[ ]m [ ] [ ]kg ] ]

Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
1. Aufgabe
In einem Wasserstoffatom befindet sich das Elektron (Ladung: qE = −1,6 ⋅ 10 −19 [Cb] ) auf
der innersten Bahn mit dem Radius r = 0,529 ⋅ 10 −10 [m] . Die Ladung des Kerns beträgt
Q P = +1,6 ⋅ 10 −19 [Cb] .
→
a) Berechnen Sie die elektrostatische Anziehungskraft FE zwischen Kern und Elektron.
→
b) Berechnen Sie zum Vergleich die Gravitationskraft FG zwischen Kern und Elektron
(Elektronenmasse: m E = 9,1⋅ 10 −31 [kg] ; Kernmasse: m P = 1836 ⋅ m E ; Gravitationskon-
⎡ Nm 2 ⎤
stante: γ G = 6,67 ⋅ 10 −11 ⎢ 2 ⎥ ).
⎣ kg ⎦
c) Bei Vernachlässigung anderer Kräfte muss bei der Bewegung auf der Kreisbahn die
→
m ⋅ v2 →
Zentrifugalkraft FZ =
⋅ r0 gerade von der elektrostatischen Anziehungskraft aufr
→
gehoben werden. Berechnen Sie unter dieser Annahme die Geschwindigkeit v = v
des Elektrons auf der Kreisbahn und die Zeit T, die für einen vollen Umlauf notwendig
ist.
2. Aufgabe
Eine Punktladung Q = 10 −8 [Cb] befinde sich im Vakuum, weit von allen störenden Einflüssen entfernt.
→
a) Wie groß ist der Betrag der elektrischen Feldstärke E1 im Abstand r1 = 24[cm] von der
Punktladung?
b) Berechnen Sie den Verlauf des Betrages der elektrischen Feldstärke abhängig vom
Abstand r von der Punktladung.
→
c) Welche Kraft FE wirkt auf ein Elektron, das 24[cm] von der Punktladung entfernt ist?
3. Aufgabe
y
y
+Q
+Q
h
h
x
h
x
h
-Q
+Q
-1-
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
a) Berechnen Sie für die beiden skizzierten Fälle (je zwei Punktladungen) die elektrische
Feldstärke (Betrag und Richtung) auf der Mittelsenkrechten ihrer Verbindungslinie (xAchse) als Funktion von Q, h und x.
b) Skizzieren Sie den Verlauf des Betrages der Feldstärke abhängig von x für beide Fälle.
c) Bestimmen Sie für den Punkt (x=h,y=h) den Vektor der elektrischen Feldstärke für beide Fälle (Komponentendarstellung).
4. Aufgabe
a) Berechnen Sie allgemein das Potential V(x,y) der skizziery
ten Anordnung zweier Punktladungen in Abhängigkeit von
Q, h, x und y (Addition der Potentiale der Einzelladungen).
+Q
b) Berechnen und skizzieren Sie den Potentialverlauf
h
V(x,y=0) auf der x-Achse.
c) Aus Symmetriegründen schneiden die Äquipotentiallinien
x
(V(x,y)=const.) die x-Achse senkrecht; damit verläuft die
h
elektrische Feldstärke auf der x-Achse E(x,y=0) parallel zur
+Q
x-Achse. Berechnen und skizzieren Sie den Verlauf der elektrischen Feldstärke auf der x-Achse durch Differentiation
von V(x,y=0).
d) Berechnen und skizzieren Sie den Potentialverlauf V(x=0,y) auf der y-Achse.
e) Skizzieren Sie einige Äquipotentiallinien. Nutzen Sie die Kenntnis der Potentialverläufe
auf den Achsen und den Umstand, dass die Äquipotentiallinien senkrecht zu den elektrischen Feldlinien (, deren Verlauf qualitativ bekannt ist,) verlaufen.
f) Welche Arbeit W ist aufzuwenden, um ein Elektron (Ladung qE = −e ) von der Stelle
(x=0, y=0) nach Unendlich zu bringen?
5. Aufgabe
Gegeben ist die kugelsymmetrische Raumladungsverteilung ρ(r):
2
⎧
⎡ ⎛r
⎞ ⎤
für : 0 ≤ r < R
⎪ρ 0 ⋅ ⎢1 − ⎜ − 1⎟ ⎥
⎪
⎢⎣ ⎝ R ⎠ ⎥⎦
⎪
2
⎡ ⎛r
⎪ 3
⎞ ⎤
⋅ ρ 0 ⋅ ⎢1 − ⎜ − 1⎟ ⎥ für : R ≤ r < 2R
ρ(r ) = ⎨−
⎪ 13
⎣⎢ ⎝ R ⎠ ⎦⎥
⎪0
für : r ≥ 2R
⎪
⎪
⎩
a)
b)
c)
d)
Skizzieren Sie die Raumladungsdichte ρ(r) in Abhängigkeit von r.
Wie groß ist die Ladung Q1, die sich in dem Kugelvolumen 0<r<R befindet?
Wie groß ist die Ladung Q2, die sich in der Kugelschale R<r<2R befindet?
Wie groß ist die Ladung Q, die sich in dem Kugelvolumen 0<r<2R befindet?
-2-
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
6. Aufgabe
Gegeben ist die kugelsymmetrische Raumladungsverteilung ρ(r):
⎧
⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤
⎪ρ ⋅ 1 − ⎜ ⎟
für : 0 ≤ r < R
ρ(r ) = ⎨ 0 ⎢⎢ ⎝ R ⎠ ⎥⎥
⎣
⎦
⎪
für : r ≥ R
⎩0
a) Berechnen Sie die Ladung Q(r), die von einer kugelförmigen Hüllfläche mit Radius r
eingeschlossen wird. Unterscheiden Sie dabei die beiden Fälle r<R und r≥R.
b) Geben Sie betragsmäßig die dielektrische Verschiebung D(r) und die elektrische Feld→
→
→
→
stärke E(r) an. Wie groß ist E(r=0)? (Es gilt: D(r ) = D(r ) ⋅ r0 ; E(r ) = E(r ) ⋅ r0 )
E(r )
.
c) Skizzieren Sie
E(R )
d) Berechnen Sie die Spannung zwischen den Punkten r=0 und r=R und die Spannung
zwischen den Punkten r=R und r=∞.
7. Aufgabe
Gegeben ist eine Anordnung aus zwei koaxialen Metallzylindern, die in der Längsausdehnung nicht begrenzt sind (Koaxialkabel). Der Innenleiter hat einen Radius R1 und trägt pro Meter
Länge die Ladung q1. Der Außenleiter hat einen Innenradius R2.
Der Zwischenraum (R1<r<R2) ist luftgefüllt (εR=1).
→
a) Berechnen Sie allgemein die dielektrische Verschiebung D
→
R2
R1
und die elektrische Feldstärke E im Bereich R1<r<R2.
b) Wie groß ist die Oberflächenladungsdichte an der Innenseite
des Außenzylinders?
c) Welche Ladung q2 sitzt pro Meter Länge auf der Innenseite des Außenzylinders?
d) Wie groß ist die Spannung U12 zwischen Innen- und Außenleiter?
e) Welcher allgemeine Ausdruck ergibt sich für die Kapazität pro Meter Länge des Koaxialkabels?
Es sind jetzt folgende Werte gegeben: U12=1000[V]; R1=2[mm]: R2=5,44[mm];
f) Berechnen Sie die längenspezifische Ladung q1 und die längenspezifische Kapazität
der Anordnung zahlenmäßig.
g) Wie groß ist der Betrag der elektrischen Feldstärke an der Oberfläche des Innenleiters?
8. Aufgabe
Ein Plattenkondensator mit Luft als Dielektrikum (εR=1) hat einen Plattenabstand von
d=1[cm] und eine Kapazität C0=60[pF]. An den Platten liegt eine Spannung U=6[kV].
a) Berechnen Sie den Betrag der elektrischen Feldstärke E zwischen den Platten.
-3-
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
b) Parallel zu den Platten wird eine Glasplatte gleicher Fläche mit der Dicke a=0,5[cm]
und der relativen Dielektrizitätszahl εR=5 eingeführt.
1) Wie groß ist jetzt die Kapazität des Kondensators?
2) Wie groß sind die Beträge der elektrischen Feldstärken EL in Luft und EG im Glas?
Jetzt sei der gleiche Kondensator in Luft mit der Ladung Q=3,6⋅10-7[As] geladen und anschließend von der Spannungsquelle abgetrennt worden.
c) Wieder wird die Glasplatte wie unter b) eingeführt.
1) Wie groß ist in diesem Fall die Kapazität?
2) Wie groß sind die Beträge der elektrischen Feldstärken EL in Luft und EG im Glas?
3) Wie groß ist die anliegende Spannung U?
9. Aufgabe
Der skizzierte Zylinderkondensator ist in seinem isolierten Teil
aus zwei verschiedenen Dielektrika aufgebaut (geschichtetes
Dielektrikum). Zahlenmäßig ist gegeben:
Radius des Innenzylinders:
r1=1[cm]
Außenradius des inneren Isoliermantels:
r2=2,72[cm]
Innenradius des Außenzylinders:
r3=7,4[cm]
Dielektrizitätszahl inneres Isoliermedium:
ε1=5
Dielektrizitätszahl äußeres Isoliermedium:
ε2=1
Anliegende Gleichspannung:
U=10[kV]
U
ε2
r1
ε1
r3
r2
a) Berechnen Sie die Kapazität pro Längeneinheit der gegebenen Anordnung.
b) Berechnen Sie die Beträge der elektrischen Feldstärken für
r=r1, r=r2 (in beiden Isoliermedien) und r=r3.
c) Skizzieren Sie den Verlauf des Betrages der elektrischen Feldstärke in Abhängigkeit
vom Abstand zur Systemachse. Wo tritt die höchste elektrische Feldstärke auf?
10. Aufgabe
In einer einfachen Niederdruckentladung wird eine Elektronen- und Ionendichte (einfach
ionisierte Teilchen) von nE=nΙ=1015[cm-3] gemessen. Die elektrische Feldstärke beträgt an
dieser Stelle E=1[V/cm]. Bekannt sind:
2
vE
6 ⎡ cm ⎤
bE =
= 10 ⎢
Beweglichkeit der Elektronen:
⎥
E
⎣ Vs ⎦
Beweglichkeit der Ionen:
a)
b)
c)
d)
bΙ =
⎡ cm 2 ⎤
vΙ
= 10 3 ⎢
⎥
E
⎣ Vs ⎦
Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich die Elektronen und Ionen?
Wie groß ist die elektrische Stromdichte?
Wie groß ist die elektrische Leitfähigkeit?
