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Ladungsverteilung des Protons - Formfaktoren von Kern und Nukleon
Vortrag im Rahmen F-Praktikumsseminars
Institut für Kernphysik
Johannes-Gutenberg-Universität Mainz
Matthias Schoth∗
(Dated: 17. Juli 2006)
In diesem Vortrag sollen die Grundlagen erläutert werden, die zum Verständnis verschiedener Experimente am Mainzer Mikrotron (MAMI) notwendig sind. Es wird auf Methoden und grundlegende
Theorien eingegangen, die betrieben werden müssen, um Aussagen über die geometrische Form der
Ladungsverteilung von Kernen und Nukleonen zu machen. Insbesondere wird auf die Arbeit der
Arbeitsgruppe A1 eingegangen.
I.
MOTIVATION UND GRUNDLAGEN
Die wesentlichen Methoden um die Geometrische Form
von sehr kleinen Objekte, wie z.B. Kernen oder Nukleonen zu untersuchen, sind Streuexperimente. E. Rutherford hat 1911 durch elastische Streuung von α - Teilchen an Gold-Atomen erste Aussagen über die Struktur der Materie machen können und somit z.B. das
Thomson-Modell falsifiziert. Genauere Aussagen waren
mit der klassischen Rutherford-Streuung allerdings nicht
möglich, weil die Projektile selbst räumlich ausgedehnt
sind und zwischen ihnen und dem Target auch noch
Kernkräfte wechselwirken, die recht kompliziert und zu
dem Zeitpunkt nicht sehr gut bekannt waren.
Aus diesem Grund geht man zur Streuung mit Elektronen über, weil Elektronen, nach allem was wir heute wissen, nicht räumlich ausgedehnt sind und die Wechselwirkung mit dem Target über die Quanten-Elektro-Dynamik
exakt berechnet werden kann und gut verstanden ist.
Ausserdem ist die Elektromagnetische Kopplungskon2
1
stante α = 2πe
hc = 137 relativ klein, so dass Korrekturen
höherer Ordnung, wie z.B. 2-Photonen-Austausch weitgehend vernachlässigt werden können.
re Arten der Streuung von Elektronen an Kernen. Dies
ist zum einen die quasielastische Streuung, bei der das
Elektron ein Nukleon aus dem Kern herauslöst, unter
der Annahme, dass dieses Nukleon bei dem Prozess nicht
mit dem Kern wechselwirkt. Zum anderen gibt es noch
Reihe von Formen der inelastischen Streuung, bei denen
z.B. der Kern angeregt wird oder neue Teilchen entstehen. Thema des Vortrags ist allerdings ausschließlich die
elastische Streuung von Elektronen an Kernen und Nukleonen.
II.
LADUNGSVERTEILUNG VON KERN UND
NUKLEON
Als Schnittstelle zwischen Theorie und Experiment
wurde bei Streuversuchen lange der Rutherfordsche Wirkungsquerschnitt verwendet. Bei diesem geht man von
der Vereinfachung aus, dass die beteiligten Stoßpartner
punktförmig sind. Ausserdem wird der Rückstoß des Targets vernachlässigt, weil man davon ausgeht, dass das
Projektil sehr leicht gegenüber dem Target ist. Desweiteren werden alle Effekte vernachlässigt, die durch den
Spin der Teilchen hervorgerufen werden.
p’
A.
q=p−p’
e
Ze
Wirkungsquerschnitte
Der Rutherford-Wirkungsquerschnitt lässt sich auf
zwei Weisen herleiten. Klassisch und Quantenmechanisch.
