Mathematik für Informatiker I

Mathematik für Informatiker I
Mitschrift zur Vorlesung vom 02.12.2004
Induktion für die ganzen Zahlen. Wir erweitern den Bereich.
Zunächst definieren wir die Ungleichheit für 2 natürliche Zahlen.
Für a, b ∈ N falls c existiert, so dass a + c = b, sagen wir a ≤ b. Die Relation
≤ ist eine Halbordnung H, z.B.
2≤3
3≤3
3≤4
Wir haben gesagt, eine Halbordnung ist:
- reflexiv,
- antisymmetrisch,
- transitiv
Wir zeigen, dass unsere Relation (≤) eine Halbordnung ist.
Reflexivität: a ≤ a ∀a ∈ N
Beweis:
da 0 ∈ N
und da a + 0 = a
⇒a≤a
Transitivität: Für a, b, c ∈ N
a≤b b≤c→a≤c
Beweis:
a ≤ b ⇒ ∃n ∈ N, a + n = b
a ≤ c ⇒ ∃m ∈ N, a + m = c
a + n = b, b + m = c ⇒ (a + n) + m = c
a + (n + m) = c
da n + m ∈ N
⇒a≤c
Lemma (Hilfssatz) für den Beweis der Antisymmetrie
Für a ∈ N, m ∈ N
a+m=a⇒m=0
Beweis: Induktion über a.
I. Induktionsanfang (a = 0)
0+m = 0
Kommutativ
||
m+0
||
m
= 0
II. Induktion
Induktionsannahme a ∈ N
a+m=a⇒m=0
?
∃m ∈ N, S(a) + m = S(a) ⇒= m = 0 (Wir wollen nicht die Gleichheit
beweisen, sondern die Implikation.)
m + S(a) = S(a)
S(m + a) = S(a)
(Peamo Axiom: S(m) = S(n) ↔ m = n)
⇒m+a=a
a + m = a ⇒ m = 0 (wegen der Induktionsannahme)
Beweis der Antisymmetrie für unsere Relation (≤)
a ≤ b, b ≤ a ⇒ a = b
Beweis: a ≤ b ⇒ ∃ n ∈ N a + n = b
b ≤ a ⇒ ∃m ∈ N b + m = a
Wir ersetzen das a der oberen Gleichung durch (b + m)
⇒ (b + m) + n = b
⇒ b + (m + n) = b
⇒m+n=0
(Für natürliche Zahlen gilt, dass m und n = 0 sein muss, sonst kann m + n
nicht gleich Null werden.)
Beweis: Falls m 6= 0, m = S(x) für ein x ∈ N
S(x) + n = 0
n + S(x) = 0
S(n + x) = 0
Peano Axiom: 6 ∃a, S(a) = 0 (d.h. es existiert kein a, dass den Nachfolger 0
hat.)
⇒m=0
⇒b+0=a
⇒b=a
was zu beweisen war.
Subtraktion
Die Subtraktion für natürliche Zahlen gilt nur unter bestimmten Bedingungen:
b − a berechenbar nur wenn a ≤ b a, b ∈ N
Da wir die Subtraktion nicht immer an Bedingungen knüpfen wollen, müssen
wir die natürlichen um die ganzen Zahlen erweitern.
Z = Menge der ganzen Zahlen
N × N = {(a, b)|a ∈ N, b ∈ N}
-3
(0,3)
.
..
..
.
(5,8)
..
.
..
.
-2
-1
0
1
2
(0,1) (0,0) (1,0) (2,0)
(1,2) (1,1) (2,1) (4,2)
.. (2,2) (3,1) ..
.
.
..
.
3
4
(4,0)
(8,4)
(10,8)
(5,6)
(11,14)
Äquivalenzrelation:
(a, b) ∼ (c, d) ↔ a + d = b + c
Beispiel: (1, 0) ∼ (3, 2) ←→ 1 + 2 = 0 + 3
|
{z
}
3=3
äquivalent
Wir müssen zeigen, dass (a, b) ∼ (c, d) eine Äquivalenzrelation ist. Aussage:
∼ ist eine Äquivalenzrelation auf N × N.
