¨Ubungen zur Aufbau der Materie IIb für LA Gymnasium Blatt 8
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Übungen zur Aufbau der Materie IIb für LA Gymnasium WS15/16 W. Söldner Blatt 8 — Ausgabe: 7.12.2015 — Abgabe: 14.12.2015 Aufgabe 1: Neutronenstern Betrachten Sie einen Neutronenstern, einen Stern, der unter dem Einfluß der Gravitation zusammengebrochen ist und in dem sich alle Protonen durch inversen β-Zerfall in Neutronen umgewandelt haben, von etwa 1.5 Sonnenmassen, ∼ 3 · 1030 kg, und einer Neutronenzahl von N = 1.8 · 1057 als ein kaltes Fermigas von konstanter Dichte. a) Geben Sie die mittlere kinetische Energie und die potentielle Energie, die durch die Gravitation hervorgerufen wird, pro Neutron an. Berechnen Sie dann den Gleichgewichtszustand des Sternes, daß heißt den Zustand in dem die Gesamtenergie pro Neutron in Abhängigkeit vom Radius R ein Minimum annimmt, um den Radius des Sternes zu erhalten. b) Berechnen Sie den Fermidruck des Neutronensterns in Abhängigkeit von seiner Neutronendichte. Benutzen Sie das Ergebnis aus Teilaufgabe a), um die Neutronendichte anzugeben und einen numerischen Wert für den Fermidruck zu erhalten. Hinweis: Die mittlere kinetische Energie pro Teilchen des (idealen) Fermigases ist gegeben durch < ekin >=< Ekin /N >= 35 EF wobei Ekin die gesamte kinetische Energie ist, N die Anzahl der Teilchen, und EF die Fermi-Energie. Der Fermidruck ist gegeben durch ∂U , − ∂V S wobei U die innere Energie, V das Volumen und S die Entropie sind. (Die Entropie müssen Sie nicht weiter beachten.) Aufgabe 2: C-14 Methode In der Natur kommen drei Kohlenstoffisotope vor, 12 C, 13 C und 14 C. Isotopenuntersuchungen in der Luft zeigen, daß diese zu 98.89% aus 12 C, zu 1.11% aus 13 C und etwa 10−10 % aus 14 C besteht. (14 C entsteht zumeist, wenn Neutronen aus der kosmischen Strahlung auf 14 N treffen und dieses unter Aussendung eines Protons in 14 C übergeht.) Der β-Zerfall des 14 C, 14 − C → 14 7 N + e + ν̄e , mit einer Halbwertszeit von t1/2 = 5730 Jahren bildet die Grundlage der Radiocarbondatierung. Lebende Organismen bauen die verschiedenen Kohlenstoffisotope in dem in der Luft vorliegenden Verhältnis unter anderem in Kohlenwasserstoffketten ein. a) Erläutern Sie, wie die 14 C-Konzentration zur Altersbestimmung organischer Materie verwendet werden kann. b) Welches Alter hätte ein Knochen in etwa, wenn 105 Gramm Kohlenstoff, die in diesem angelagert wurden, eine Aktivität von 5 Becquerel aufwiesen? c) Welchen Einfluss hat die Freisetzung von Kohlenstoff in industriellen Verbrennungsprozessen, vorwiegend Kohle und Erdöl, auf die relative Häufigkeit von 14 C? Aufgabe 3: Kernradius 1953 führte Robert Hofstadter Streuexperimente zur Untersuchung der Ladungsverteilung von Kernen durch. Er nahm einen Strahl hochenergetischer Elektronen und ließ diese auf eine dünne Folie des zu untersuchenden Materials treffen. Ähnlich dem Rutherfordschen Streuexperiment ließ er die abgelenkten Elektronen bei verschiedenen Streuwinkeln nachweisen. Wenn Streuung elastische vorliegt Streuung Wenn elastische und vorliegt und die Elektronen die Elektronen eine de Broglie Wel- eine ange von lenlänge von der Größenordnung des der oßenordnung des Kernradius Kernradius haben, läßt sich dies ähnlich ahnlich eieinem Interferenzexperiment an einem an nem Interferenzexperiment Einzelspalt einem darstellen. (Siehe nebensteEinzelspalt darstellen. (Siehe hende Abbildung.) a) Berechnen Sie, welche Energie Elektronen mindestens haben müssen, um eine de Broglie Wellenlänge von h λ = = 1fm p zu haben. b) Für oben beschriebenes Streuexperiment ergibt sich ein Zusammenhang zwischen dem Winkel des ersten Beugungsminimums und dem Kernradius, der dem beim Einzelspalt sehr ähnlich ist, λ sin θmin = 0.61 , r θmin ist der Winkel des ersten Beugungsminimums, r der Kernradius und der Faktor 0.61 ergibt sich aus der Geometrie des Experimentes. Folgendes Spektrum wurde für Blei 208 P b bzw. Sauerstoff 16 O und Elektronen mit einer Energie E = 500MeV gemessen: Geben Sie den Kernradius für Sauerstoff und Blei an und berechnen Sie jeweils aus 1 r = r0 A 3 den Proportionalitätsfaktor r0 . Aufgabe 4: Erzeugung einer radioaktiven Quelle (Staatsexamen Herbst 2013) a) Es werden radioaktive Kerne (Zerfallskonstante λ) mit einer konstanten Produktionsrate P = Anzahl der erzeugten Kerne/Zeit (z.B. durch Neutronenbestrahlung) erzeugt. Begründen Sie, dass dieser Vorgang durch die Differentialgleichung dN = P − λN dt beschrieben wird, wobei N (t) die Anzahl der radioaktiven Kerne zur Zeit t ist. Zeigen Sie, dass P P N (t) = + N0 − e−λt λ λ eine Lösung dieser Differentialgleichung ist, wenn die Anzahl der radioaktiven Kerne zur Zeit t = 0 gleich N0 ist. (5 Punkte) b) Skizzieren Sie die in Teil a) gefundene Lösung für die Fälle N0 > P/λ und N0 < P/λ. (2 Punkte) c) Das radioaktive Isotop 36 Cl lässt sich durch die Bestrahlung von Nickel-Chlorid (NiCl2 ) mit Neutronen in der Reaktion 35 Cl + n → 36 Cl + γ erzeugen. Der Wirkungsquerschnitt für diese Reaktion beträgt 43b = 43 · 10−28 m2 . Berechnen Sie die Produktionsrate P , die sich ergibt, wenn man 1g Nickel-Chlorid einem Neutronenfluss von 1014 cm−2 s−1 aussetzt. Das Molekulargewicht von NickelChlorid ist 129,6. Natürliches Chlor besteht zu 75, 8% aus 35 Cl und zu 24, 2% aus 37 Cl. (4 Punkte) Ersatzlösung: P = 4 · 1013 s−1 d) Die Halbwertszeit von 36 Cl beträgt 3 · 105 Jahre. Berechnen Sie, wie viele Tage es unter den angegebenen Bedingungen dauert, eine Quelle von 36 Cl mit einer Aktivität von 3 · 106 Bq zu erzeugen, wenn zu Beginn der Bestrahlung kein 36 Cl vorhanden war. (4 Punkte)
