Einheit 10: Rechteck-Hohlleiter und Rechteck

Einheit 10:
Rechteck-Hohlleiter und RechteckResonator
Theorie
Der zunächst etwas furchterregende Begriff des Hohlleiters beschreibt anschaulich nichts weiter als ein Rohr
konstanten Querschnitts, das eine sehr gut (und für
entschieden einfachere Betrachtung ideal) leitende Wand
hat. Technisch verbreitet sind vor allem Rechteck- und
Rund-Hohlleiter. Wir beschränken uns auf erstere. Zum
Rechteck-Resonator wird ein solches Rohr durch zusätzliche Wände senkrecht im Rohr, es entsteht also ein
ideal leitend berandeter Quader. Es führt bereits zu hinreichenden Komplikationen, und es ist der technisch
verbreitetste Fall, betrachtet man lediglich eine homogene Materialfüllung mit ε und μ, die gänzlich ladungsund verlustfrei ist, weswegen wir uns darauf beschränken.
Aus den Maxwell-Gleichungen folgt (vgl. A_10_1a) unter
diesen Bedingungen eine dreidimensionale homogene
Wellengleichung, die prinzipiell durch Variablenseparation gelöst werden kann. Die Betrachtung vereinfacht sich
etwas, wenn man den Wellencharakter der Felder in
Längsrichtung des Rohrs (üblicherweise der Koordinate
z-zugewiesen) bereits annimmt:
Die beiden Vorzeichen im Exponent der e-Funktionen
bedeuten Wellenausbreitung in negative (+) oder positive
(-) z-Richtung.
Es genügt allerdings nicht, die Wellen-/Helmholtzgleichung unabhängig für e und h zu lösen, da beide ja noch
zueinander konsistent die Maxwell-Gleichungen befriedigen müssen. Es ist nicht allzu schwierig, aber doch mit
etwas Schreibarbeit verbunden (vgl. A_10_1b), aus einer
komponentenweisen Auswertung (hier muß man es
wirklich mal machen) der beiden Rotations-Gleichungen
folgenden Zusammenhang abzuleiten:
Diese beiden Gleichungen sind in hohem Maße bemerkenswert: Erstens kann man offensichtlich bei bekannten
longitudinalen Feldkomponenten ez und hz alle weiteren
Komponenten durch direkte Differentiation gewinnen.
Zweitens bestehen aber bereits nichttriviale Lösungen,
wenn nur eines der beiden Longitudinalfelder ez und hz
existiert. Da dies von sehr fundamentaler Bedeutung ist beachte, daß bisher keinerlei Randbedingungen angewandt wurden -, hat sich für die Unterscheidung der
beiden Feldtypen eine spezielle Nomenklatur eingebürgert:
i) $ ez = 0: Transversal Elektrische (TE-) Felder (zum Teil
auch als H-Felder bezeichnet)
Dabei sind e und h noch dreikomponentige Felder. kz hat
die Bedeutung einer Wellenzahl in z-Richtung, ist also
mit der Wellenlänge im Hohlleiter gemäß
nacheinander für ez, hz auf zwei gewöhnliche Differentialgleichungen
zurückführen, wobei die Separationskonstanten kx und ky
den leicht zu merkenden „Wellenzahl-Pythagoras” vervollständigen:
Erst jetzt setzt man die konkrete Gestalt des Hohlleiterquerschnitts ein (was bedeutet, daß alles zuvor Beschriebene allgemeingültig ist) und findet (vgl. A_10_3d) bei
einem folgendermaßen beschriebenen Hohlleiterquerschnitt
im TM-Fall für ez:
und im TE-Fall für hz:
ii) $ hz = 0: Transversal Magnetische (TM-) Felder (zum
Teil auch als E-Felder bezeichnet)
Damit ist das Problem allerdings noch nicht vollständig
gelöst. Man muß nun zur Bestimmung von ez, hz zur
Helmholtz-Gleichung in A_10_1a zurückkehren. Sie läßt
sich durch einen zweidimensionalen Produktansatz
verknüpft, und unterscheidet sich von der Wellenzahl k0
im unbegrenzten Medium mit Lichtgeschwindigkeit c:
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Offensichtlich gibt es jeweils beliebig viele Lösungen, die
als Hohlleiter-Moden („Mode”=Schwingungsform) bezeichnet werden. Wegen des Wellenzahl-Pythagoras
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unterscheiden sie sich (in der Regel) nicht nur durch die
xy-abhängigen Felder, sondern auch durch das longitudinale Ausbreitungsmaß.
Insbesondere tritt für jede Mode bei zu kleiner Frequenz
der Fall auf, daß das Ausbreitungsmaß imaginär wird,
und die Felder longitudinal nicht mehr oszillieren, sondern exponentiell abklingen. Dies hat nichts mit einer
ohmschen Bedämpfung zu tun, sondern ergibt sich als
Lösung der Maxwell-Gleichungen! Die Frequenzgrenze
ist offensichtlich für jede Mode TMmn oder TEmn durch
Mit dem gegebenen Ansatz einer Welle folgt:
und das oben eingesetzt:
$
Im letzten Schritt wurde die gemeinsame Zeitabhängigkeit gekürzt.
gegeben.
