6. ¨Ubungsblatt Theoretische Physik im Querschnitt

LMU München
Lehrstuhl für Theoretische Nanophysik
Vorlesung: Dr. F. Heidrich-Meisner
Übungsgruppe: Robert Bamler
Sommersemester 2011
Abgabe: 21.06.2011
Besprechung: 22.06.2011
6. Übungsblatt Theoretische Physik im Querschnitt
16.06.2011
Aufgabe 1: Hohlleiter
Gegeben sei ein von ideal leitenden (σ → ∞) metallischen
Wänden begrenzter, unendlich langer Hohlleiter quadratischen
Querschnitts (innere Querschnittsfläche a2 ). Im Inneren des Hohlleiters herrsche Vakuum. Die Achse des Hohlleiters zeige in zRichtung.
Nebenstehende Skizze zeigt einen Querschnitt durch den Hohlleiter und definiert das Koordinatensystem. Im Folgenden soll die
Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im Inneren des Hohlleiters untersucht werden.
a) Wie lauten die Maxwell-Gleichungen im ladungs- und stromfreien Vakuum?
b) An ideal leitenden, metallischen Oberflächen gilt die Randbedingung verschwindender
Parallelkomponente des elektrischen Feldes. Begründen Sie diese Randbedingung.
c) Das elektrische Feld, E = (Ex , Ey , Ez ), habe im Inneren des Hohlleiters die Form
Ex (x, y, z) = E0 sin
πy
cos(kz − ωt),
a
Ey = Ez = 0.
Wie groß ist die Ladungsdichte im Inneren des Hohlleiters?
d) Berechnen Sie unter Benutzung der Maxwell-Gleichungen die Zeitableitung der ortsund zeitabhängigen magnetischen Induktion
∂
B(x, y, z, t)
∂t
im Inneren des Hohlleiters.
Aufgabe 2: Reflexion
Die Ebene x = 0 sei die Grenzfläche zwischen dem Vakuum (Halbraum x < 0) und einem Dielektrikum (Halb√
raum x > 0) mit konstantem Brechungsindex n = > 1
und Permeabilität µ = µ0 . Ein in x-Richtung einfallender
Lichtstrahl (monochromatische ebene Welle) mit Frequenz
ω, Wellenzahl k = êx k und elektrischem Feld E = êy E
treffe aus dem Vakuum senkrecht auf die Grenzfläche.
Die elektrischen und magnetischen Felder der einfallenden
Welle (E, B), der transmittierten Welle (E 0 , B 0 ) und der reflektierten Welle (E 00 , B 00 ) können
geschrieben werden als
E(r, t) = êy E0 ei(kx−ωt) ,
E 0 (r, t) = êy E00 ei(nkx−ωt) ,
E 00 (r, t) = êy E000 ei(−kx−ωt) ,
B(r, t) = êz B0 ei(kx−ωt) ,
B 0 (r, t) = êz B00 ei(nkx−ωt) ,
B 00 (r, t) = êz B000 ei(−kx−ωt) .
∂
a) Benutzen Sie das Induktionsgesetz ∇ × E = − ∂t
B, um den Zusammenhang zwischen
0
0
00
00
E0 und B0 (E0 und B0 , E0 und B0 ) herzuleiten.
b) Berechnen Sie die Amplituden der transmittierten Welle E00 und der reflektierten Welle
E000 als Funktionen von n und E0 .
Hinweis: Für die vorgegebene Geometrie sind die elektrischen und magnetischen Felder
beide stetig and der Grenzfläche.
c) Sind die elektrischen Felder der einfallenden und reflektierten Wellen parallel oder antiparallel zueinander?
d) Die Intensitäten der einfallenden, transmittierten und reflektierten Wellen können wie
folgt durch die entsprechenden Energiestromdichten ausgedrückt werden:
I=
1
|E × B ∗ |,
2µ0
I0 =
1
|E 0 × B 0∗ |,
2µ0
I 00 =
1
|E 00 × B 00∗ |.
2µ0
Berechnen Sie T = I 0 /I und R = I 00 /I, d.h. die transmittierte bzw. reflektierte Intensität
bezogen auf die einfallende Intensität.
e) Was muss für R + T gelten und warum? Überprüfen Sie diese Beziehung mit dem
Ergebnis von d).