¨Ubung 10

Allgemeine Physikalische Chemie I
Übung 10
HS 2011
Übung 10
Ausgabe:
Abgabe:
23.11.2011
29.11.2011
http://www.reiher.ethz.ch/courses/exercises/ac
Beim jeweiligen Assistenten
Aufgabe 1: Ein Teilchen im eindimensionalen Kasten
In der Vorlesung wurde das Energie-Eigenwertspektrum eines Teilchens in einem eindimensionalen Kasten mit unendlich hohen Potentialwänden bestimmt:
En =
n 2 π 2 ~2
.
2mL2
(1.1)
Dabei ist L die Länge des Kastens, m die Masse des betrachteten Teilchens und n die
Quantenzahl, die die Zustände nummeriert (mit n = 1 als Grundzustand).
a) Leiten Sie einen allgemeinen Ausdruck für die Energiedifferenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Energie-Eigenwerten her.
b) Was geschieht, wenn man die Kastenlänge kleiner werden lässt?
c) In Übung 8, Aufgabe 4, wurde das freie Teilchen quantenmechanisch behandelt. Im Limes
L → ∞ müssen die Energie-Eigenwerte des eindimensionalen Kastens und die des freien
Teilchens identisch werden. Führen Sie diese Grenzwertbetrachtung durch.
Aufgabe 2: Quantenmechanisches Modell für pseudolineare Polyene
In den 1950er und 1960er Jahren wurde (hauptsächlich von Kuhn) der eindimensionale
Potentialkasten benutzt, um die Farbe von langkettigen konjugierten Kohlenwasserstoffen
zu erklären. Zu jener Zeit konnte man die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung nur für
solch einfache Modellprobleme lösen. In dieser Aufgabe sollen Sie untersuchen, wie gut
dieses Modell funktioniert.
Verwenden Sie einen eindimensionalen, unendlich tiefen Potentialkasten (1D-Kasten) als
quantenmechanisches Modell, um den langwelligsten elektronischen Übergang der Polyene
H2 C=CH−(CH=CH)k −CH=CH2
mit k = 0, 1, 2 zu berechnen. Betrachten Sie dazu nur die Elektronen der Doppelbindungen (die sog. π-Elektronen). Nehmen sie zudem an, dass sich diese in einem Kasten der
Länge L = (170k + 571) pm bewegen. Experimentell wurden für die langwelligsten
elektronischen Übergange folgende Wellenlängen gefunden:
k λmax / nm
0
217.0
1
260.0
2
302.0
a) Zeichnen Sie die Strukturformeln der Polyene.
b) Berechnen Sie eine Näherung für die Wellenlänge des Maximums der Lichtabsorption durch
das Polyen, λmax , aus der Differenz des niedrigsten unbesetzten und des höchsten besetzten
Energieniveaus (s. Aufgabe vorher). Besetzen Sie dabei jedes Energieniveau des Kastens
doppelt (die Idee hierbei ist, daß stets zwei π-Elektronen verschiedenen Spins einen Energieeigenwert annehmen können).
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Übung 10
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c) Welche Näherungen sind in dieses Modell eingeflossen? Kommentieren Sie dabei folgende Punkte: Eindimensionalitätsannahme, Wechselwirkung der Elektronen, Kastenlänge,
Behandlung der verbleibenden Elektronen (also aller nicht-π-Elektronen).
d) Wie ist dieses Modell bzgl. seiner physikalischen Richtigkeit zu beurteilen? Wie erklären
Sie die Qualität der Voraussage für λmax ?
Aufgabe 3: Ein Teilchen im dreidimensionalen Kasten
Der Hamiltonoperator für ein Teilchen in einem dreidimensionalen Kasten mit den Abmessungen Lx , Ly und Lz lautet
2
~2
∂
∂2
∂2
+
+
+ V (x, y, z),
(3.1)
Ĥ = −
2m ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
wobei der Operator für die potentielle Energie wie folgt definiert ist:
(
0 für 0 ≤ x ≤ Lx und 0 ≤ y ≤ Ly und 0 ≤ z ≤ Lz
V (x, y, z) =
∞ sonst.
(3.2)
a) Zeigen Sie unter Verwendung des Ansatzes Ψ(x, y, z) = a(x)b(y)c(z), dass die (zeitunabhängige) Schrödingergleichung für das Teilchen im dreidimensionalen Kasten separabel
ist. Setzen Sie dazu den Ansatz für Ψ(x, y, z) und den Hamiltonoperator (3.1) in die zeitunabhängige Schrödingergleichung ein und teilen Sie durch das Produkt a · b · c (achten Sie
nicht auf eventuelle Nullstellen dieser Funktionen). Es sollten sich aus der Gesamtgleichung
drei Einzelgleichungen entwickeln lassen (eine für jede Raumrichtung).
b) Lösen Sie die drei erhaltenen Gleichungen unter Verwendung Ihres Wissens über den
eindimensionalen Kasten. Bezeichnen Sie die auftretenden Energien und Quantenzahlen
mit Ex , Ey und Ez bzw. nx , ny und nz .
c) Hängen die Bewegungen in den drei Raumrichtungen voneinander ab? Wie errechnet sich
der Gesamtenergie-Eigenwert für ein Teilchen im dreidimensionalen Kasten?
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