Hans Walser, [20150102] Trinomialkoeffizienten 1 Worum geht es

Hans Walser, [20150102]
Trinomialkoeffizienten
1 Worum geht es
Es wird eine Verallgemeinerung des Pascalschen Dreiecks der Binomialkoeffizienten
besprochen.
2 Das Dreieck
Die Abbildung 1 zeigt das Zahlendreieck.
Abb. 1: Zahlendreieck
Jede Zahl ist die Summe der drei Zahlen unmittelbar oberhalb sowie links und rechts
oberhalb.
Man kann es auch so sehen: Eine Zeile wird dreimal versetzt unter einander geschrieben
und dann wird addiert (Abb. 2).
1
1
4
10
16
19
16
10
4
1
1
4
10
16
19
16
10
4
1
1
4
10
16
19
16
10
4
1
15
30
45
51
45
30
15
5
1
5
Abb. 2: Zeile dreimal addieren
2/7
Hans Walser: Trinomialkoeffizienten
Die Zahlen ergeben sich als Koeffizienten durch das Potenzieren eines Trinoms:
( p2 + pq + q2 ) = 1
1
( p2 + pq + q2 ) = 1p2 + 1pq + 1q2
2
( p2 + pq + q2 ) = 1p4 + 2 p3q + 3p2q2 + 2 pq3 + 1q4
3
( p2 + pq + q2 ) = 1p6 + 3p5q + 6 p4q2 + 7 p3q3 + 6 p2q4 + 3pq5 + 1q6
4
( p2 + pq + q2 ) = 1p8 + 4 p7q + 10 p6q2 + 16 p5q3 + 19 p4q4 + 16 p3q5 + 10 p2q6 + 4 pq7 + 1q8
0
Alternativ kann mit einem quadratischen Polynom gearbeitet werden:
( x2 + x + 1) = 1
1
( x2 + x + 1) = 1x2 + 1x + 1
2
2
x
+
x
+
1
(
) = 1x 4 + 2x 3 + 3x2 + 2x + 1
3
( x2 + x + 1) = 1x6 + 3x5 + 6x 4 + 7x 3 + 6x2 + 3x + 1
4
( x2 + x + 1) = 1x8 + 4x 7 + 10x6 + 16x5 + 19x 4 + 16x 3 + 10x2 + 4x + 1
0
3 Schreibweise und Indizierung
Für die Zahlen des Zahlendreieckes der Abbildung 1 habe ich die Schreibweise
t n, k
, n ∈{0, 1, 2, ...} , k ∈{−n, − n + 1, ... , n − 1, n}
gewählt (Abb. 3).
Abb. 3: Schreibweise und Indizierung
In dieser Bezeichnung gilt die Rekursion:
t n,k = t n−1,k−1 + t n−1,k + t n−1,k+1
3/7
Hans Walser: Trinomialkoeffizienten
Wir haben die Symmetriebeziehung:
t n,−k = t n,k
4 Link zu den üblichen Trinomialkoeffizienten
Wir potenzieren das Standard-Trinom ( a + b + c ) . Zunächst erhalten wir zum Beispiel
für den Exponenten 4:
( a + b + c )4 =
a 4 + 4a 3b + 4a 3c + 6a 2b 2 + 12a 2bc + 6a 2 c 2 + 4ab 3 + 12ab 2 c
+12abc 2 + 4ac 3 + b 4 + 4b 3c + 6b 2 c 2 + 4bc 3 + c 4
Das ist eine hässliche Darstellung. Sie kann verbessert werden durch eine zweidimensionale dreiecksförmige Anordnung (Abb. 4). Die Terme im Dreieck sind zu summieren.
1b4
4ab3
(a + b + c)4
6a2 b2
=
4a3 b
1a4
4b3 c
12ab2 c
12a2 bc
4a3 c
6a2 c2
6b2 c2
12abc2
4ac3
4bc3
1c4
Abb. 4: Dreiecksanordnung
Die Koeffizienten dieses Schemas sind die üblichen Trinomialkoeffizienten für n = 4.
Wir erkennen die gewöhnlichen Binomialkoeffizienten und Produkte davon.
Wenn wir nun die Trinomialkoeffizienten spaltenweise addieren (Abb. 5), ergibt sich
die zu 4 gehörende Zeile des Zahlenschemas der Abbildung 1.
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Hans Walser: Trinomialkoeffizienten
1
4
6
1
12
12
4
1
10
6
12
6
4
4
4
16
19
4
4
16
10
1
4
1
Abb. 5: Spaltenweise Addition
Die Stimmigkeit dieses Verfahrens kann wie folgt eingesehen werden. In den Formeln
der Abbildung 4 ersetzen wir a = p 2 , b = pq und c = q 2 (Abb. 6).
Die Terme in einer Spalte enthalten dieselben Variablen mit denselben Potenzen. Wir
können also spaltenweise addieren.
5/7
Hans Walser: Trinomialkoeffizienten
1(pq)4
4(p2 )(pq)3
(p2 + pq + q2 )4
6(p2 )2 (pq)2
=
4(p2 )3 (pq)
1(p2 )4
1p8
4(pq)3 (q2 )
12(p2 )(pq)2 (q2 )
12(p2 )2 (pq)(q2 )
4(p2 )3 (q2 )
4p7 q
10p6 q2
6(pq)2 (q2 )2
12(p2 )(pq)(q2 )2
6(p2 )2 (q2 )2
16p5 q3
19p4 q4
4(pq)(q2 )3
4(p2 )(q2 )3
16p3 q5
10p2 q6
1(q2 )4
4pq7
1q8
Abb. 6: Einsicht
In unserer Bezeichnung für t n, k ergeben sich damit folgende Summenformeln:
t n, k =
⎢⎣ n−k
⎥
2 ⎦
∑
j=0
⎢⎣ n−k
⎥
2 ⎦
( )( ) = n! ∑
n
k+2 j
k+2 j
k+ j
j=0
1
j! ( k+ j )! ( n−k−2 j )!
Wer Lust hat, kann einen Induktionsbeweis versuchen.
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Hans Walser: Trinomialkoeffizienten
5 Farbliche Gestaltung
Wir können wie beim Pascalschen Dreieck der Binomialkoeffizienten nun auch die Trinomialkoeffizienten modulo m farblich codieren.
In der Abbildung 7 wird zwischen gerade (schwarz) und ungerade (rot) unterschieden.
Abb. 7: Gerade und ungerade
Wir erhalten eine fraktale Struktur, das war ja auch zu erwarten.
In der Abbildung 8 wird modulo 3 gearbeitet.
Abb. 8: Modulo 3
7/7
Hans Walser: Trinomialkoeffizienten
Die Abbildung 9 gibt die Situation für modulo 4.
Abb. 9: Modulo 4
Die Abbildung 7 schließlich für modulo 5.
Abb. 7: Modulo 5