p
1. Klassische Herleitung des
Rutherford-Wirkungsquerschnitts
Abbildung 1: Impulsübertrag im nichtrelativistischen
Fall: ~
q=p
~ − p~0 . De-Broglie-Wellenlänge: λ = |~~q|
Neben der Elastischen Streuung gibt es noch weite-
∗ Electronic
address:
[email protected];
URL: http://www.students.uni-mainz.de/mschoth
Bei der klassischen Herleitung des RutherfordWirkungsquerschnitt geht man zunächst von dem
zZe2
Coulomb-Potential V = 4π
aus, dass die Wechsel0r
wirkung zweier geladener Punktteilchen beschreibt. Mit
den identischen kinematischen Betrachtungen, wie man
sie bei den Hyperbahnen der Keppler-Bewegungen vornimmt, kann man hieraus einen Zusammenhang zwischen
Stoßparameter b(θ) und dem Streuwinkel θ herleiten:
2
do
wobei dE durch dE =
db
b
0
b
Abbildung 2: Zur klassischen Herleitung des RutherfordWirkungsquerschnitts
2
1
θ
b(θ) = zZe
4π0 2E cot 2 . Den differentiellen Wirkungsquerdσ
schnitt dΩ
kann man als den Quotient aus der von den
Teilchen durchdrungenen Ringfläche und dem differentiellen Raumwinkel-Segment auffassen. Damit ergibt sich:
b·db·dφ
b db
dσ
dΩ = sin θ·dθ·dφ = sin θ dθ . Nun kann man den obigen
db
Ausdruck für b und dessen Ableitung dθ
einsetzen und
erhält
(
dσ
zZe2 2
1
)Rutherf ord = (
)
dΩ
4π0 · 2E 4 sin4 (θ/2)
(1)
Während man bei der klassischen Herleitung noch von
punktförmigen Teilchen ausgeht findet man in der quantenmechanischen Herleitung den allgemeineren Fall, der
auch eine beliebige Ladungsverteilung repräsentieren
kann.
2.
Quantenmechanische Herleitung des
Rutherford-Wirkungsquerschnitts
Bei der quantenmechanischen Herleitung betrachtet
man zunächst den Impulstransfer ~q = p~i − p~f (Die Indizes stehen für, i: initial, f: final). Der Betrag des Impultransfers ist gegeben durch q 2 = 4p2 sin2 (θ/2) mit
|~
pi | = |p~f | = p, unter der Vorraussetzung, dass der Targetrückstoß vernachlässigt werden kann. Für den Streuwinkel θ = 0 ergibt sich somit der größte Impulsübertrag.
Die Übergangsrate für p~i → p~f ist gegeben durch Fermis Goldene Regel
Wi→f
2π
2
=
|Mf i | ρf (E),
~
(2)
welche im wesentlichen das Produkt aus Übergangsmatrixelement Mf i und der Dichte der Endzustände bzw.
dem Entartungsgrad ρf (E) darstellt.
Der Entartungsgrad lässt sich ausdrücken durch den
Quotienten aus der differenziellen Anzahl der Phasenraumzustände dn pro Energieintervall dE, wobei dir Anzahl der Zustände ausgedrückt werden können durch das
Volumen mal der Zahl der Zustände im Impulsraum. Es
ergibt sich also
dn(E)
V 4 πp2 dp
ρf (E) =
=
,
p
dp
dE
(2π~)3 m
(3)
p
m dp ersetzt
p2
2m ergibt.
wurde, was sich aus
der Ableitung von E =
Betrachten wir nun das Übergangsmatrixelement
2
|Mf i | , was in der Quantenmechanik durch die Projektion des Anfangszustands |i > auf den der HamiltonOperator Ĥ = zeΦ(r)(potentiellen Energie im CoulombFeld) wirkt, auf den Endzustand < f | gegeben ist.
Verwenden wir nun die Bornsche-Näherung, was im
wesentlichen Störungstheorie 1. Ordnung entspricht. In
diesem Fall gehen wir davon aus, dass die Wellenfunktion des Anfangs und Endzustands durch eine freie Welle
~
~ beschrieΨi/f =< ~r|i >= √1V eiki/f ·~r mit pi/f
~ = ~ki/f
ben wird, was bedeutet, dass das Potential weit weg vom
Wechselwirkungspunkt vernachlässigbar ist und als konstant angesehen wird. Führt man das Skalarprodukt aus,
so erhalten wir mit ~k = k~i − k~f
Mf i = < f |Ĥ|i >
Z
1
~
~
=
d3 re−ikf ~r zeΦ(r)eiki ~r
V
Z
1
~
d3 reik~r zeΦ(r)
=
V
(4)
(5)
(6)
Führt man nun das elektrisch Potential ∆Φ = − ρ0
2
~
~
und das Hilfspotential Ψ(r) = − ~q2 eik~r ⇒ ∆Ψ = eik~r
ein, so können wir die Greensche-Identität verwenden,
wobei wir damit annehmen, dass die beteiligten Felder
im Unendlichen gegen Null gehen.