Äquivalenzrelation: a) reflexiv
b) symmetrisch
c) transitiv
Reflexivität: (a, b) ∼ (a, b) ←→ a + b = b + a
Symmetrie: (a, b) ∼ (c, d) ⇔ (c, d) ∼ (a, b)
a+d=c+b ⇒ c+b=d+a
Transitivität:
Zu beweisen: (a, b) ∼ (c, d), (c, d) ∼ (e, f ) ⇒ (a, b) ∼ (e, f )
(a, b) ∼ (c, d) ⇒ a + d = b + c
(c, d) ∼ (e, f ) ⇒ c + f = d + e
(a, b) ∼ (e, f ) ⇒ a + f = b + e
I
II
(das wollen wir haben)
Wir addieren I + II.
a+d+c+f
= d+e+b+c
(a + f ) + (d + c)1 = (d + c)1 (b + e) Fortsetzung?
Lemma ? : x, y, z ∈ N
x+y =2+y
⇒ y = z (zu beweisen)
Beweis per Induktion (über y):
I Induktionsanfang (y = 0)
x+0 = z+0
||
||
x
z
⇒x=z
II Induktionsannahme für ein y.
x+y =2+y ⇒x=z
1
Das stört uns, man darf auch nicht subtrahieren, da wir die Subtraktion definieren
wollen.
?
Zu beweisen: x + S(y) = Z + S(y) ⇒ x = Z
S(x + y) = S(z + y)
x+y
= z + y → Induktionsannahme
⇓
x = z
Wegen Lemma?
a + f = b + e, d.h. (a, b) ∼ (e, f )
QED
Idee:
(a, b) ∼ (c, d) ←→
⇒
a+d=c+b
a−b=c−d
Dies können wir nicht schreiben da wir noch nicht die
Subtraktion definiert haben. Es ist aber gleichbedeutend
mit a + d = c + b
Definition der ganzen Zahlen Z
Z = Partition von N × N.
Darstellung folgt.
Äquivalenzklassen sind disjunkt.
Z = {A|A eine Äquivalenzklasse von N × N für die Relation ∼}
n
o
Z = {(0, 0), (1, 1), (2, 2) . . .}, {(1, 0), (2, 1), . . . , {(1, 2), (0, 1) . . .}, {(0, 2) . . .} . . .
Einzelne ganze Zahlen werden als unendliche Mengen definiert.
Addition in Z:
Motivation
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
(2,1)
↑↑
(4,1)(6,2)
(20,10)
↑↑ ↑↑
↑↑
(20,12)
Definition Addition +
+:Z×Z→Z
Sei A, B ∈ Z, sei C ∈ Z.
A+B =C
genau dann, wenn für
(a, b) ∈ A
(c, d) ∈ B
C ist eine Äquivalenzklasse von (a + c; b + d).
Wir müssen zeigen, dass die Addition keinen Widerspruch enthält, d.h. sie
muss “well defined” sein.
2 + 3 = 5 Die Zahlen als Mengen (4, 2) + (6, 3) = (10, 5)
2 + 3 = 5 ist ungleich (6, 4) + (7, 4) = (11, 7)
2
5
'$
'$
&% &%
'$
3
&%
Gewinn
A∈Z
B∈Z
Definition: A − B = C ∈ Z
Nehmen wir (a, b) ∈ A
(c, d) ∈ B
C ist die Äquivalenzklasse von (a + d, b + c)
(a, b) ∼ (c, d) ↔ a + d = b + c
(2, 1) − (2, 1)
(2, 1) + (1, 2) = (3, 3)
So kann man die Subtraktion mit Hilfe der Addition beweisen.
Beweis von “well defined”:
(a, b) ∈ A
(a0 , b0 ) ∈ A
(c, d) ∈ B
(c0 , d0 ) ∈ B
?
(a, b) + (c, d) ∼ (a0 , b0 ) + (c0 , d0 )
(a + c, b + d) ∼ (a0 , c0 ), (b0 , d0 )
Zu zeigen ist
(a + c) + (b0 + d0 ) = (b + d) + (a0 + c0 )
Gegeben ist (a, b)
∼ (a0 , b0 )
d.h. (a + b0 ) = b + a0
(c, d)
∼ (c0 , d0 )
0
d.h. (c + d ) = (d + c0 )
a + b0 + c + d0 = b + a0 + c0 + d
a + c + b0 + d0 = b + d + a0 + c0
wie es zu beweisen war.