Mechanik III / Prof
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Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 3. Newtonsche Gesetze der Dynamik. Bestimmung der Kraft bei vorgegebener Bewegung, Bestimmung der Bewegung bei vorgegebener Kraft. Schiefer Wurf. Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik 1II, 1.2.1.-1.2.2. nach der Zeit liefert x a cos t , nochmaI. Newtonsche Gesetze (Newton, 1687). liges Differenzieren ergibt x a 2 sin t . 1. Newtonsches Gesetz: Wirkt auf einen Die Kraft ist nach dem 2.N.G. gleich Körper keine Kraft, so führt er eine geradliF mx ma 2 sin t . nige, gleichförmige Bewegung aus: Beispiel 2. Kurvenfahrt. v const . (Auch als Trägheitsgesetz beEin Auto (Masse kannt: Galilei, 1638). m 1000kg ) durchfährt 2. Newtonsches Gesetz: ma F oder eine Kurve (Radius dv ) mit der GeR 100 m m F : Masse mal Beschleunigung gleich dt schwindigkeit v 30m/s Kraft. Dieses Gesetz gilt nur für ein Inertial(108 km/h). Wie groß ist system. die Kraft, die auf es wirkt, wie ist sie gerichtet, was ist das für eine Kraft? 3. Newtonsches Gesetz: Kräfte, die zwei Lösung: Bei einer Bewegung auf einer Kreiswechselwirkende Körper aufeinander ausübahn mit einer betragsmäßig konstanten Geben, sind gleich groß, entgegengerichtet und schwindigkeit ist die Beschleunigung zum haben eine gemeinsame Wirkungslinie. Zentrum des Kreises gerichtet und ist gleich Varianten der Schreibweise des 2.N.G. ar v2 / R . Nach dem 2. N.G. hat auch die 2 dr dv Kraft nur die radiale Komponente: ma F oder m F oder m 2 F dt dt v2 F ma m . oder mv F oder mr F r r R Schreibweise in Komponenten: v2 302 m 2 / s 2 kg m 3 max Fx mvx Fx mx Fx Fr m 10 kg 9 103 2 9 103 N 2 R 10 m s ma y Fy oder mv y Fy oder my Fy . Das ist die Reibungskraft zwischen der Straße und den Reifen. maz Fz mvz Fz mz Fz Einheit der Kraft ist kg 2 m N (1 Newton). s Bemerkung zum Sprachgebrauch: Geschrieben in der Form mr F , stellt das 2. N.G. eine Differentialgleichung bezüglich r (t ) dar, die als Bewegungsgleichung bezeichnet wird (Engl.: "equation of motion"). Den Radiusvektor als Funktion der Zeit r (t ) nennt man in diesem Zusammenhang Bewegungsgesetz. II. Bestimmung der Kraft bei vorgegebener Bewegung ist die einfachste Aufgabe der Dynamik. Ist das Bewegungsgesetz r (t ) bekannt, so berechnet sich die Kraft nach dem 2. N.G. durch zweifaches Differenzieren. Beispiel 1. Ein Körper (Masse m) führt eine eindimensionale Bewegung nach dem Gesetz x(t ) a sin t (a und sind Konstanten). Zu bestimmen ist die auf ihn wirkende Kraft. Lösung: Die erste Ableitung der Koordinate III. Bestimmung der Bewegung bei vorgegebener Kraft. Ist die Kraft, die auf einen Körper wirkt, bekannt (oder ist das "Kraftgesetz" bekannt), so kann man die Bewegung bestimmen, indem man die Differentialgleichung mr F löst. Zur eindeutigen Bestimmung des Bewegungsgesetzes r (t ) müssen die Anfangsbedingungen - die Lage und die Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt bekannt sein. Beispiel 3. Zu bestimmen ist die