Wie groß müsste die elektrische Feldstärke an einer Stelle der Entladung sein, wo der
Strom nur von den Ionen transportiert wird und die Stromdichte den unter b) berechneten Wert haben soll?
-4-
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
11. Aufgabe
Ein Kugelkondensator sei zwischen den beiden Elektroden mit leitendem Dielektrikum gefüllt (εR=4;
σ=3[mS/m]). Der Radius der Innenelektrode ist
r1=5[mm], der Radius der Außenelektrode beträgt
r2=15[mm]. An den Elektroden liegt eine Gleichspannung U=1[kV].
a) Berechnen Sie die Kapazität C des Kondensators.
b) Welche Ladung Q befindet sich auf dem Kondensator?
c) Wie groß sind Gesamtwiderstand und Gesamtstrom bei dieser Anordnung?
d) Berechnen Sie allgemein das Verhältnis von Kapazität zu Leitwert der Anordnung.
e) Berechnen Sie den Betrag der Stromdichte j(r) im Bereich r1<r<r2.
εR
σ
U
r1
r2
12. Aufgabe
An einer Kupfer-Doppelleitung (Länge
Ι
A,σ
Drahtquerschnitt
L = 0,5km ,
A = 0,5mm 2 , spezifische Leitfähigkeit
Sm
U1
U2
) ist als Verbraucher ein
σ = 56
R
mm 2
Widerstand R = 175 Ω angeschlossen.
Die Spannung an R soll U2 = 220 V
L
sein.
Man berechne
a) den Widerstand RL der Doppelleitung,
b) den Spannungsabfall U1-U2 an der Doppelleitung,
U − U2
in %,
c) den prozentualen Spannungsabfall 1
U2
d) den prozentualen Spannungsabfall für den Fall, dass die Spannung U2 doppelt so groß
und der Strom halb so groß ist wie zuvor (d.h. gleiche Leistung in R, dessen Wert entsprechend geändert worden ist),
e) die im Verbraucherwiderstand R umgesetzte Leistung PV,
f) die von der Leitung aufgenommene Verlustleistung PL für die Fälle U2 = 220 V und
U2 = 440 V ,
g) den Wirkungsgrad η (Nutzleistung in R bezogen auf insgesamt eingespeiste Leistung)
für beide Fälle.
-5-
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
13. Aufgabe
Eine Glühlampe soll im Betriebszustand bei einer Spannung von 220V einen Strom von
0,44A aufnehmen. Im gesamten Temperaturbereich soll für den Widerstand des Glühfa0,005
und T0 = 15°C .
dens gelten: R T = R T 0 ⋅ (1 + α ⋅ (T − T0 )) mit α =
°C
a) Wie groß muss der Widerstand des Glühfadens bei der Betriebstemperatur
T = 2815 °C sein?
b) Man berechne den Widerstand des Glühfadens im kalten Zustand ( T0 = 15°C ).
c) Welchen Strom nimmt die Lampe beim Einschalten auf ( T = T0 )?
14. Aufgabe
Ι
M
Gegeben ist ein
RM
Ι
Drehspulinstrument
mit dem Innenwiderstand
und
RM = 400 Ω
R1
R2
R3
R4
R5
R6
einem Spulenstrom
ΙM = 0,2mA
bei
Vollausschlag. Wie
100mA 10mA 1mA
1V
10V
100V
sind in der abgebil- 0
deten Schaltung die
Widerstände R1, R2, R3, R4, R5 und R6 zu wählen, damit das Drehspulinstrument zur
Strommessung mit den Messbereichen 100mA, 10mA, 1mA bzw. zur Spannungsmessung
mit den Messbereichen 1V, 10V, 100V verwendet werden kann?
15. Aufgabe
Gegeben ist die nebenstehende Schaltung aus
drei Widerständen R1, R2, R3 und drei idealen
Spannungsquellen UE1, UE2, UE3.
a) Bestimmen Sie zunächst allgemein die Ausdrücke für die Ströme Ι1, Ι2 und Ι3 in Abhängigkeit von den gegebenen Größen.
b) Welcher Ausdruck ergibt sich für die Batteriespannung UE1 aus der Forderung ΙU1=0?
ΙU1
Ι2
R2
UE2
UE1
R1
Ι3
R3
Ι1
Es sei jetzt zahlenmäßig gegeben:
UE1=30V, UE2=10V, UE3=20V, R2=10Ω.
UE3
c) Wie groß müssen R1 und R3 sein, damit in allen drei Widerständen R1, R2 und R3 die gleiche Leistung umgesetzt wird?
-6-
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
16. Aufgabe
Gegeben ist die nebenstehende Schaltung aus drei Widerständen R1=40Ω, R2=60Ω,
R3=6Ω und zwei idealen
Spannungsquellen UE1=100V,
UE2=30V.
Ι1
UE2
R1
R3
Ι2
UE1
A
Ι3
R2
UAB
a) Die Schaltung wird bzgl.
der Klemmen A-B im LeerB
lauf betrieben (Ι3=0). Berechnen Sie die Leerlaufspannung UAB,0.
b) Die Schaltung ist an den Klemmen A-B kurzgeschlossen (UAB=0).
1) Berechnen Sie die Ströme Ι3=ΙK, Ι1 und Ι2.
2) Wie viel Leistung wird in diesem Fall von den drei Widerständen aufgenommen?
Wie viel Leistung wird von den beiden Spannungsquellen abgegeben bzw. aufgenommen? Stellen Sie die Leistungsbilanz auf.
c) Geben Sie für die Ersatzschaltung bzgl. der Klemmen A-B die Größen U0 und Ri in allgemeiner Form und zahlenmäßig an.
17. Aufgabe
Gegeben ist die nebenstehende
Ι1
Ι2
Ι3
Schaltung aus fünf Widerständen
1
2
R1=8Ω, R2=10Ω, R3=5Ω, RA=40Ω
R1
R2
R3
und RB=50Ω. Die Spannung U1
an den Klemmen 1-1’ ist fest und
ΙA
ΙB
RB
U2
RA
beträgt U1=240V; die an den U1
Klemmen 2-2’ angelegte Spannung U2 kann verändert werden.
Es sollen drei Fälle untersucht
1'
2'
werden: (a) Ι1=0; (b) Ι2=0; (c)
Ι3=0. Ermitteln Sie für jeden dieser Fälle die übrigen Ströme sowie den Wert von U2, der
jeweils eingestellt werden muss.
18. Aufgabe
Gegeben ist die nebenstehende Schaltung mit
den drei Widerständen
R1=10[Ω], R2=20[Ω] und
R3=40[Ω]. An den Klemmen A-B liegt eine
Gleichspannungsquelle
U0=10[V], an den Klemmen C-D eine Gleichstromquelle Ι0=2[A].
A
U1
U2
R1
U0
Ri1
B
-7-
C
R2
R3
U3
Ri2
D
Ι0
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
a) Berechnen Sie
1) den Innenwiderstand Ri1 der Schaltung bzgl. der Klemmen A-B bei abgetrennter
Spannungsquelle,
2) den Innenwiderstand Ri2 der Schaltung bzgl. der Klemmen C-D bei abgetrennter
Stromquelle.
b) Welche Spannungen U1, U2 und U3 fallen an den Widerständen R1, R2 und R3 ab?
c) U0 sei jetzt variabel, alle anderen Angaben gelten weiter. Wie groß muss U0 gewählt
werden, damit an R1 keine Spannung abfällt?
19. Aufgabe
Für einen elektrischen Lichtbogen sei die Abhängigkeit der Lichtbogenspannung UB vom
Lichtbogenstrom Ι durch folgende Kennlinie gegeben:
α
mit α=300[W] und r=3[Ω]
UB = + r ⋅ Ι
Ι
a) Für welchen Wert Ι=ΙM hat die Bogenspannung ihren kleinsten Wert UB=UB,MIN?
b) Skizzieren Sie die Kennlinie für den Strombereich 0<Ι<40[A].
c) Der Lichtbogen wird, wie nebenstehend skizziert, aus
Ι
einer Spannungsquelle der festen Gleichspannung
U0=200[V] über einen Vorwiderstand RV=9[Ω] betrieRV
ben. Es ergeben sich dann für den Strom zwei mögliche Werte, wovon jedoch nur der größere Wert Ι=ΙS U0
UB
RB
einen stabilen Betriebszustand ergibt.
1) Berechnen Sie diesen Strom ΙS für die vorliegenden Verhältnisse.
2) Welche Bogenspannung UB stellt sich dabei ein?
d) Jetzt ist der Strom Ι=20[A] vorgegeben. Vorwiderstand RV und Speisespannung U0 sollen so gewählt werden, dass die im Lichtbogen umgesetzte Leistung PB das 0,75-fache
der in RV umgesetzten Leistung PV beträgt (PB=0,75⋅PV).
1) Wie groß sind RV und U0 zu wählen?
2) Welche Gesamtleistung P0 gibt die Spannungsquelle ab?
20. Aufgabe
Die nebenstehende Brückenschaltung soll zur
Messung der relativen Abweichung x des Widerstandes R1 vom Sollwert R verwendet werden. Es gilt also:
R1 = R ⋅ (1 + x )
R2 = R
R3 = R 4 = a ⋅ R
ri ist der Messinstrument-Innenwiderstand.
R1
UE
ri
R2
R3
Ι
Ι
R4
a) Ermitteln Sie zunächst in allgemeiner Form die Abhängigkeit des Instrumentenstromes
Ι von x und den anderen gegebenen Größen a, R, ri und UE.
Im folgenden gelte: ri=0
-8-
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
a) Welche Ausdrücke ergeben sich für
1) Ι(x = −1)
d.h. R1=0
3) Ι(x → ∞ ) d.h. R 1 → ∞
dΙ
2) Ι(x = 0 )
d.h. R1=R
4)
dx x =0
R
b) Skizzieren Sie den Verlauf der Funktion Ι(x, a ) ⋅
im Bereich − 1 ≤ x < ∞ für einen beUE
liebigen Wert von a.
c) Es sei nun zahlenmäßig gegeben: R=1[kΩ], UE=300[V]
dΙ
1) Welcher Wert ist für die Größe a zu wählen, damit
= 0,1 [A ] wird?
dx x =0
2) Wie groß ist bei diesem Wert von a der Strom Ι, wenn R1 um 0,1% von seinem
Sollwert abweicht, d.h. wenn x=10-3 ist?
21. Aufgabe
Ein Elektron bewegt sich in einem homogenen Magnetfeld auf einer Kreisbahn. Die Bahnebene steht senkrecht auf den Feldlinien. Die magnetische Induktion B beträgt 10-3[T]. Die
Umfangsgeschwindigkeit des Elektrons ist v=3000[km/s].
