Blatt 5 - Physik
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Übungen zur Struktur der Materie 3 WiSe 14/15 N. Offen, C. Lange, P. Perez-Rubio, W. Soeldner, A. Trottmann Blatt 5 — Ausgabe: 04.11.2014 — Abgabe: 10./11.11./12.11/13.11.2014 Aufgabe 18: Kernradius 1953 führte Robert Hofstadter Streuexperimente zur Untersuchung der Ladungsverteilung von Kernen durch. Er nahm einen Strahl hochenergetischer Elektronen und ließ diese auf eine dünne Folie des zu untersuchenden Materials treffen. Ähnlich dem Rutherfordschen Streuexperiment ließ er die abgelenkten Elektronen bei verschiedenen Streuwinkeln nachweisen. Wenn elastische Streuung vorliegt und die Elektronen eine de Broglie Wellenlänge von der Größenordnung des Kernradius haben, läßt sich dies ähnlich einem Interferenzexperiment an einem Einzelspalt darstellen. (Siehe nebenstehende Abbildung.) a) Berechnen Sie, welche Energie Elektronen mindestens haben müssen, um eine de Broglie Wellenlänge von h λ = = 1 fm p zu haben. b) Für oben beschriebenes Streuexperiment ergibt sich ein Zusammenhang zwischen dem Winkel des ersten Beugungsminimums und dem Kernradius, der dem beim Einzelspalt sehr ähnlich ist. λ sin θmin = 0.61 , r r = 0.61 λ sin θmin θmin ist der Winkel des ersten Beugungsminimums, r der Kernradius und der Faktor 0.61 ergibt sich aus der Geometrie des Experimentes. Folgendes Spektrum wurde für Blei 208 P b bzw. Sauerstoff 16 O und Elektronen mit einer Energie E = 500 M eV gemessen: Geben Sie den Kernradius für Sauerstoff und Blei an und berechnen Sie jeweils aus 1 r = r0 A 3 den Proportionalitätsfaktor r0 . Aufgabe 19: Formfaktor-Ladungsverteilung In der Vorlesung wurde der Formfaktor in Bornscher Näherung als Fouriertransformierte der Ladungsverteilung angegeben: Z F (~ q ) = d3 r exp(i~ q · ~r) f (~r), ρ(~r) = Z e f (~r). Der mittlere quadratische Radius wiederum ist Z 2 hr i = d3 r r 2 f (~r). a) Zeigen Sie, daß der Formfaktor für eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung als Funktion von q 2 angegeben werden kann und daß dann der mittlere quadratische Radius über 6 dF (q 2 ) 2 hr i = − F (0) dq 2 q2 =0 gegeben wird. Dies wird bei der Bestimmung des Protonradius aus Streuexperimenten ausgenutzt. b) Zeigen Sie, daß der Formfaktor für ρ(~r) = ρ0 e−r/a durch die Dipolform gegeben ist. c) Berechnen Sie den mittleren quadratischen Radius für die Ladungsverteilung aus Teilaufgabe b). Hinweise: 2) Es ist einfacher, die Ableitung dFdq(q2 lung des Formfaktors zu gewinnen. an der Stelle q 2 = 0 aus der Reihenentwick- Im Skript wird in Tabelle 3 eine andere Konvention verwendet (~ 6= 1, ar statt im Exponenten...). Hier sollte das Resultat F (q) = r a 1 (1 + a2 q 2 )2 lauten, wenn Sie ρ(~r) auf Ze normieren. Aufgabe 20: Formfaktor-Ladungsverteilung 2 Betrachten Sie analog zu Aufgabe 19 elastische Streuung von Elektronen mit E = 500 MeV an ruhendem 208 82 Blei. Vernachlässigen Sie die Rückstoßenergie des Kernes und berechnen Sie unter der Annahme, dass die Ladungsverteilung im Blei einer homogenen Kugel mit Radius R = 7.5 · 10−15 entspräche, die Winkelabhängigkeit des Formfaktors und des Streuquerschnitts. Hinweise: 208 Blei 82 hat Spin 0, d.h. der Streuquerschnitt kann über dσ dσ = |F (q 2 )|2 dΩ dΩ M ott bestimmt werden. Vernachlässigen Sie die Massen der Elektronen und setzen Sie β ≈ 1. Die Lage des ersten Minimums der Winkelverteilung sollte recht gut mit dem in Aufgabe 19 gemessenen übereinstimmen. Aufgabe 21: Formfaktor-Ladungsverteilung 3 Nehmen Sie den Zusammenhang zwischen Wirkungsquerschnitt und Streuamplitude dσ(~q) = |f (~q)|2 dΩ, der aus QM I bekannt ist. In Bornscher Näherung ist die Streuamplitude über Z m f (~ q) = d3 r ei~q·~r V (~r), 2π gegeben, wobei m die Masse des einfallenden Teilchens ist und V (~r) = Z1 e φ(~r), mit dem elektrostatischen Potential φ(~r). Geben Sie zunächst die Streuamplitude für ein Punktteilchen an. Leiten Sie dann den Zusammenhang zwischen dem Streuquerschnitt einer Punktladung und einer ausgedehnten Ladungsverteilung dσ dσ = · |F (~q)|2 dΩ dΩ P unkt her, indem Sie ei~q·~r = − 1 △ ei~q·~r q~2 ausnutzen und zweimal partiell integrieren, wobei Sie annehmen müssen, dass die Oberflächenterme verschwinden. Der Formfaktor F (~q) sei hier wiederum über die Fouriertransformation der Ladungsverteilung Z F (~ q ) = d3 ei~q·~r f (~r) mit ρ(~r) = Z e f (~r) definiert.
