Hans Walser, [20150102] Trinomialkoeffizienten 1 Worum geht es Es wird eine Verallgemeinerung des Pascalschen Dreiecks der Binomialkoeffizienten besprochen. 2 Das Dreieck Die Abbildung 1 zeigt das Zahlendreieck. Abb. 1: Zahlendreieck Jede Zahl ist die Summe der drei Zahlen unmittelbar oberhalb sowie links und rechts oberhalb. Man kann es auch so sehen: Eine Zeile wird dreimal versetzt unter einander geschrieben und dann wird addiert (Abb. 2). 1 1 4 10 16 19 16 10 4 1 1 4 10 16 19 16 10 4 1 1 4 10 16 19 16 10 4 1 15 30 45 51 45 30 15 5 1 5 Abb. 2: Zeile dreimal addieren 2/7 Hans Walser: Trinomialkoeffizienten Die Zahlen ergeben sich als Koeffizienten durch das Potenzieren eines Trinoms: ( p2 + pq + q2 ) = 1 1 ( p2 + pq + q2 ) = 1p2 + 1pq + 1q2 2 ( p2 + pq + q2 ) = 1p4 + 2 p3q + 3p2q2 + 2 pq3 + 1q4 3 ( p2 + pq + q2 ) = 1p6 + 3p5q + 6 p4q2 + 7 p3q3 + 6 p2q4 + 3pq5 + 1q6 4 ( p2 + pq + q2 ) = 1p8 + 4 p7q + 10 p6q2 + 16 p5q3 + 19 p4q4 + 16 p3q5 + 10 p2q6 + 4 pq7 + 1q8 0 Alternativ kann mit einem quadratischen Polynom gearbeitet werden: ( x2 + x + 1) = 1 1 ( x2 + x + 1) = 1x2 + 1x + 1 2 2 x + x + 1 ( ) = 1x 4 + 2x 3 + 3x2 + 2x + 1 3 ( x2 + x + 1) = 1x6 + 3x5 + 6x 4 + 7x 3 + 6x2 + 3x + 1 4 ( x2 + x + 1) = 1x8 + 4x 7 + 10x6 + 16x5 + 19x 4 + 16x 3 + 10x2 + 4x + 1 0 3 Schreibweise und Indizierung Für die Zahlen des Zahlendreieckes der Abbildung 1 habe ich die Schreibweise t n, k , n ∈{0, 1, 2, ...} , k ∈{−n, − n + 1, ... , n − 1, n} gewählt (Abb. 3). Abb. 3: Schreibweise und Indizierung In dieser Bezeichnung gilt die Rekursion: t n,k = t n−1,k−1 + t n−1,k + t n−1,k+1 3/7 Hans Walser: Trinomialkoeffizienten Wir haben die Symmetriebeziehung: t n,−k = t n,k 4 Link zu den üblichen Trinomialkoeffizienten Wir potenzieren das Standard-Trinom ( a + b + c ) . Zunächst erhalten wir zum Beispiel für den Exponenten 4: ( a + b + c )4 = a 4 + 4a 3b + 4a 3c + 6a 2b 2 + 12a 2bc + 6a 2 c 2 + 4ab 3 + 12ab 2 c +12abc 2 + 4ac 3 + b 4 + 4b 3c + 6b 2 c 2 + 4bc 3 + c 4 Das ist eine hässliche Darstellung. Sie kann verbessert werden durch eine zweidimensionale dreiecksförmige Anordnung (Abb. 4). Die Terme im Dreieck sind zu summieren. 1b4 4ab3 (a + b + c)4 6a2 b2 = 4a3 b 1a4 4b3 c 12ab2 c 12a2 bc 4a3 c 6a2 c2 6b2 c2 12abc2 4ac3 4bc3 1c4 Abb. 4: Dreiecksanordnung Die Koeffizienten dieses Schemas sind die üblichen Trinomialkoeffizienten für n = 4. Wir erkennen die gewöhnlichen Binomialkoeffizienten und Produkte davon. Wenn wir nun die Trinomialkoeffizienten spaltenweise addieren (Abb. 5), ergibt sich die zu 4 gehörende Zeile des Zahlenschemas der Abbildung 1. 4/7 Hans Walser: Trinomialkoeffizienten 1 4 6 1 12 12 4 1 10 6 12 6 4 4 4 16 19 4 4 16 10 1 4 1 Abb. 5: Spaltenweise Addition Die Stimmigkeit dieses Verfahrens kann wie folgt eingesehen werden. In den Formeln der Abbildung 4 ersetzen wir a = p 2 , b = pq und c = q 2 (Abb. 6). Die Terme in einer Spalte enthalten dieselben Variablen mit denselben Potenzen. Wir können also spaltenweise addieren. 5/7 Hans Walser: Trinomialkoeffizienten 1(pq)4 4(p2 )(pq)3 (p2 + pq + q2 )4 6(p2 )2 (pq)2 = 4(p2 )3 (pq) 1(p2 )4 1p8 4(pq)3 (q2 ) 12(p2 )(pq)2 (q2 ) 12(p2 )2 (pq)(q2 ) 4(p2 )3 (q2 ) 4p7 q 10p6 q2 6(pq)2 (q2 )2 12(p2 )(pq)(q2 )2 6(p2 )2 (q2 )2 16p5 q3 19p4 q4 4(pq)(q2 )3 4(p2 )(q2 )3 16p3 q5 10p2 q6 1(q2 )4 4pq7 1q8 Abb. 6: Einsicht In unserer Bezeichnung für t n, k ergeben sich damit folgende Summenformeln: t n, k = ⎢⎣ n−k ⎥ 2 ⎦ ∑ j=0 ⎢⎣ n−k ⎥ 2 ⎦ ( )( ) = n! ∑ n k+2 j k+2 j k+ j j=0 1 j! ( k+ j )! ( n−k−2 j )! Wer Lust hat, kann einen Induktionsbeweis versuchen. 6/7 Hans Walser: Trinomialkoeffizienten 5 Farbliche Gestaltung Wir können wie beim Pascalschen Dreieck der Binomialkoeffizienten nun auch die Trinomialkoeffizienten modulo m farblich codieren. In der Abbildung 7 wird zwischen gerade (schwarz) und ungerade (rot) unterschieden. Abb. 7: Gerade und ungerade Wir erhalten eine fraktale Struktur, das war ja auch zu erwarten. In der Abbildung 8 wird modulo 3 gearbeitet. Abb. 8: Modulo 3 7/7 Hans Walser: Trinomialkoeffizienten Die Abbildung 9 gibt die Situation für modulo 4. Abb. 9: Modulo 4 Die Abbildung 7 schließlich für modulo 5. Abb. 7: Modulo 5