Berechnen Sie
a) die vom Magnetfeld ausgeübte Kraft FM,
b) den Radius r der Kreisbahn,
v
c) die Winkelgeschwindigkeit ω = ,
r
d) die Zeit T für einen vollen Umlauf des Elektrons.
22. Aufgabe
Eine
Gleichspannungsdoppelleitung
(Spannung U=200[kV], Länge L=100[km])
aus
Kupferdraht
(Drahtquerschnitt
A=3,2[mm2], spezifischer elektrischer Widerstand ρCu=16[Ωmm2/km], Abstand zwischen Hin- und Rückleiter d=1[m]) erfährt
an ihrem Ende einen Kurzschluss. Mit welcher Kraft pro Längeneinheit wirken die
beiden Leitungen aufeinander?
-9-
A,ρ
U
d
L
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
23. Aufgabe
Die Messspule eines Drehspulinstrumentes hat w=130 Windungen. Das
Magnetfeld sei im Luftspalt rein radial
gerichtet und so beschaffen, dass am
Ort eines Spulendrahtes, unabhängig
von der Stellung der Spule, stets die
gleiche Induktion B wirkt. Die Breite der
Magnetspule ist a=1[cm], die wirksame
Länge eines Drahtes auf einer Spulenseite ist L=1[cm]. Das Messwerk soll
bei einem Spulenstrom Ι=0,5[mA] Vollausschlag zeigen, wozu die Spule ein
Drehmoment M=5,3⋅10-6[Nm] aufbringen muss. Wie groß muss dann die
magnetische Induktion B sein?
24. Aufgabe
Eine Drosselspule hat die gezeichnete Gestalt.
Gegeben sind Eisenweglänge L1=L2=12,5[cm],
Eisen- und Luftspaltquerschnitt A=4[cm2], relative
Permeabilität des Eisens μR,Fe=5000, Windungszahl w=50 und Strom Ι=1[A]. Die Länge d der
beiden Luftspalte kann durch Verschieben des
oberen Schenkels im Bereich 0≤d/[mm]≤1 variiert
werden.
L1
d
a) Fertigen Sie eine grafische Darstellung mit
Zahlenwerten für die Abhängigkeit des mag2
netischen Flusses Φ von der Luftspaltlänge d
an, wenn der Strom konstant auf Ι=1[A] gehalten wird.
b) Für d=1[mm] berechne man die magnetischen Feldstärken HFe und HL im Eisen und in
den Luftspalten.
c) Wie groß müsste bei gleicher Querschnittsfläche A der Eisenweg einer Drosselspule,
die keinen Luftspalt hat, sein, wenn ihr magnetischer Widerstand gleich dem der gezeichneten für den Fall d=1[mm] sein soll?
L
- 10 -
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
25. Aufgabe
Der gezeichnete magnetische Kreis hat die folgenden Daten:
L1=L2=20[cm], A1=A2=5[cm2],
L3=L4=10[cm], A3=A4=2,5[cm2],
d=2[mm].
Die B-H-Kurve ist in dem interessierenden Bereich
durch folgenden Zusammenhang gegeben:
H
B = B0 ⋅
H0
d
L1
L3
L4
⎡ Vs ⎤
B 0 = 0,1 ⎢ 2 ⎥
2
⎣m ⎦
⎡A⎤
H0 = 100 ⎢ ⎥
⎣m ⎦
Außerdem soll der Fluss in dem magnetischen Kreis Φ=5⋅10-5[Vs] betragen.
L
mit:
a) Berechnen Sie die magnetische Induktion B im Luftspalt und in den vier verschiedenen
Eisenteilen.
b) Wie groß ist die magnetische Feldstärke im Luftspalt und in den vier Eisenteilen?
c) Ermitteln Sie die Amperewindungszahl Ι⋅w, die den oben angegebenen magnetischen
Fluss erzeugt.
26. Aufgabe
Eine rechteckige Spule mit einer Windung wird mit konstanter Geschwindigkeit v durch einen Luftspalt hindurch bewegt. Im Luftspalt herrsche
ein homogenes Magnetfeld, das am
Rand sprunghaft auf Null abfällt. Der
Querschnitt des Luftspaltes ist quadratisch. Die Länge der Spule ist größer als die des Luftspaltes. Zur Zeit
t=0 tritt die Spule in das Magnetfeld
ein.
Folgende Daten sind gegeben:
⎡ Vs ⎤
B = 1⎢ 2 ⎥ ,
⎣m ⎦
a = 1,5 [cm] , b = 2 [cm]
⎡m ⎤
v = 0,5 ⎢ ⎥
⎣s⎦
Man stelle den Verlauf der gesamten in der Spule induzierten EMK für t≥0 abhängig von
der Zeit grafisch dar.
- 11 -
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
27. Aufgabe
Für den skizzierten
Transformator gilt mit
den eingezeichneten
Richtungen für Ströme und Flüsse:
RM1
RM3
RM2
Ι1
Ι2
Φ3
U1
Φ2
Φ1
1
⋅ [Ι 1w 1 ⋅ (R M2 + R M3 ) + Ι 2 w 2 ⋅ R M3 ]
N
mit: N = R M1R M2 + R M2R M3 + R M1R M3
1
Φ2 =
⋅ [Ι 1w 1 ⋅ R M3 + Ι 2 w 2 ⋅ (R M1 + R M3 )]
N
dΦ
Das Induktionsgesetz U = w ⋅
angewendet auf diese Gleichungen liefert:
dt
dΦ 1
dΙ
dΙ
= L 11 ⋅ 1 + L12 ⋅ 2
U1 = w 1 ⋅
dt
dt
dt
dΦ 2
dΙ 1
dΙ 2
= L 12 ⋅
+ L 22 ⋅
U2 = w 2 ⋅
dt
dt
dt
Φ1
=
Gegeben sind:
w1=400; w2=1000;
⎡ 1 ⎤
⎡ 1 ⎤
⎡ 1 ⎤
R M1 = 4 ⋅ 10 6 ⎢ ⎥ ; R M2 = 5 ⋅ 10 6 ⎢ ⎥ ; R M3 = 20 ⋅ 10 6 ⎢ ⎥
⎣ Ωs ⎦
⎣ Ωs ⎦
⎣ Ωs ⎦
Berechnen Sie aus den angegebenen Beziehungen
d) den „primären Selbstinduktionskoeffizienten“ L11,
e) den „sekundären Selbstinduktionskoeffizienten“ L22,
f) den „Koeffizienten der Gegeninduktion“ L12 und
L 12
.
g) den „Kopplungsfaktor“ k =
L 11L 22
- 12 -
U2
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
28. Aufgabe
Zur Messung der Induktion B
des Erdmagnetfeldes soll eine
⎡ Umdr . ⎤
mit n = 1200 ⎢
⎥ rotierende
⎣ min . ⎦
Spule mit w=50 Windungen
verwendet werden. Die Spulenfläche ist kreisförmig mit einem
Durchmesser d=20[cm]. Die
Rotationsachse der Spule steht
senkrecht zur Richtung des
Erdmagnetfeldes am Messort.
Die in der Spule induzierte zeitlich sinusförmige Wechselspannung wird mit Schleifkontakten abgenommen. Sie hat
einen Maximalwert Û = 12 [mV ] .
Ermitteln Sie aus diesen Angaben zahlenmäßig die magnetische Induktion B am Messort.
29. Aufgabe
Entsprechend
nebenstehender
Skizze wird eine Drahtspule (Querschnittsfläche: A = 10 cm 2 ; Windungszahl: w = 1000 ) in einem
homogenen
Magnetfeld
⎡ Vs ⎤
( B = 0,1 ⎢ 2 ⎥ ) gedreht (Drehzahl:
⎣m ⎦
⎡ Umdr. ⎤
n = 50 ⎢
⎥ ). Zum Zeitpunkt
⎣ s ⎦
t=0 schließt der Normalenvektor
der Spulenfläche den Winkel
π
mit der Richtung des Magα0 =
3
netfeldes ein.
[
]
a) Wie lautet die Winkelgeschwindigkeit ω, mit der die Spule gedreht wird?
b) Berechnen Sie den magnetischen Fluss Φ (t ) , der eine einzelne Spulenwindung durchsetzt, in Abhängigkeit von der Zeit t.
c) Welche Spannung u(t ) = Û ⋅ sin(ωt + ϕU ) liegt an den Klemmen?
d) Stellen Sie den Verlauf der Spannung u(t) im Intervall 0 ≤ t [ms ] ≤ 40 grafisch dar.
- 13 -
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
e) Im folgenden wird an die Klemmen nacheinander ein ohmscher Widerstand R = 10 [Ω] ,
eine Induktivität L = 100 [mH] und eine Serienschaltung aus Widerstand R = 10 [Ω] und
Induktivität L = 100 [mH] gelegt.
1) Berechnen Sie jeweils den Strom i(t ) = Ιˆ ⋅ sin(ωt + ϕ Ι ) .
2) Zeichnen Sie die Verläufe der Ströme i(t) in die Skizze von d) ein.
30. Aufgabe
In der gezeichneten Schaltung sind die Eingangsspannung u(t ) = Û ⋅ sin(ωt ) und die Schaltelemente
R,L,C allgemein gegeben. Berechnen Sie mit Hilfe
geometrischer Beziehungen in der Zeigerdarstellung den Gesamtstrom i(t ) = Ιˆ ⋅ sin(ωt + ϕ Ι ) .
i(t)
L
u(t)
C
R
31. Aufgabe
Am Eingang der gezeichneten Schaltungen liegt die periodische Wechselspannung u1 (t ) = Û1 ⋅ sin(ωt ) .
R
u1(t)
uR
i2 =0
C
u (t)
uC
2
a) Zeichnen Sie für beide Schaltungen ein
Zeigerdiagramm sämtlicher Spannungen.
b) Entnehmen Sie den Diagrammen das
Û2
i2 =0
Amplitudenverhältnis
und den
R
Û1
Phasenwinkel ϕU der AusgangsspanuR
nung u2 in Abhängigkeit von den gege- u1(t)
u2(t)
L
uL
benen Größen.
c) Zeichnen Sie die Verläufe des AmplituÛ
denverhältnisses 2 und des Phasenwinkel ϕU in Abhängigkeit von der normierten
Û1
ω
1
R
(Schaltung 1: ω0 =
; Schaltung 2: ω 0 = ).