eindimensionale Bewegung unter der Einwirkung einer konstanten Kraft. Zum Zeitpunkt t 0 befand sich der Körper im Punkt x0 und hatte die Geschwindigkeit v 0 . dv Lösung: Das 2.N.G. lautet m F . Indem dt wir beide Seiten mit dt multiplizieren mdv Fdt und unbestimmt integrieren mdv Fdt mv Ft C1 erhalten 1 wir die Geschwindigkeit. Das Ergebnis schreiben wir in der folgenden Form: dx m Ft C1 . Multiplikation mit dt : dt mdx Ft C1 dt und zweite unbestimmte Integration liefern mdx Ft C dt C 1 2 mx Ft C1t C2 . Die noch unbekannten Integrationskonstanten C1 und C 2 bestimmen wir aus den Anfangsbedingungen: mx0 C2 , mv0 C1 . 1 2 2 Daraus folgt mx 12 Ft 2 mv0t mx0 oder x x0 v0t 12 mF t 2 . Für die Geschwindigkeit ergibt sich v v0 mF t . Bemerkung: Diese Lösungsmethode funktioniert auch bei einer beliebigen, explizit vorgegebenen Kraft F (t ) als Funktion der Zeit. Die Beschleunigung ist dann auch eine gegebene Funktion der Zeit. Durch die erste Integration gewinnt man die Geschwindigkeit, durch die zweite die Koordinate. Die beiden Integrationskonstanten bestimmen sich aus den Anfangsbedingungen. Beispiel 4. Bremsweg bei Vollbremsung Zu bestimmen ist der Bremsweg eines Autos mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 bei Vollbremsung. Der Reibungskoeffizient sei 1 . Lösung: Die auf das Auto wirkenden Kräfte werden durch den Freischnitt sichtbar gemacht. 2. N.G. lautet: my mg N1 N 2 0 , mx R1 R2 . Aus der ersten Gleichung folgt N1 N 2 mg Die Reibungskräfte bei Vollbremsung erhalten wir nach dem Gesetz "Normalkraft Reibungskoeffizient": R1 N1 , R2 N 2 . Daraus folgt R1 R2 N1 N2 mg und für die x-Komponente des 2.N.G. mx mg . Das ist eine Bewegung unter Wirkung einer konstanten Kraft, daher gilt v v0 gt x x0 v0t 12 mF t 2 0 v0t 12 gt 2 Aus der ersten Gleichung berechnet sich die Zeit bis zum Stillstand: v v0 gt 0 t v0 / g . Einsetzen in die zweite Gleichung liefert den Weg bis zum Stillstand: v02 1 v02 1 v02 . xBrems g 2 g 2 g Für v0 30m / s (108 km/h) ist v02 302 m2 / s 2 45m g 2 110m / s 2 Für v0 15m / s (54 km/h) ist xBrems 11m . Für v0 8,5m / s (ca. 30 km/h) xBrems 3,5m . xBrems 12 Beispiel 5. Schiefer Wurf Ein Körper mit der Masse m wird zur Zeit t 0 unter einem Winkel zur xAchse mit einer Geschwindigkeit v 0 abgeworfen. Wenn der Luftwiderstand vernachlässigbar ist, wirkt als einzige Kraft das Gewicht G in negativer z-Richtung. Das 2. N.G. in kartesischen Koordinaten lautet mx 0 , mz G mg . Zweifache Integration führt nach Kürzen von m auf x C1 , z gt C3 x C1t C2 , z g t2 C3t C4 . 2 Die Anfangsbedingungen: x(0) C1 v0 cos z (0) C3 v0 sin x (0) C2 0 , z (0) C4 0 . Einsetzen liefert x v0 cos , z gt v0 sin , t2 x v0 cos t , z g v0 sin t . 2 Durch Elimination der Zeit t: t x / v0 cos erhält man die Bahngleichung gx 2 z 2 tan x 2v0 cos2 Der Körper bewegt sich auf einer Parabel. Die Wurfweite xw folgt aus der Bedingung v02 sin 2 . g Die größte Wurfweite ergibt sich für / 4 , und sie beträgt xw,max v02 / g . z ( xw ) 0 : xw Die Wurfhöhe ist gleich zh (v0 sin )2 / 2g . 2
