X) existiert; wenn f symmetrisch um s ist (für
ein s ∈ R), d.h. es ist f (s + x) = f (s − x) für alle x ∈ R, dann gilt E(X) = s.
91. Sei X eine ZV mit Dichte f gegeben durch:

1

4x
f (x) = 1 − 41 x


0
für 0 ≤ x ≤ 2
für 2 ≤ x ≤ 4
sonst.
Bestimme Erwartungswert und Varianz von X.
92. Bestimme den Erwartungswert und die Varianz einer exponentialverteilten Variablen T (abhängig
vom Parameter λ).