Kreisfrequenz
ω0
RC
L
- 14 -
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
32. Aufgabe
Gegeben ist die Parallelschaltung eines
ohmschen Widerstandes R, einer Induktivität L und einer Kapazität C, in die
ein
sinusförmiger
Wechselstrom
i(t ) = Ιˆ ⋅ sin(ωt ) fließt.
i(t)
iR
iL
iC
u(t)
C
R
L
a) Ermitteln Sie in reeller Rechnung die
in der Schaltung fließenden Wechselströme iR(t), iL(t), iC(t) und die anliegende Spannung u(t) in Abhängigkeit von den gegebenen Größen (Ansatz für u(t):
u(t ) = Û ⋅ sin(ωt + ϕU ) ).
b) Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm sämtlicher Ströme und Spannungen der Schaltung.
c) Entnehmen Sie mit Hilfe geometrischer Beziehungen aus dem Zeigerdiagramm die
Werte Û und tan(ϕU ) und zeigen Sie durch Vergleich mit a) die Äquivalenz von Zeigerdiagramm und reeller Rechnung.
33. Aufgabe
Für 5 verschiedene Verbraucher sind jeweils die komplexe effektive Eingangsspannung U
und der komplexe effektive Eingangsstrom Ι gegeben:
[1] U = (40 − j ⋅ 10 ) [V ]
Ι = (10 − j ⋅ 6 ) [A ]
Ι = (7,5 + j ⋅ 30 ) [A ]
[2] U = (40 − j ⋅ 10 ) [V ]
[3] U = (30 + j ⋅ 20 ) [V ]
Ι = (15 − j ⋅ 22,5 ) [A ]
Ι = (10 − j ⋅ 10 ) [A ]
[4] U = (40 + j ⋅ 10 ) [V ]
[5] U = (40 − j ⋅ 10 ) [V ]
Ι = (10 + j ⋅ 10 ) [A ]
a) Berechnen Sie den jeweiligen komplexen Verbraucherwiderstand
1) getrennt nach Realteil und Imaginärteil ( Z = Re{Z} + j ⋅ Im{Z}),
2) getrennt nach Betrag und Phasenwinkel ( Z = Z ⋅ e jϕZ ).
b) Zeichnen Sie die erhaltenen komplexen Widerstände Z in der komplexen Ebene ein.
c) Charakterisieren Sie die einzelnen Verbraucher (ohmsch, induktive Blindkomponente,
kapazitive Blindkomponente).
34. Aufgabe
Gegeben ist die gezeichnete Schaltung aus zwei Spulen L1, L2 und
einem Kondensator C.
a) Geben Sie allgemein den Blindleitwert B und den Blindwiderstand X der Schaltung an.
b) Für welche Kreisfrequenz ω = ωP wird der Blindleitwert B=0?
Für welche Kreisfrequenz ω = ωS wird der Blindwiderstand
X=0?
- 15 -
L1
C
L2
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
c) Welche Beziehung muss zwischen L1 und L2 bestehen, damit ωS = 2 ⋅ ωP ist?
d) Skizzieren Sie die Verläufe von Blindwiderstand X und Blindleitwert B über der Kreisfrequenz ω.
35. Aufgabe
Gegeben ist die gezeichnete Schaltung mit den
folgenden Zahlenwerten für die einzelnen Elemente:
R 1 = 2 [kΩ]
R 2 = 10 [kΩ]
1
= 4 [kΩ]
ωC
ωL = 1,25 [kΩ]
U = 125 [V ] (effektiv, reell)
Ι
C
ZA
U
Z
R2
R1
UA
UB
L
ZB
a) Berechnen Sie die komplexen Teilwiderstände ZA und ZB sowie den komplexen Gesamtwiderstand Z.
b) Berechnen Sie für die gegebene Gesamtspannung U den Strom Ι und die Teilspannungen UA und UB.
c) Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm. (Darstellung von U, Ι, UA und UB in der komplexen
Ebene.)
d) Bestimmen Sie den Phasenwinkel ϕAB zwischen UA und UB durch Rechnung und grafisch aus dem Zeigerdiagramm.
36. Aufgabe
Die beiden nebenstehenden Schaltungen sollen bzgl. ihrer Eingangsklemmen den gleichen komplexen Widerstand haben.
a) R1 und ωL1 seien gegeben; gesucht sind allgemein Werte von
R2 und ωL2 als Funktion von R1 und ωL1.
b) Wie lassen sich umgekehrt die Größen R1 und ωL1 als Funktionen von R2 und ωL2 angeben?
R1
ωL1
R2
- 16 -
ωL2
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
37. Aufgabe
Gegeben ist die gezeichnete Schaltung, die mit
einem eingeprägten Wechselstrom Ι betrieben
wird.
Ι2
Ι
Ι1
L1
a) Berechnen Sie die Spannung UR am ohmschen Widerstand R in Abhängigkeit von den
gegebenen Größen.
b) Für welche Kreisfrequenz ω1 wird die Spannung UR unabhängig vom Wert des Widerstandes R? Welcher Ausdruck ergibt sich in
diesem Fall für UR?
L2
C
R
UR
38. Aufgabe
Gegeben ist die nebenstehende Schaltung.
Ι
a) Ermitteln Sie allgemein den Ausdruck für den LeitΙ
der Schaltung.
wert Y =
U
b) Für welche Kreisfrequenz ω=ωRES sind Ι und U in
Phase?
c) Welche Beziehung muss zwischen R1 und R2 bestehen, damit ωRES gleich ist der Resonanzkreisfrequenz eines nur aus L und C bestehenden Parallelschwingkreises?
L
C
R1
R2
U
39. Aufgabe
Eine Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand R, einer Induktivität L und einer
Kapazität C (Parallelschwingkreis) soll folgende Forderungen erfüllen:
[1] Bei einem eingeprägten Strom Ι eff = 2 [A ] soll die maximale Wirkleistung
PW ,max = 800 [W ] sein.
[2]
[3]
[ ]
Die absolute Bandbreite sei b abs = 10 5 s −1 . (Hinweis: b abs = v H ⋅ ω0 )
Bei der Verstimmung v=2 soll bei eingeprägtem Strom die aufgenommene WirkP
leistung auf 1 des maximalen Wertes absinken: PW (v = 2 ) = W ,max .
5
5
a) Wie groß sind die Schaltelemente R, L und C zu wählen?
b) Wie groß sind die Resonanzkreisfrequenz ω0, die Halbwertverstimmung vH und die Güte QP?
c) Berechnen Sie unter der Annahme, dass ein Strom konstanter Amplitude Ι̂ eingeprägt
wird, die Kreisfrequenz ωL, bei der die Amplitude Ι̂ L des Stromes durch die Spule ihr
Maximum hat.
- 17 -
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
40. Aufgabe
Die gezeichnete Schaltung wird mit einer
eingeprägten
Wechselspannung
UE = 225 [V ] betrieben. Es sind folgende
Werte gegeben:
C = 10 −7 [F]
L = 10 −3 [H]
R 2 = 100 [Ω]
ω = 0,6 ⋅ 10 5 s −1
[ ]
C
ΙE
UE
ZE
ΙR
L
R1
US
R2
a) Geben Sie zunächst allgemein den
Ausdruck für den komplexen Eingangswiderstand ZE an.
b) Für welchen Zahlenwert von R1 nimmt die Schaltung keine Blindleistung auf?
Es sei jetzt: R1 = 125 [Ω].
c) Berechnen Sie für diesen Fall die komplexen Amplituden
1) des Eingangsstromes ΙE,
2) der Teilspannung US und
3) des Stromes ΙR durch R1.
41. Aufgabe
Gegeben ist die nebenstehende Schaltung, welche
mit einem eingeprägten Wechselstrom ΙE (effektiv,
reell) der Kreisfrequenz ω betrieben wird.
R
C
a) Bestimmen Sie Leerlaufspannung U0 und Innenwiderstand Zi=Ri+jXi eines bzgl. der Klem1 2
men 1-2 äquivalenten aktiven Zweipols.
ΙE
b) Die Schaltung wird nun an den Klemmen 1-2
mit einem komplexen Widerstand Za=Ra+jXa
belastet. Welche Abhängigkeit von R, ωC, Ra
R
C
und Xa ergibt sich für die komplexe Leistung
P=PW+jPB, die im Widerstand Za verbraucht
wird?
c) Für welche Werte von Ra und Xa wird die Wirkleistung PW im Widerstand Za maximal?
d) Durch welches Schaltelement (Betrag und Phase) muss einer der beiden Kondensatoren ersetzt werden, damit in Za keine Leistung umgesetzt wird? (Za darf hierbei beliebige Werte annehmen!)
- 18 -
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
42. Aufgabe
Bestimmen Sie die Abgleichbedingung für nebenstehende Brückenschaltung,
a) wenn Z1 die Parallelschaltung eines Kondensators C1A und eines ohmschen Widerstandes R1A
ist,
b) wenn Z1 die Serienschaltung eines ohmschen
Widerstandes R1B und eines Kondensators C1B
ist.
Z1
C3
R2
C4
R4
43. Aufgabe
Gegeben ist die nebenstehende Schaltung aus
zwei gleichen, parallel geschalteten Serienschwingkreisen, an deren Eingangsklemmen die Spannung
U (reell) anliegt.
L
R
U0
a) Berechnen Sie die komplexe Spannung U0 an
C
den Klemmen 1-2 abhängig von den SchalteleU
menten, der Kreisfrequenz ω und der Eingangs1 2
spannung.
L
b) Für welche Kreisfrequenzen ist U0 reell?
R
c) Berechnen Sie die Ortskurve, die der Endpunkt
des U0-Zeigers in der komplexen SpannungsC
ebene für variables ω durchläuft ( 0 ≤ ω ≤ ∞ ).
Zeichnen Sie die Kurve, markieren Sie die
1
und ω = ∞ in der Kurve und kennzeichnen Sie die RichPunkte für ω = 0 , ω =
LC
tung wachsender Kreisfrequenz.
44. Aufgabe
Die nebenstehende
Schaltung aus R, L
und C wird mit der
eingeprägten Spannung UE variabler
Kreisfrequenz ω betrieben.
R
ΙE
UL
L
UE
C
ZE
a) Berechnen
Sie
den Eingangswi- 19 -
R
C
UA
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
derstand ZE in Abhängigkeit von R, L, C und ω. Trennen Sie den Ausdruck nach Realund Imaginärteil.
b) Für welche Kreisfrequenz ω=ωR sind UE und ΙE in Phase?
1
c) Wie muss L in Abhängigkeit von R und C lauten, damit ωR = ω0 =
wird?
LC
U
d) Berechnen Sie das Spannungsverhältnis A abhängig von R, L, C und ω.
UE
U
e) Berechnen Sie das Spannungsverhältnis L abhängig von R, L, C und ω.
UE
U
f) Bei welcher Kreisfrequenz ω = ω1 ist A rein imaginär?
UE
g) Für welche Kreisfrequenz ω = ω2 beträgt die Phasendifferenz zwischen UL und UA ge3π
. (Lösung mit Zeigerdiagramm und Rechnung)
rade
4
45. Aufgabe
Gegeben ist nebenstehende Schaltung
aus R, L und C, die mit einem eingeprägten Strom ΙE (reell) variabler Kreisfrequenz ω betrieben wird. Zwischen die
Klemmen 1-2 ist zunächst nur der ohmsche Widerstand RA geschaltet.