Mf i =
ze
V
Z
d3 r Φ∆Ψ =
ze
V
Z
d3 r Ψ∆Φ
(7)
Es ergibt sich also
Mf i
Z
ze ~2
ρ(~r)
~
=
(− 2 ) d3 r eik~r (−
)
V
q
0
Z
zZe~2
~
d3 r eik~r f (~r)
=
V 0 q 2
(8)
(9)
r)
Wobei f (~r) = ρ(~
Zze die auf die Gesamtladung normierte
Ladungsverteilung ist. Nun können wir den Formfaktor
als Fouriertransformierte der Ladungsverteilung definieren:
Z
F (~q) =
~
d3 r eik~r f (~r)
(10)
Mithilfe dieser zahlreichen Vorüberlegungen können
wir nun endlich den Wirkungsquerschnitt ausrechnen,
p
der ja als Rate Wi→f pro Stromdichte j = mV
definiert
ist. Und wir erhalten nach Einsetzen aller bisher hergeleiteten Größen:
dσ Wi→f
zZe2 m 2
1
=
=(
) ·
· F 2 (~q)
dΩ 2
4πj
4π0 p
4 sin4 ( θ2 )
(11)
3
Was genau dem Ergebnis entspricht, was wir auch klassisch hergeleitet haben, sofern wir eine Delta-förmige Ladungsverteilung f (~r) = δ(~r) annehmen, deren Fouriertransformierte ja konstant ist F (~q) = 1.
das ganze Spektrum von q erlaubt wäre. q ist aber durch
die maximale Strahl-Energie begrenzt.
1.
3.
Der Mott-Wirkungsquerschnitt
Bisher wurden jegliche relativistische Effekte vernachlässigt. Führt man die konkrete Lösung der DiracGleichung durch, so muss man auch Spin-Effekte berücksichtigen. Der Mott-Wirkungsquerschnitt stellt eine Erweiterung des Rutherford-Wirkungsquerschnitts dar.
(
Formfaktoren von Kernen
θ
dσ
dσ ∗
)
= ( )Rutherf ord · (1 − β sin2 )
dΩ M ott
dΩ
2
(12)
Das Sternchen ∗ soll andeuten, dass der Targetrückstoß
noch nicht berücksichtigt wurde. Für den Fall dass die
Projektilgeschwindigkeit sehr nahe an der Lichtgeschwindigkeit ist also β = vc ≈ 1 erhält man, dass die Helizität
·~
p
h = |~s~s|·|~
p| erhalten ist, was bedeutet, dass sich die Projektion des Spins auf den Impuls des Teilchens bei der
Streuung nicht ändern darf. Das heißt, dass Rückstreuung nicht erlaubt ist, sofern das Target keinen Spin hat.
In diesem Grenzfall für hohe Geschwindigkeiten spiegelt
sich diese Tatsache auch im Mott-Wirkungsquerschnitt
dσ ∗
)M ott ∝ cos2 θ2 .
wieder. Dieser ist nämlich dann ( dΩ
B.
Formfaktoren
Im Experiment misst man bei größeren Projektilenergien systematisch kleinere Wirkungsquerschnitte, als
man sie durch den Mott-Wirkungsquerschnitt erwartet
hätte. Dies liegt daran, dass die Wellenlänge des virtuellen Photons aufgrund des größeren Impulsübertrags nun
klein genug ist, um die Ladungsverteilung des Targets
aufzulösen und somit der Formfaktor
Z
~
F (~q) =
d3 r · eik~r · f (~r)
(13)
ρ(~r)
Ze
~q = p~ − p~0 = ~~k
f (~r) =
(14)
(15)
eine größere Rolle spielt. Experimentell bestimmt man
den Formfaktor durch Messung des Wirkungsquerschnitts, indem man die gemessenen Raten durch die vordσ
( dΩ
)exp
2
hergesagten teilt: ( dσ
= |F (|~q|)| .
dΩ )M ott
Bei der Bestimmung der Ladungsverteilung ergeben
sich aber zwei prinzipiell nicht vermeidbare systematische
Probleme. Zunächst ist es aufgrund der Geometrie der
Versuchsanordnung nur möglich eine Aussage über kugelsymetrische Ladungsverteilung zu machen. Ausserdem
ist die Interpretation des Formfaktors als Fouriertransformierte der Ladungsverteilung nicht gültig, da dies nur für
Die Ladungsverteilung von Kernen ist Theoretisch gegeben durch die Fermiverteilung
ρ(r) ∝
1
.
