Theoretische Thermodynamik und Elektrodynamik 2. Präsenz

Theoretische Thermodynamik und Elektrodynamik
2. Präsenz- und Hausübung – 26.10.06
2.1 Einfache Ladungsverteilungen:
(aus: Herbst 2000, Thema Nr.2, Aufgaben 1+2 Herbst 2002, Thema Nr.2, Aufgaben
3+4, Frühjahr 2005, B2 )
Betrachtet werden folgende Ladungsverteilungen:
a) Eine (1-dimensionale) linienförmige Ladungsverteilung
ρ(~r) = ρ1 δ(x)δ(y),
b) eine (2-dimensionale) flächenhafte Ladungsverteilung
ρ(~r) = ρ2 δ(z),
c) eine (3-dimensionale) zylinderförmige Ladungsverteilung
ρ(~r) =
(
ρ0
0
für
für
x2 + y 2 < R2
x2 + y 2 > R2
d) und eine homogen geladene Kugel mit Radius R und Ladungsdichte ρ0 .
Berechnen Sie jeweils
~ r) unter Verwendung eines dem Problem angepassten Voi) das elektrische Feld E(~
lumens. Bei c) und d) sowohl für den Innen- als auch Außenbereich der Ladungsverteilung.
ii) das zugehörige elektrische Potential φ(~r), wobei φ(~r) im Fall a) bei r0 , für b) bei
z = 0, sowie bei c) auf der Zylinderachse und bei d) im Unendlichen, verschwinden
soll.
2.2 Mittleres Potential (Herbst 2004, B 2):
Eine lokalisierte, statische Ladungsverteilung erzeuge das Potential φ(~r).
a) Wie lässt sich das Potential φ(~r) in Integralform durch die Ladungsdichte ρ(~r)
darstellen?
b) Wir beschränken uns nun auf ein Teilgebiet des Raumes, das ladungsfrei ist.
Zeigen Sie, dass dann gilt: Der Mittelwert von φ(~r) über eine Kugeloberfläche ist
gleich dem Wert vom φ(~r) im Kugelmittelpunkt.
HINWEIS: Die Winkelintegration kann mit Hilfe des Integrals
Z
dx √
2√
1
=
a + bx + const.
b
a + bx
ausgeführt werden.
c) Ist es möglich, ein geladenes Teilchen in elektrostatischen Feldern im Vakuum in
eine stabile Gleichgewichtslage zu bringen? Begründen Sie Ihre Antwort mit Hilfe
von Teilaufgabe b).
1
2.3 Hohlleiter (Frühjahr 2005, B1):
Gegeben sei ein von ideal leitenden, metallischen Wänden begrenzter, unendlich langer Hohlleiter quadratischen Querschnitts (innere Querschnittsfläche a2 , Wände bei
x = 0, x = a, y = 0, y = a). Die Achse des Hohlleiters zeige in z-Richtung. Im Inneren
des Hohlleiters herrsche Vakuum.
Im Folgenden soll die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im Inneren des Hohlleiters untersucht werden.
a) Wie lauten die Maxwell-Gleichungen im ladungs- und stromfreien Vakuum?
b) An ideal leitenden, metallischen Oberflächen gilt die Randbedingung verschwindender Parallelkomponenten des elektrischen Feldes. Begründen Sie diese Randbedingung.
~ = (Ex , Ey , Ez ) habe im Inneren des Hohlleiters die Form
c) Das elektrische Felfd E
Ex (x, y, z, t) = E0 sin
πy
cos(kz − ωt),
a
Ey = Ez = 0 .
Wie groß ist die Ladungsdichte im Inneren des Hohlleiters?
d) Berechnen Sie unter Benutzung der Maxwell-Gleichungen die Zeitableitung der
orts- und zeitabhängigen magnetischen Induktion
∂ ~
B(x, y, z, t)
∂t
im Inneren des Hohlleiters.
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