ΙA
L
R
1
C
RA
ΙE
a) Berechnen Sie den Strom ΙA in AbXA
hängigkeit von R, L, C, ΙE, ω und RA.
b) Wie lauten Kurzschlussstrom ΙAK und
2
Leerlaufspannung UAL an den
Klemmen 1-2?
c) Welchen Wert muss RA annehmen und welcher Blindwiderstand XA muss zu RA in Serie geschaltet werden, damit in RA maximale Leistung umgesetzt wird? Wie groß ist
diese Leistung?
46. Aufgabe
Nebenstehende Schaltung aus einem Widerstand R, einer Induktivität L und 2 gleichen Kapazitäten C wird mit einer eingeprägten Spannung U (reell) der Kreisfrequenz ω betrieben.
Ι2
Ι
R
Ι1
L
a) Berechnen Sie den Eingangswiderstand Z
der Schaltung (Real- und Imaginärteil) in U
C
Abhängigkeit von den gegebenen Größen.
b) Skizzieren Sie den Verlauf des Blindanteils
C
X des Eingangswiderstandes in Abhängigkeit von der Kreisfrequenz ω.
c) Welche komplexe Leistung P nimmt die Schaltung abhängig von R, L, C, ω und U auf?
- 20 -
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
d) Bei welcher Kreisfrequenz ωM besitzt die Wirkleistung PW ein Extremum (Minimum oder
Maximum) und wie groß ist dieser Extremwert?
e) Bei welcher Kreisfrequenz ω0 verschwindet die Wirkleistung?
Ι
f) Wie lautet das Verhältnis 1 der beiden Zweigströme Ι1 und Ι2 in Abhängigkeit von L,
Ι2
C und ω?
Ι
g) Skizzieren Sie die Verläufe des Betrages 1 und der Phasendifferenz ϕ12 der beiden
Ι2
Zweigströme Ι1 und Ι2 in Abhängigkeit von ω.
47. Aufgabe
In einer Schaltung entsprechend nebenstehender
Skizze sind allgemein gegeben:
1
=X
ωC
X
ωL =
2
R1 = v 1 ⋅ R mit : 0 ≤ v 1 ≤ ∞
R 2 = v 2 ⋅ R mit : 0 ≤ v 2 ≤ ∞
Z1 C
Z
R1
L
Z2
a) Berechnen Sie in Abhängigkeit von v1, v2 ,X und
R2
R getrennt nach Real- und Imaginärteil
1) den Teilwiderstand Z1 der Parallelschaltung
von Kondensator C und Widerstand R1,
2) den Teilwiderstand Z2 der Serienschaltung von Induktivität L und Widerstand R2,
3) den Gesamtwiderstand Z der Schaltung.
b) Zeichnen Sie in der komplexen Widerstandsebene
1) die Ortskurve des Widerstandes Z1 in Abhängigkeit von v1 und markieren Sie die
Punkte v1=0 bzw. v1=∞,
2) die Ortskurve des Widerstandes Z2 in Abhängigkeit von v2 und markieren Sie die
Punkte v2=0 bzw. v2=∞.
c) Zeichnen Sie in einer neuen komplexen Widerstandsebene
1) die Ortskurve des Gesamtwiderstandes Z in Abhängigkeit von v1, wobei v2=0 festgehalten wird,
2) die Ortskurve des Gesamtwiderstandes Z in Abhängigkeit von v2, wobei v1=∞ festgehalten wird.
Im folgenden gelte:
v 1 = v 2 = v mit : 0 ≤ v ≤ ∞
d) Wie lautet allgemein der Ausdruck für den Widerstand Z abhängig von X, R und v (getrennt nach Real- und Imaginärteil)?
e) Welche Werte besitzt der Widerstand Z für v=0 und v=∞?
f) Für welchen Wert v=v0 wird der Widerstand Z rein reell?
g) Skizzieren Sie in der Widerstandsebene der Frage c) die Ortskurve des Gesamtwiderstandes Z in Abhängigkeit von v.
- 21 -
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
48. Aufgabe
In einer Schaltung entsprechend
nebenstehender Skizze sind allgemein gegeben:
R1 = 10 [Ω]
R 2 = 25 [Ω ]
Y
R2
1
= 10 [Ω]
ωC1
1
= 25 [Ω]
ωC 2
mit 0 ≤ v ≤ ∞ und ωL = 10 [Ω ]
ω L V = v ⋅ ωL
C1
R1
C2
LV
Ermitteln Sie die Ortskurve für den Eingangsleitwert Y in Abhängigkeit von v auf rein grafischem Weg, indem Sie nacheinander folgende „Teilortskurven“ zeichnen:
a) Z-Kurve für den Serienteil der Schaltung durch grafische Widerstandsaddition;
b) Y-Kurve für diesen Serienteil durch Inversion der Kurve aus a);
c) Y-Kurve der Gesamtschaltung durch Leitwertaddition zur Kurve aus b);
49. Aufgabe
Gegeben ist die nebenstehend abgebildete Schaltung.
4 [Ω]
3,5 [Ω]
a) Ermitteln Sie die Werte des komple7 [Ω]
3,8 [Ω]
xen Widerstandes Z und des komplexen Leitwertes Y der Schaltung mit
5,3 [Ω]
Hilfe des beigefügten Diagramms
(Anhang Grafik 1).
b) Der
komplexe
Leitwert
4 [Ω]
Y = (0,17 − j ⋅ 0,17 ) [S] soll durch passendes Hinzuschalten von Blindwiderständen in einen rein ohmschen Widerstand R = 5 [Ω] transformiert werden. Ermitteln Sie mit Hilfe des Widerstandstransformationsdiagramms (Anhang Grafik 1) eine
mögliche Schaltmaßnahme.
c) Beantworten Sie Frage b) für die Transformation des Widerstandes R = 6 [Ω] in den
Widerstand R = 1 [Ω] .
50. Aufgabe
Gegeben ist die skizzierte Schaltung, die mit einem eingeprägten Strom ΙE der Kreisfrequenz ω
betrieben wird.
- 22 -
R
ΙE
C
Ι
L
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
ΙE
von Eingangsstrom ΙE zu Zweigstrom Ι und
Ι
trennen Sie den Ausdruck nach Real- und Imaginärteil.
Ι
b) Konstruieren Sie die Ortskurve E in der komplexen Ebene für variable Kreisfrequenz
Ι
Ι
ω durch Addition der Zeiger, die den einzelnen Summanden von E entsprechen.
Ι
Ι
c) Berechnen Sie die Gleichung der Ortskurve E . Zeichnen Sie die Ortskurve und marΙ
kieren Sie den Punkt ω=0 sowie die Richtung wachsender Kreisfrequenz ω.
Ι
d) Skizzieren Sie die Ortskurve
in der komplexen Ebene, indem Sie für einige Punkte
ΙE
Ι
der Ortskurve E die Inversion durchführen.
Ι
a) Ermitteln Sie das komplexe Verhältnis
51. Aufgabe
Gegeben ist die skizzierte Schaltung mit R,
R
fest und C variabel im Bereich
ωL =
2
1
0 ≤ ωC ≤ .
R
L
Z ,Y
ZP , YP
C
R
a) Zeichnen Sie die Ortskurve für YP und ZP in den entsprechenden komplexen Ebenen.
1
Kennzeichnen Sie jeweils die Punkte ωC = 0 und ωC = . Geben Sie den DurchlaufR
sinn für wachsendes ωC an.
b) Ermitteln Sie die Ortskurve für den Eingangswiderstand Z. Kennzeichnen Sie jeweils
1
die Punkte ωC = 0 und ωC = . Geben Sie den Durchlaufsinn für wachsendes ωC
R
an.
Im folgenden soll die Ortskurve für den Eingangsleitwert Y ermittelt werden.
c) Um welche Art von Kurve handelt es sich und in welchem Quadranten der Y-Ebene
liegt sie?
d) Zeichnen Sie die Ortskurve für Y. Kennzeichnen Sie den durchlaufenen Teil der
1
1
Ortskurve für 0 ≤ ωC ≤ . Kennzeichnen Sie die Punkte ωC = 0 und ωC = . Geben
R
R
Sie den Durchlaufsinn für wachsendes ωC an.
- 23 -
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
52. Aufgabe
L S bzw. CS
Der nebenstehend abgebildete komplexe Widerstand Z1 mit R1 = 125 [Ω]
1
und
= 250 [Ω] soll durch ZuschalωC1
tung zweier Blindelemente in einen rein
reellen Widerstand von 50 [Ω] transformiert werden.
LP
bzw.
CP
Z1
C1
R1
a) Zeichnen Sie hierzu auf dem beigefügten Widerstand-Leitwert-Transformationsdiagramm (Anhang Grafik 2) die beiden Transformationswege ein und kennzeichnen
Sie den „kürzeren“ Transformationsweg, auf den sich die anschließenden Fragen beziehen.
b) Zeichnen Sie in die gegebene Schaltung die beiden gesuchten Blindelemente ein.
c) Wie lauten die Werte dieser beiden Blindelemente bei einer Betriebsfrequenz
f = 20 [MHz] ?
53. Aufgabe
Gegeben ist die
Zi
L1
nebenstehende
1 LS
2
Schaltung bestehend aus einer
Spannungsquelle
UE mit komple- U
L P ZV
ZE
C1 R1
C2
E
xem Innenwiderstand Zi, einer
Widerstands1'
2'
transformationsschaltung (LS, LP) und einer komplexen Verbraucherschaltung ZV. Es sind die folgenden
Werte gegeben:
Z i = (12,5 − j ⋅ 12,5 ) [Ω]
R1 = 25 [Ω]
ωC1 = ωC 2 = 20 [mS ]
ωL1 = 20 [Ω]
Im folgenden sollen ωL S und ωL P so dimensioniert werden, dass die Quelle an den Klemmen 1-1’ maximale Wirkleistung abgibt.
a) Welchen komplexen Widerstand ZE müssen Sie bei abgetrennter Spannungsquelle an
den Klemmen 1-1’ messen, damit die Quelle maximale Wirkleistung abgibt?
b) Ermitteln Sie nun den komplexen Verbraucherwiderstand ZV mit Hilfe des Kreisdiagramms im Anhang. (Z-Maßstab: 1 =ˆ 10 [Ω] ; Y-Maßstab: 1 =ˆ 100 [mS ] ). Zeichnen Sie
die einzelnen Transformationswege in das Diagramm ein und beschriften Sie diese.
c) Zeichnen Sie die Transformationswege der Widerstandstransformationsschaltung von
ZV nach ZE zur Wirkleistungsanpassung (siehe a)) ebenfalls in das Kreisdiagramm ein,
beschriften Sie die einzelnen Transformationswege und ermitteln Sie hieraus die Werte
für ωL S und ωL P .