1 + e(r−c)/a
(16)
Für den theoretischen Ansatz für den Formfaktor wird
meistens das Helm-Modell verwendet, was die Ladungsverteilung im wesentlichen als eine Faltung von einer homogenen Kugel und einer Gauß-Kurve ansieht. Die Formfaktoren, die sich daraus ergeben entsprechen dann einer mit konstanter Frequenz oszillierender und exponentiell abfallender Verteilung, aus deren Minima man erste
Abschätzungen über den Radius des Betrachteten Objekts machen kann, indem man die vermutete Ladungsverteilung einer homogenen Kugel Fouriertransformiert,
das Minimum bildet und mit dem ersten Minimum der
gemessenen Verteilung vergleicht.
Im allgemeinen hat man bei Messungen folgende
Eigenschaften bei Kernen gefunden: Ausgehend vom
Tröpfchen-Modell, was den Kern als homogene Kugel
ansieht findet man eine Nukleonendichte, die ρN ≈
0.17 N ukleonen/f m3 beträgt. Der Radius dieser Kugel ist abhängig von der Massenzahl A des Kerns R =
1.21 · A1/3 f m. Dass das Tröpfchen-Modell nicht die
Wahrheit repräsentiert, da Kerne im Allgemeinen keine
Kugeln sind sondern eine viel diffusere Ladungsverteilung
aufweisen, zeigt die Eigenschaft, dass die Ladungsdichte
im allgemeinen schon bei 1.07 · A1/3 f m auf die Hälfte
abgefallen ist.
2.
Formfaktoren von Nukleonen
Da bei der Untersuchung von Nukleonen die Masse des
Targets (MN ≈ 938M eV /c2 ) in der gleichen Größenordnung ist, wie die Energie des Projektils müssen wir nun
den Rückstoß des Projektils berücksichtigen und unseren
Wirkungsquerschnitt entsprechend korrigieren (E: Energie des einlaufenden Teilchens, E 0 : Energie des gestreuten
Teilchens):
(
dσ
dσ
E0
)M ott = ( )∗M ott ·
dΩ
dΩ
E
(17)
Ausserdem müssen wir nun den Viererimpulsübert0
rag q 2 = −Q2 = (p − p0 )2 ≈ −4EE
sin2 θ2 verwenden.
c2
In diesem Fall findet man für ein Spin-1/2-Teilchen die
Rosenbluth-Formel
4
als Achsenabschnitt und mit 2τ G2M (Q2 )
1.6
1
0.8
0.6
1
2
3
Q / (GeV/c)
4
5
6
0
1
2
3
Q / (GeV/c)
1.6
total
smooth
polarisation data
0.14
0.1
0.08
0.06
4
5
6
total
smooth
Kubon et al.
Xu et al.
Anklin2 et al.
Anklin1 et al.
Lung et al.
Rock et al.
1.4
0.12
1.2
1
0.8
0.04
0.6
0
0.4
0
Der genaueste bisher auf diese Weise bestimmte Wert
für
√ den mittleren quadratischen Ladungsradius ist
< r2 > = 0.862 f m.
Präzise Vermessung der Formfaktoren
4
5
6
0
1
2
3
Q / (GeV/c)
4
0.1
0.05
0.1
total-smooth
Simon et al.
Price et al.
Berger et al.
Hanson et al.
polarisation data
6
0.05
0
-0.05
-0.1
0.001
total - smooth
Hoehler et al.
Janssens et al.
Berger et al.
Bartel et al.
Walker et al.
Litt
et al.
Andivahis et al.
Sill
et al.
0
-0.05
0.01
0.1
1
-0.1
0.001
10
0.01
Q2 / (GeV/c)2
0.1
0.08
0.1
1
10
Q2 / (GeV/c)2
0.1
total - smooth
polarization data
0.06
total - smooth
Kubon et al.
Xu et al.
Anklin2 et al.
Anklin1 et al.
Lung et al.
Rock et al.
