Elektrodynamik (T3p)

Zentralübung zur Vorlesung
Elektrodynamik (T3p)
SoSe 2015
Blatt 5
Aufgabe 1: Hohlleiter (Staatsexamen Frühjahr 2005)
Gegeben sei ein von ideal leitenden (σ → ∞), metallischen Wänden begrenzter, unendlich langer
Hohlleiter quadratischen Querschnitts (innere Querschnittsfläche a2 ). Im Inneren des Hohlleiters
herrsche Vakuum. Die Achse des Hohlleiters zeige in z-Richtung.
Untenstehende Skizze zeigt einen Querschnitt durch den Hohlleiter und definiert das Koordinatensystem. Im Folgenden soll die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im Inneren des Hohlleiters
untersucht werden.
a) Wie lauten die Maxwell-Gleichungen im ladungs- und stromfreien Vakuum?
(4 Punkte)
b) An ideal leitenden, metallischen Oberflächen gilt die Randbedingung verschwindender Parallelkomponenten des elektrischen Feldes. Begründen Sie diese Randbedingung.
(6 Punkte)
~ = (Ex , Ey , Ez ), habe im Inneren des Hohlleiters die Form
c) Das elektrische Feld, E
πy Ex (x, y, z, t) = E0 sin
cos(kz − ωt), Ey = Ez = 0.
a
Wie großist die Ladungdichte im Inneren des Hohlleiters?
(6 Punkte)
d) Berechnen Sie unter Benutzung der Maxwell-Gleichungen die Zeitableitung
~
∂t B(x,
y, z, t)
der orts- und zeitabhängigen magnetischen Induktion im Inneren des Hohlleiters.
(9 Punkte)
1
Aufgabe 2: Elektromagnetische Wellen (Staatsexamen Frühjahr
2006)
Es sollen elektromagnetische Wellen in einem isotropen, homogenen Material mit dem MaxwellGleichungen
~ ·E
~ =0
0 ∇
~ ·B
~ =0
∇
~ ×E
~ = −∂t B
~
∇
~ ×B
~ = µµ0 0 ∂t E
~ + ~j
∇
~ mit der
betrachtet werden. Hierbei ist ~j die Stromdichte, die dem Ohm’schen Gesetz ~j = σ E
elektrischen Leitfähigkeit σ genüge, welche im Allgemeinen komplex und frequenzzabhängig sei.
Ferner seien keine freien Ladungen vorhanden.
a) Zeigen Sie, dass die zeitabhängigen Maxwell-Gleichungen ebene Wellen der Form
~ =B
~ 0 exp[i(~k · ~r − ωt)]
B
~ =E
~ 0 exp[i(~k · ~r − ωt)]
E
als Lösungen besitzen.
(5 Punkte)
~ 0 und
b) Zeigen Sie, dass es sich um transversale Wellen handelt. Welchen Winkel schließen E
~
B0 ein?
(5 Punkte)
c) Welche Dispersionsrelation ω = ω(~k) ergibt sich für Isolatoren (σ = 0)? Was ergibt sich für
Phasen- und Gruppengeschwindigkeit?
(6 Punkte)
d) Welche Dispersionsrelation k 2 = k 2 (ω) ergibt sich, wenn σ(ω) die Form
σ=
σ0
1 − iωτ
besitzt? Mit welcher Potenz von ω skaliert der komplexe Brechungsindex im Grenzfall ω → 0?
(9 Punkte)
Hinweis: Für den Brechungsindex n gilt
k 2 = n2
ω2
c2
Bei Fragen E-Mail an: [email protected]
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