- 24 -
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
54. Aufgabe
Gegeben ist die nebenstehende Drehstromschaltung
mit den folgenden Zahlenwerten:
U12 = 100 [V ]
U23 = (− 40 − j ⋅ 80 ) [V ]
Y 1 = 0,2 [S]
Y 2 = 0,1 [S]
Y 3 = 0,3 [S]
3
U23
U31
1
U12
Ι1 Y 3
Y1
2
Ι3
Ι2
Y2
a) Berechnen Sie die Spannung U31.
b) Berechnen Sie die Ströme Ι1, Ι2 und Ι3.
c) Der Verbraucher Y3 sei durchgebrannt ( Z 3 = ∞ ). Welche Werte ergeben sich nun für
die Ströme Ι1, Ι2 und Ι3?
55. Aufgabe
Gegeben ist die gezeichnete
Drehstromschaltung mit den komplexen Verbraucherwiderständen
Z1 = Z 2 = Z 3 = (40 − j ⋅ 30 ) [Ω]
und den Phasenspannungen des
Generators
U1 = 250 [V ] ,
U2 = 250 ⋅ e − j⋅120° [V ] ,
U3 = 250 ⋅ e + j⋅120° [V ].
3
3'
U1
U3
1
Ι1 Z 3
1'
Ι2
Z1
U2
U0
Ι3
Z2
2'
2
a) Berechnen Sie betragsmäßig die Ströme Ι1, Ι2 und Ι3.
Der Widerstand Z1 sei durchgebrannt ( Z1 = ∞ ), die anderen Widerstände und die Phasenspannungen bleiben unverändert.
b) Berechnen Sie die Spannung U0, die sich jetzt zwischen den Sternpunkten einstellt.
c) Berechnen Sie die komplexen Werte der Ströme Ι2 und Ι3.
- 25 -
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
56. Aufgabe
Gegeben ist ein Drehstromgenerator in Dreieckschaltung.
Seine verketteten Spannungen
sind:
U12 = j ⋅ 100 [V ]
U23 = (60 − j ⋅ 20 ) [V ]
Der Nullleiter ist künstlich erzeugt durch drei gleiche Widerstände ZS in Sternschaltung.
Gegeben sind außerdem die
Verbraucherleitwerte:
Y 1 = 0,2 [S]
Y 2 = 0,1 [S]
Y 3 = (0,4 − j ⋅ 0,9 ) [S]
Y 0 = 0 [S]
a)
b)
c)
d)
Ι1
1
U12
2
Ι2
UV1
Ι3
UV2
U31
U23
3
ZS
U1
ZS
U2
ZS
U3
Y1
Y2
Y3
UV3
Y0
Ι0
U0
Berechnen Sie die verkettete Spannung U31.
Berechnen Sie die Leiterspannungen U1, U2 und U3.
Berechnen Sie die Spannung U0 sowie die Verbraucherspannungen UV1, UV2 und UV3.
Berechnen Sie die Leiterströme Ι1, Ι2 und Ι3.
57. Aufgabe
Gegeben ist ein Transformator entΙ2
R1 Ι1
sprechend nebenstehender Skizze
1
2
mit den folgenden Daten:
R1 = 5 [Ω]
U1 Z
ωL1
ωL2 U2
E
ωL1 = 25 [Ω]
ωL 2 = 80 [Ω]
ωM
1'
2'
ωM = 40 [Ω]
An den Primärklemmen 1-1’ liegt die feste Spannung U1 = 130 [V ] (effektiv).
Z2
a) Berechnen Sie den Kopplungsfaktor k des Transformators.
b) Der Transformator wird sekundärseitig (Klemmen 2-2’) im Leerlauf betrieben ( Z 2 = ∞ ).
Berechnen Sie
1) den primären Eingangswiderstand ZE0 zwischen den Klemmen 1-1’,
2) den primärseitig aufgenommenen Strom Ι10,
3) die sekundärseitige Leerlaufspannung U20,
4) die aufgenommene Wirkleistung PW0 und
5) die Blindleistung PB0.
c) Der Transformator wird sekundärseitig mit dem komplexen Widerstand
Z 2 = (80 − j ⋅ 80 ) [Ω] belastet. Berechnen Sie für diesen Fall den primären Eingangswiderstand ZE.
- 26 -
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
d) Der Transformator wird sekundärseitig mit dem komplexen Widerstand Z 2 = R 2 +
belastet, wobei R 2 = 20 [Ω ] ist. Für welche Werte von
1
j ωC 2
1
wird der primäre EinωC2
gangswiderstand ZE des Transformators reell?
58. Aufgabe
Ein Transformator, dessen Daten bei
der Betriebsfrequenz gegeben sind
R1 Ι1
durch
R1 = 3 [Ω]
R 2 = 12 [Ω]
U Y
ωL1
ωL1 = 5 [Ω]
ωL 2 = 20 [Ω]
ωM
ωM = 8 [Ω]
wird in der skizzierten Schaltung betrieben. Der Effektivwert der anliegenden Spannung ist U = 60 [V ] .
a)
b)
c)
d)
Ι2
R2
ωL2
Berechnen Sie die komplexen Effektivwerte der Ströme Ι1 und Ι2.
Ermitteln Sie den komplexen Eingangsleitwert Y der Gesamtschaltung.
Wie groß sind die Leistungen P1 und P2 in den Widerständen R1 und R2?
Berechnen Sie die insgesamt aufgenommene Wirkleistung PW und Blindleistung PB.
e) Ermitteln Sie die komplexen Effektivwerte der Ströme Ι1 und Ι2 für
den Fall, dass die Verbindungen
zwischen Primär- und Sekundärklemmen jetzt, wie nebenstehend
skizziert, gekreuzt sind.
Ι1
Ι2
ωL1
ωL2
R1
U Y
R2
ωM
59. Aufgabe
Zur Ermittlung der Kenngrößen R1,
R2, ωL1, ωL2 und ωM eines Trans- 1
formators (vgl. Skizze) werden die
Primärklemmen 1-1’ an eine
Wechselstromquelle
(Kreisfrequenz ω) angeschlossen und mit
dem eingeprägten Primärstrom 1'
Ι1 = 2 [A ] (effektiv) gespeist. Man
misst folgendes:
R1
Ι1
Ι2
ωL1
ωL2
ωM
- 27 -
R2
2
U2
2'
C
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
Versuch 1:
Bei sekundärem Leerlauf gibt die Wechselstromquelle die Wirkleistung
PWL = 12 [W ] und die Blindleistung PBL = 180 [Var ] ab. Zwischen den
Sekundärklemmen 2-2’ entsteht dabei eine Spannung vom Betrag
U2L = 30 [V ] (effektiv).
Versuch 2:
Wird der Transformator sekundärseitig mit dem Blindwiderstand
1
= 7,5 [Ω] abgeschlossen, dann gibt die Wechselstromquelle keine
ωC
Blindleistung, sondern nur Wirkleistung PW = 192 [W ] ab.
a) Welche von den Größen R1, R2, ωL1, ωL2, ωM lassen sich aus dem Leerlaufversuch 1
bestimmen? Ermitteln Sie zunächst die Zahlenwerte dieser Größen.
b) Bestimmen Sie nun die noch fehlenden Größen aus dem Versuch 2.
60. Aufgabe
Ein symmetrischer verlustloser Transformator ist sekundärseitig mit einem variablen
ohmschen Widerstand belastet. Gegeben
ist:
ωL1 = ωL 2 = ωL = 80 [Ω]
Kopplungsfaktor: k = 0,5
Im Lastwiderstand R soll eine Leistung
P = 50 [W ] umgesetzt werden.
U1
Ι1
Ι2
ωL1
ωL2
U2
R
k
a) Der Widerstand R ist auf den Wert R = 200 [Ω] eingestellt. Berechnen Sie zahlenmäßig die komplexen Effektivwerte U2, Ι1 und U1. (U2 ist dabei reell anzunehmen!)
Jetzt ist die Primärspannung U1 = 200 [V ] (effektiv, reell) fest vorgegeben, R ist variabel.
b) Bestimmen Sie zunächst für die nebenstehend
Xi
abgebildete Ersatzschaltung des Transformators die Leerlaufspannung U20 und den (rein
imaginären) Innenwiderstand Z i = j ⋅ Xi zahlenU20
mäßig.
R
c) Durch welche Einstellung von R kann erreicht
werden, dass R wieder die Leistung P = 50 [W ]
aufnimmt?
61. Aufgabe
An der Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes R und eines Kondensators C liegt eine periodische, nichtsinusförmige Spannung u(t), deren Grundω
1
frequenz f = 0 =
gleich der charakteristischen
2π T
1
Frequenz
der Schaltung ist (d.h. T=RC).
RC
- 28 -
i R(t)
u(t)
R
C
i C(t)
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
u(t)
A
0
-T
T t
T
⎧ 2⋅ A
⎪− T ⋅ t für : − 2 ≤ t < 0
u(t ) = ⎨
2⋅ A
T
⎪
⋅t
für : 0 ≤ t <
2
⎩ T
a) Berechnen und skizzieren Sie die zeitlichen Verläufe der beiden Teilströme iR(t), iC(t)
und des Gesamtstromes i(t).
b) Berechnen und skizzieren Sie die zeitlichen Verläufe der Momentanwerte der Leistungen pR(t) in R, pC(t) in C und p(t) am Eingang der Schaltung.
c) Geben Sie die reellen Fourierkoeffizienten aΚ, bΚ oder cΚ, ϕΚ aller Ströme und Spannungen der Schaltung an.
d) Ermitteln Sie die Effektivwerte Ueff, ΙR,eff und ΙC,eff durch Integration der zugehörigen
Zeitfunktionen.
e) Berechnen Sie die Scheinleistung PS und die Wirkleistung PW am Eingang der Schaltung.
62. Aufgabe
Aus einem Wechselstromnetz mit kosinusförmiger Spannung u(t ) = Û ⋅ cos(x )
wird über einen idealen Einweggleichrichter und einen Vorwiderstand R eine Batterie der Spannung U0 aufgeladen (vgl. nebenstehende Schaltung). Gegeben sind:
Û = 120 [V ] ,
U0 = 60 [V ] ,
R = 20 [Ω] .
i(x)
u(x)
U0
Der grundsätzliche Strom- und
Spannungsverlauf ist in nebenstehender Grafik skizziert.
u(x)
U
U0
0
i(x)
−2π
R
−π
0
−π/3
π
2π
π/3
- 29 -
x
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
a) Ermitteln Sie allgemein die Fourier-Koeffizienten des Stromes i(x) und daraus den linearen Mittelwert Ι 0 sowie die Amplitude Ι̂1 der Grundwelle des Stromes i(x).
b) Berechnen Sie den Effektivwert Ι eff des Stromes i(x).
c) Berechnen Sie die von der Batterie aufgenommene Leistung PE .
d) Berechnen Sie die Verlustleistung PR im Widerstand R.
e) Berechnen Sie die vom Netz abgegebene Leistung PN .
f) Berechnen Sie
1) die Feldblindleistung PBF ,
2) die Verzerrungsblindleistung PBV und
3) die Scheinleistung PS .