0.05
0.04
0.02
0
-0.02
0
-0.05
-0.04
-0.06
-0.08
0.001
0.01
0.1
Q2 / (GeV/c)2
1
10
-0.1
0.001
0.01
0.1
Q2 / (GeV/c)2
Abbildung 4: Vergrößerte Ansicht
Geht man davon aus, dass die Ladungsverteilung eines Nukleons exponentiell mit dem Radius abfällt ρ(r) =
5
Mithilfe der Spektrometeranlage der Arbeitsgruppe A1
sollen die Formfaktoren der Nukleonen noch einmal vermessen werden. Wobei hier besonders auf den Bereich für
kleine Impulsüberträge Q geachtet werden soll, wo sich
die beiden Gauß-Kurven befinden (in Abbildung 4 noch
einmal größer dargestellt), von denen noch nicht ganz
verstanden ist, woher sie kommen.
GMP-GMP,phaen.
Diesen kann man aus dem Formfaktor erhalten, indem man eine Taylor-Entwicklung der e-Funktion in
derRFouriertransformation vornimmt und die Normierung
∞
4π 0 f (r)r2 dr = 1 verwendet :
Z
∞
X
1 i |~q| |~r| · cos θ n
F (~q2 ) =
f (r)
(
) dφ d(cos θ) r2 dr
n!
~
3
R
n=0
Z ∞
Z
4π~q2 ∞
= 4π
f (r)r2 dr −
f (r)r4 dr + . . .
2
6~
0
0
1 ~q2 < r2 >
= 1−
+ ...
(21)
6
~
wenn man nun noch nach dem Radius umstellt erhält
man
dF (~q2 )
< r2 >= −6~2
|q2 =0
(22)
d~q2
3
Q / (GeV/c)
GMN-GMN,phaen.
0
2
Dieser phänomenologische Ansatz entspricht der
Durchgezogenen Linie in den Plots der Abbildung 3
GEP-GEP,phaen.
Um ein Maß für den Radius eines sehr diffusen Objektes wir einem Nukleon nennen zu können definiert man
den quadratischen Ladungsradius
Z ∞
2
< r >= 4π
r2 f (r) r2 dr
(20)
1
Abbildung 3: Weltdaten für die Formfaktoren des Nukleons
normiert auf den Dipol-Fit
GEN-GEN,phaen.
EXPERIMENTELLE BESTIMMUNG DER
FORMFAKTOREN AM MAMI
A.
1
0.8
0.4
0
0.02
III.
1.2
0.6
0.4
als Steigung.
total
smooth
Hoehler et al.
Janssens et al.
Berger et al.
Bartel et al.
Walker et al.
Litt
et al.
Andivahis et al.
Sill
et al.
1.4
GMP/(µpGdipole)
1.2
GEP/Gdipole
1.6
total
smooth
Simon et al.
Price et al.
Berger et al.
Hanson et al.
polarisation data
1.4
GMN/(µnGdipole)
G2E (Q2 )+τ G2M (Q2 )
1+τ
In der Praxis stellt sich allerdings heraus, dass der
Dipol-Fit nicht die Realität beschreibt. Deshalb wird zunehmend ein phänomenologischer Ansatz verwendet, der
im wesentlichen einem Doppel-Dipol mit zwei superponierten Gauß-Funktionen entspricht.
GEN
dσ
dσ
) = ( )M ott ·
(18)
dΩ
dΩ
G2 (Q2 ) + τ G2M (Q2 )
θ
[ E
+ 2τ G2M (Q2 ) tan2 ],
1+τ
2
Q2
,
(19)
τ =
4M 2 c2
mit dem elektrischen Formfaktor GE und dem magnetischen Formfaktor GM . Man sieht sehr schön, dass
die Rosenbluth-Formel der allgemeine Fall des MottWirkungsquerschnitts für Kerne ist, da bei Kernen die
Masse M sehr groß gegen den Impulsübertrag Q ist und
somit τ gegen null geht, was dazu führt, dass der Magnetische Formfaktor GM nicht mehr in den Wirkungsquerschnitt eingeht.
Im Experiment kann man GE und GM durch die
sog. Rosenbluth-Separation bestimmen. Hierbei Misst
man den Wirkungsquerschnitt bei konstantem Impulsübertrag Q und trägt dann den Wirkungsquerschnitt
über tan2 θ2 auf. Man erhält dann eine Gerade mit
(
ρ(0) · e−ar ,
mit a ≈ 4 f m−1 , so ergibt die Fouriertransformation
einen Dipol GM/E ∝ (1 + Q2 )−2 , der im allgemeinen an
die gemessenen Werte für GM von Proton und Neutron
und GE des Protons angefittet wird.
1
10