63. Aufgabe
Gegeben ist der gezeichnete periodische Funktionsverlauf.
f(x)
A
⎧A
⎪ ⋅ x für : 0 ≤ x < π
f (x ) = ⎨ π
⎪⎩0
für : π ≤ x < 2π
−2π
−π
0
π
2π x
a) Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten aκ, bκ und b0 der Funktion f(x).
b) Geben Sie nun die Fourierreihe der Funktion f(x) für 0 ≤ κ ≤ 5 an.
64. Aufgabe
Gegeben ist der gezeichnete periodische Funktionsverlauf.
T
⎧
für : t 1 ≤ t <
⎪U
2
⎪⎪
T
f (t ) = ⎨− U für :
+ t1 ≤ t < T
2
⎪
sonst
⎪0
⎪⎩
f(t)
U
t1
-T
t1
0
-T/2
T
T/2
t
-U
a) Welche Symmetrieeigenschaften
besitzt diese Funktion?
b) Berechnen Sie zunächst allgemein unter Berücksichtigung der Symmetrieeigenschaften die reellen Fourierkoeffizienten aκ, bκ und b0.
c) Ermitteln Sie speziell die Fourierkoeffizienten für
T
1) t 1 = ,
2
2) t 1 = 0 ,
T
3) t 1 = .
4
- 30 -
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
d) Geben Sie nun für den Fall t 1 =
κ = 5 an.
T
die Fourierreihe der Funktion f(t) bis einschließlich
4
e) Bestimmen Sie für die Fälle t 1 = 0 und t 1 =
T
die Amplituden cκ und die Phasenwinkel
4
ϕκ der Fourierschwingungen.
f) Skizzieren Sie die Verläufe cκ und ϕκ in Abhängigkeit von κ (Linienspektrum).
65. Aufgabe
Die komplexe Fourierreihe der gezeichneten periodischen Funktion
f (t ) = f (t + k ⋅ T ) soll diskutiert werden.
f(t)
h
a
2b
a) Berechnen Sie die komplexen
Fourierkoeffizienten Aκ der Funkti0
T t
-T/2
T/2
on f(t) in Abhängigkeit von a, b, h -T
und κ.
b) Zeigen Sie, dass der Mittelwert der Funktion aus Aκ für κ=0 hervorgeht.
c) Bestimmen Sie aus den komplexen Fourierkoeffizienten Aκ die reellen Fourierkoeffizienten aκ und bκ.
d) Diskutieren Sie folgende Sonderfälle:
1) a = −b ;
T
T
2) a = − b ; b = ;
2
4
T
3) a = 0 ; b = ;
4
Berechnen Sie dazu aus obigen Formeln Aκ, aκ und bκ. Geben Sie an, welche Symmetriefälle vorliegen.
e) Zeichnen Sie für den Sonderfall d1) das Linienspektrum der A κ in Abhängigkeit von
κωg und zwar für die beiden folgenden Fälle:
T
;
4
T
2) b =
;
16
Zeichnen Sie außerdem die Einhüllende des Linienspektrums ein ( A κ κωg mit belie-
1) b =
(
)
bigem reellem κ).
f) Führen Sie an der Formel für Aκ (Frage a)) folgenden Grenzübergang durch: h → ∞ ,
b → 0 so, dass h ⋅ b = M konstant bleibt. Zeichnen Sie für diesen Sonderfall das Linienspektrum des Realteils, des Imaginärteils und des Betrags von Aκ. Setzen Sie daT
ein.
bei a =
8
g) Formulieren Sie einen allgemeinen Zusammenhang zwischen den Eigenschaften der
periodischen Funktion und dem Verhalten des Linienspektrums anhand der gezeichneten Spektren.
- 31 -
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
66. Aufgabe
Die gezeichnete Rechteckwellenspannung liegt am Eingang einer RCHochpassschaltung.
u1(t)
C
R
u2(t)
u1(t)
U1
-T
0
T
t
a) Bestimmen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten Uκ der Eingangsspannung.
u1 (t ) =
+∞
∑U
κ = −∞
κ
⋅e
jκωgt
Der prinzipielle Verlauf der
Ausgangsspannung ist bekannt:
T
⎧
−α⋅t
für : 0 < t <
⎪⎪A ⋅ e
2
u 2 (t ) = ⎨
⎛ T⎞
−α⋅⎜ t − ⎟
⎪− A ⋅ e ⎝ 2 ⎠ für : T < t < T
⎪⎩
2
b) Berechnen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten der Ausgangsspannung u2(t) abhängig von den Parametern A und α.
c) Berechnen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten der Ausgangsspannung u2(t) aus
den komplexen Fourierkoeffizienten der Eingangsspannung und dem komplexen ÜberA
U
tragungsfaktor ü = 2 κ = 2 (ω = κ ⋅ ωg ) der Schaltung.
A 1κ U1
d) Zeigen Sie, dass bei geeigneter Wahl von A und α die unter b) und unter c) berechneten Koeffizienten gleich sind. Geben Sie A und α als Funktion von U1, R, C und der
Grundfrequenz ωg an.
e) Skizzieren Sie die Funktion u2(t) für α ⋅ T = 0,5 und α ⋅ T = 5 .
f) Welche Leistung PW wird von dem Widerstand R aufgenommen?
67. Aufgabe
Gegeben ist die nichtperiodische Zeitfunktion f (t ) =
β
π
⋅ e −(β⋅t ) (reelles β, Gauß’sche Glo2
ckenkurve).
a) Berechnen Sie mit Hilfe der Fouriertransformation die Spektralfunktion F(ω) aus f(t).
Zur Auflösung ergänzt man im Exponenten quadratisch und benutzt nach geeigneter
- 32 -
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
+∞
Substitution die Beziehung:
∫e
−(a⋅z )
2
⋅ dz =
z = −∞
b)
c)
d)
e)
f)
π
. Welche gemeinsame Eigenschaft zeia
gen f(t) und F(ω)?
Es soll der Einfluss der Größe β auf den Verlauf von f(t) und F(ω) untersucht werden (ω
und t positiv):
1
1) Nach welcher Zeit t=t* ist die Zeitfunktion f(t) auf das -fache ihres Wertes bei t=0
e
abgesunken?
2) Für welche Frequenz ω=ω* beträgt analog der Wert der Spektralfunktion F(ω) das
1
-fache ihres Wertes bei ω=0?
e
3) Diskutieren Sie den Zusammenhang zwischen t*, ω* und β. Was ist insbesondere
über das Produkt t * ⋅ ω* auszusagen?
Stellen Sie in zwei Skizzen den grundsätzlichen Verlauf der beiden entsprechenden
Funktionen f(t) und F(ω) für zwei verschiedene endliche Werte von β einander gegenüber.
Die Zeitfunktion f(t) ist hier so normiert, dass die Fläche unter der Kurve unabhängig
von β konstant ist. Wie groß ist diese Fläche?
Was geschieht mit den Funktionen f(t) und F(ω) im Grenzfall β → ∞ ?
Führen Sie die Rücktransformation durch, d.h. aus der Spektralfunktion F(ω) soll wieder f(t) gewonnen werden.
68. Aufgabe
Gegeben sind drei Zeitfunktionen der
Dauer T:
A
f A(t)
T
⎧
f B(t)
⎪0 für : − ∞ < t < − 2
⎪⎪
T
T
f C(t)
f A (t ) = ⎨A für : − ≤ t ≤
2
2
⎪
T
⎪0 für :
<t<∞
⎪⎩
2
T
⎧
für : − ∞ < t < −
0
⎪0
2
⎪⎪
T
T
⎛ t⎞
-T/2
0
T/2
fB (t ) = ⎨A ⋅ cos⎜ π ⋅ ⎟ für : − ≤ t ≤
t
2
2
⎝ T⎠
⎪
T
⎪0
für :
<t<∞
⎪⎩
2
T
⎧
für : − ∞ < t < −
⎪0
2
⎪⎪
t
T
T
⎛
⎞
fC (t ) = ⎨A ⋅ cos 2 ⎜ π ⋅ ⎟ für : − ≤ t ≤
2
2
⎝ T⎠
⎪
T
⎪0
für :
<t<∞
⎪⎩
2
a) Ermitteln Sie die Ausdrücke für die zugehörigen Spektralfunktionen FA (ω) , FB (ω) und
FC (ω) .
- 33 -
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
b) Für welche Kreisfrequenzen werden FA (ω) , FB (ω) bzw. FC (ω) jeweils Null?
c) Skizzieren Sie die Verläufe FA (ω) , FB (ω) und FC (ω) .
d) Mit welcher Potenz von ω nehmen die Einhüllenden der 3 Spektralfunktionen für hohe
Kreisfrequenzen ab?
69. Aufgabe
Am Eingang der skizzierten Schaltung liegt der
eingeprägte Spannungsverlauf u1(t ) :
u1(t ) = ⎧⎨0 für : t < 0
⎩U für : t ≥ 0
Gesucht ist der zeitliche Verlauf der Ausgangsspannung u 2 (t ) bei Leerlauf.
C
R
u2(t)
u1(t)
a) Geben Sie die zu u1(t ) gehörende SpektralR
funktion U1(ω) an.
b) Ermitteln Sie den Übertragungsfaktor
U (ω)
ü(ω) = 2
der gegebenen Schaltung.
U1(ω)
1
.
Setzen Sie dabei α =
RC
c) Wie lautet das Spektrum U2 (ω) = ü(ω) ⋅ U1(ω) der Ausgangsspannung?
d) Bestimmen Sie nun den zeitlichen Verlauf der Ausgangsspannung u 2 (t ) .
e) Skizzieren Sie den Verlauf von u 2 (t ) .
f) Für welchen Zeitpunkt t 0 > 0 ist u2 (t ) = 0 ?
C
70. Aufgabe
Die gezeichnete Schaltung wird mit eingeprägtem Strom iE (t ) gespeist, dessen zeitlicher Verlauf gegeben ist durch:
iE (t ) = ⎧⎨0 für : t < 0
⎩Ι für : t ≥ 0
Gesucht sind die zeitlichen Verläufe der
Ausgangsspannung u A (t ) und der Ströme in
den Schaltelementen.
iE (t)
R
R
i1
i2
R
i3
C
iC
uA(t)
a) Geben Sie die zu iE (t ) gehörende Spektralfunktion ΙE (ω) an.
U (ω)
der Schaltung und das Spektrum
b) Bestimmen Sie den Übertragungsfaktor ü(ω) = A
ΙE (ω)
UA (ω) der Ausgangsspannung u A (t ) .
c) Wie lautet der Ausdruck für den zeitlichen Verlauf von u A (t ) ?
- 34 -
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
d) Ermitteln Sie ausgehend von dem nun bekannten u A (t ) durch elementare Rechnung
die zeitlichen Verläufe der Ströme i1(t ) , i2 (t ) , i3 (t ) und iC (t ) .
71. Aufgabe
Auf den Eingang der beiden Schaltungen wird ein rechteckförmiger Spannungsimpuls u(t ) aufgeprägt, der folgenden
zeitlichen Verlauf hat:
⎧⎪0 für : t < 0
u(t ) = ⎨U für : 0 ≤ t < T
⎪⎩0 für : t ≥ T
Für beide Schaltungen ist der zeitliche Verlauf i(t ) des
Stromes gesucht.
i(t)
R
u(t)
C
i(t)
R
a) Berechnen Sie das Spektrum U(ω) des gegebenen
u(t)
L
Rechteckimpulses u(t ) .
b) Ermitteln Sie für die beiden Schaltungen
Ι(ω)
,
1) den Übertragungsfaktor ü(ω) =
U(ω)
2) das Spektrum Ι(ω) = ü(ω) ⋅ U(ω) des Stromes und
3) durch Rücktransformation den zeitlichen Verlauf i(t ) des Stromes. Unterscheiden
Sie dabei die Bereiche t < 0 , 0 ≤ t < T und t ≥ T . Das Rücktransformationsintegral
spalte man hierzu in zwei Teilintegrale mit t bzw. t − T als Parameter auf.
c) Skizzieren Sie für beide Schaltungen den zeitlichen Verlauf i(t ) des Stromes.
72. Aufgabe
Gegeben ist die skizzierte Schaltung.
Sie wird mit einer eingeprägten Spannung uE (t ) betrieben, deren zeitlicher
Verlauf gegeben ist durch
uE (t ) = ⎧⎨0 für : t < 0
⎩U für : t ≥ 0
R1
uE(t)
C1
C2
R2
uA(t)
a) Geben Sie die zu uE (t ) gehörige Spektralfunktion UE (ω) an.
U (ω)
. Setzen Sie in dem Ausdruck für
b) Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion ü(ω) = A
UE (ω)
1
1
1
, β=
, γ=
.
die Übertragungsfunktion: α =
R1C1
R 2C2
R1C2
K 0 + K1ω
und
c) Bringen Sie die Übertragungsfunktion ü(ω) auf die Form ü(ω) =
(ω − ω1 )(ω − ω2 )
berechnen Sie ω1 , ω2 , K 0 und K1 in Abhängigkeit von α , β und γ .
d) Wie lautet der Ausdruck für die Spektralfunktion UA (ω) der Ausgangsspannung u A (t ) ?
e) Geben Sie nun den zeitlichen Verlauf u A (t ) der Ausgangsspannung an.
- 35 -
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
Setzen Sie jetzt speziell: β = γ = 2α .
f) Skizzieren Sie den Verlauf von u A (t ) .
g) Zu welcher Zeit t = t M erreicht u A (t ) seinen Extremwert?
73. Aufgabe
Eine Kapazität C ist über den
S
R2
R1
Widerstand R1 fest an eine
Spannungsquelle UE1 angeschlossen und bereits auf dieUE2
uC(t)
se Spannung aufgeladen. Zum UE1
C
Zeitpunkt t=0 wird der Schalter
S geschlossen und somit über
den Widerstand R2 eine zweite Spannungsquelle UE2 zugeschaltet. UE1, UE2, C, R1 und R2
sind allgemein gegeben; untersucht werden soll der zeitliche Verlauf der Kondensatorspannung uC(t).
a) Berechnen Sie zunächst den Wert uC(t→∞).
b) Ermitteln Sie aus den Kirchhoffschen Gleichungen durch Eliminieren aller nicht interessierenden Größen die Differentialgleichung für uC(t) (für Zeiten t>0).
c) Wie lautet der zeitliche Verlauf uC(t) der Kondensatorspannung (für Zeiten t>0)?
d) Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf uC(t). Unterscheiden Sie dabei die Fälle UE2<UE1,
UE2=UE1 bzw. UE2>UE1.
74. Aufgabe
In der nebenstehenden Schaltung sind die Schaltelemente
R,L,C, die eingeprägte Spannung UE und der eingeprägte
Strom ΙE gegeben. Zur Zeit t=0
wird der Schalter S in der gezeichneten Weise betätigt.
Gesucht ist der zeitliche Verlauf des Stromes i(t) durch den
Widerstand R.
i(t)
S
iC(t)
R
L
UE
ΙE
C
uC(t)
a) Ermitteln Sie zunächst die Spannung U0C am Kondensator kurz vor dem Umschalten
( t = 0 − ).
di(t )
an
b) Geben Sie i(t ) und
dt
1) kurz vor dem Umschalten ( t = 0 − ),
2) kurz nach dem Umschalten ( t = 0 + ) und
3) für die Zeit t → ∞ .
c) Stellen Sie unter Verwendung der Kirchhoffschen Gleichungen die Differentialgleichung für den Strom i(t ) auf ( t > 0 ).
- 36 -
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
d) Geben Sie das charakteristische Polynom an und bestimmen Sie die Konstanten λ1
und λ2 als Funktion der Schaltelemente.
g) Nun sollen unter Beachtung der Anfangsbedingungen für die Lösung
i(t ) = K 1 ⋅ e λ 1t + K 2 ⋅ e λ 2 t + iPART die Konstanten K1 und K2 bestimmt werden. Geben Sie
die vollständige Lösung i(t ) an.
75. Aufgabe
Gegeben ist die abgebili1
R1
L
dete Schaltung besteS
hend aus der idealen
i
i2
iC
0
Spannungsquelle UE, der Ι
E
idealen Stromquelle ΙE,
R0
R2
UE
uC
den 3 Widerständen R0,
C
R1, R2, der Spule L und
dem Kondensator C. Zur
Zeit t=0 wird der Schalter
S in der gezeichneten Richtung betätigt. Gesucht ist der zeitliche Verlauf der Kondensatorspannung uC(t≥0).
du C
dt
1) unmittelbar vor dem Umschalten ( t = 0 − ),
2) unmittelbar nach dem Umschalten ( t = 0 + ) und
3) für Zeiten t → ∞ .
b) Stellen Sie die Differentialgleichung für uC(t≥0) auf und bestimmen Sie das charakteristische Polynom in λ.
a) Berechnen Sie uC und
R
1
=
≡ α;
L RC
c) Berechnen Sie die Lösungen λ1 und λ2 des charakteristischen Polynoms in Abhängigkeit von den gegebenen Größen.
d) Berechnen Sie die Konstanten K1 und K2 und die partikuläre Lösung uC,PART aus dem
Im weiteren gelte: R 0 = R1 = R 2 ≡ R ;
allgemeinen Lösungsansatz: uC (t ≥ 0 ) = K1e λ1t + K 2 e λ 2 t + uC,PART .
76. Aufgabe
- 37 -
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
Bei der nebenstehenden Schaltung
wird zur Zeit t = 0 bei ungeladenem
Kondensator C der Schalter S in der
skizzierten Richtung betätigt. Gesucht ist der zeitliche Verlauf des
Spulenstromes iL (t ) für Zeiten t ≥ 0 .
(
)
)
iC
(
)
C
i3
ΙE
a) Ermitteln Sie zunächst iL t = 0 −
kurz vor dem Umschalten.
b) Geben Sie nun iL t = 0 + und
(
iL
S
i2
R
R
R
L
i1
UE
diL t = 0 +
kurz nach dem Umdt
schalten an.
c) Welchen Wert erhält iL (t ) für t → ∞ ?
d) Stellen Sie nun die Differentialgleichung für den Spulenstrom iL (t ≥ 0 ) auf.
e) Ermitteln Sie das charakteristische Polynom λ2 + b ⋅ λ + c = 0 und geben Sie b und c
als Funktionen von R, L und C an.
f) Bestimmen Sie nun mit Hilfe der Anfangswerte aus b) die Konstanten K1 und K 2 der
allgemeinen Lösung iL (t ≥ 0) = K1 ⋅ e λ1t + K 2 ⋅ e λ 2 t + iL,PART .
- 38 -
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
Anhang
Komplexe Widerstandsebene (Z-Ebene)
mit Kurven konstanten Wirkleitwertes (G=const.)
und konstanten Blindleitwertes (B=const.)
6
-1/10
-1/8
X/(Ω)
induktiv
-1/11 -1/13 -1/15
-1/9
-1/7
5
-1/12 -1/14
-1/6
-1/5
4
CP
LP
-1/4
3 -1/3
LS
RP
RS
2 -1/2
1
CS
-1
1
0
1
2
1/2
3
1/3
1
4
5
1/4
1/5
-1
6
7
8
9
R/(Ω)
1/6
1/7
1/8
-2 1/2
-3
1/9
G/(S)
1/3
1/10
1/4
-4
1/5
1/6
-5
1/7
B/(S)
1/9
1/8
1/11
1/10
-6
- 39 -
1/13 1/15
1/12
1/14
kapazitiv
10
Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik
X
2
0,25
-0,35
1,5
-0,3
-0,4
-0,25
-0,45
0,3
-0,5
-0,2
-0,55
-0,6
-0,65
-0,7
-0,15
0,35
-0,75
-0,8
-0,85
1
-0,9
-0,95
-1
0,4
-0,1
-1,1
-1,2
0,45
-1,3
-1,4
-1,5
-1,6
0,5
-1,8
0,5
0,55
-2
0,6
-2,5
-0,05
0,65
0,7
-3
0,75
0,8
-4
-5
1
-10
0
4
5
10
2 1,8
2,5
3
0,5
10
1,2
1,5
1,3
1,4
1,6
1,5 1,4
0,95
0,9
0,85
1,1
1
1,3
1,2
1,5
2
2,5
3
1,1
1
5
0,95
0,9
4
0,85
0,8
0,75
3
0,7
0,65
2,5
0,05
0,6
-0,5
2
0,55
1,8
1,6
1,5
1,4
0,5
1,3
0,45
1,2
1,1
0,1
1
0,95
-1
0,4
0,9
0,85
0,8
0,75
0,35
0,15
0,7
0,65
0,6
0,55
0,2
0,5
-1,5
0,3
0,45
0,25
0,4
0,35
0,3
0,25
-2
- 40 -
R