$
Verwende nun nur die x- und y-Komponenten, kürze
wie gehabt die Exponentialausdrücke und sortiere die
verbleibenden vier Gleichungen folgendermaßen um:
$
Persönlich bevorzuge ich hier eine Matrix-Vektordarstellung:
$
aber man kann es auch als zwei Systeme von je zwei
Gleichungen mit je zwei Unbekannten auffassen. In
jedem Fall führt die Auflösung zu expliziten Ausdrücken für die transversalen Felder ex, ey, hx und hy in
Abhängigkeit von den longitudinalen Felder ez und
hz:
Lösungen
L_10_1)
a) $ Zeige, daß aus den Maxwell-Gleichungen mit den im
Theorie-Abschnitt beschriebenen Voraussetzungen
folgende zweidimensionale Helmholtz-Gleichung
entsteht:
b) (Zusatzaufgabe)
Maxwell:
Zeige durch komponentenweisen Auswertung der
beiden Rotations-Maxwell-Gleichungen die Ableitbarkeit der transversalen aus den longitudinalen
Feldkomponenten:
und analog:
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L_10_2)
Die longitudinale E-Feld-Komponente ez ist an allen
Seiten des Hohlleiters tangential und damit stetig
beim Übergang in das Material der Wand. Dieses ist
aber ideal leitfähig, also verschwinden alle elektrischen Felder. Folglich ist auch ez an den Innenseiten
null:
L_10_3)
a)$ Leite mit Hilfe der im Theorieteil angegebenen Beziehungen getrennt für den TE- und den TM-Fall Beziehungen zwischen den transversalen Feldern ex, ey, hx,
und hy und den longitudinalen Feldern ez und hz ab.
a)$ Führe die Separation der Helmholtz-Gleichung aus
Aufgabe A_10_1a) für ez und hz durch.
Das ist jetzt einfaches Einsetzen.
TE <=> ez = 0:
$
Durch Einsetzen in die allgemeine Lösung folgt:
$
Durch Multiplikation der beiden nun vollständig bestimmten Faktoren u und v erhält man ez(x,y). Die
beiden verbleibenden freien Konstanten lassen sich
zu einer zusammenfassen:
TM <=> hz = 0:
$
b)$ Bilde ferner für TE und TM die Quotienten ex/hy und
ey/hx. Bilde die Einheit beider Größen und gib eine
physikalische Interpretation.
Begründung: Die linke Seite ist eine reine Funktion
von x, die rechte nur von y. Wenn trotzdem die Gleichung immer erfüllt sein soll, müssen beide konstant
sein. Daß man die neu eingeführte Konstante nicht
einfach C sondern kx2 nennt, ist eine spezielle Form
von Altersweitsicht. Weiterhin gilt dann:
TE:
$
c)$ Führe im TE-Fall das hz-Feld auf geeignete Ausdrücke an den Rändern tangentialer elektrischer Felder
zurück. Warum kann eine direkte Randbedingung für
hz nicht gefunden werden? Zeige die Gültigkeit der in
der Theorie gebenen Ausdrücke für ez und hz.
Das longitudinale magnetische Feld hz springt an der
Hohlleiterwand um die Oberflächen-Stromdichte in
der Wand, und kann deswegen nicht wie zuvor ez
dort null gesetzt werden. Allerdings kennt man aus
A_10_2a Zusammenhänge zwischen Ableitungen von
hz und ex, ey:
Die Lösungen sind in beiden Fällen elementar:
TM:
Dimensionen:
Zwischen e und h gilt im Hohlleiter ein ortsunabhängiger Feldwellenwiderstand!
b)$ Welche Randbedingung gilt im TM-Fall für ez, wenn
der Querschnitt des Hohlleiters wie in der Theorie
beschrieben gegeben ist?
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ex, ey werden aber tangential zur Hohlleiterwand,
wenn gilt:
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c)$ In den Hohlleiter wird eine Leistung von 1 W eingestrahlt. Berechne die maximalen elektrischen und
magnetischen Feldstärken am Ort der Mikrobe. Welchem zeitlichen Abstand liegt zwischen E- und HMaximum während einer vollen Periode?
A_10_5)
$
Der Produktansatz aus a) führte für TE: hz(x,y) auf
eine Lösung gleicher Gestalt wie für TM: ez(x,y):
$
Dies muß man nach x bzw. y differenzieren, um die
oben gefundenen Randbedingungen einzusetzen:
Wie verändern sich bei gleichbleibenden Materialeigenschaften die Grenzfrequenzen, wenn beide Kanten eines
Hohlleiters um den Faktor α verkürzt werden? Was passiert mit der niedrigsten Grenzfrequenz, wenn nur die
kürzere Kante verkürzt wird? Wie ändern sich die Grenzfrequenzen, wenn statt Vakuum ein Material mit εr = 9
den Hohlleiter ausfüllt? Wie wirken sich obige Modifikationen auf den Wellenwiderstand aus?
A_10_6)
Es soll ein 400-MHz-Trägersignal durch einen RechteckHohlleiter übertragen werden. Ein Signal von 60 MHz
Bandbreite wird aufmoduliert. Berechne die zulässigen
Abmessungen, bei denen das Signal ausschließlich in der
TE10-Mode übertragen wird.
A_10_4)
Ein Rechteckhohlleiter mit den Kanten a = 120 mm,
b = 30 mm ist 50 cm lang. Auf der einen Seite befindet
sich eine reflexionsfreie Ankopplung an einen Sender,
auf der anderen ein reflexionsfreier Abschluß (was gar
nicht so einfach ist). In der Mitte des Hohlleiters befindet
sich eine Mikrobe.
a)$ Berechne die niedrigsten drei Grenzfrequenzen des
Hohlleiters! Wieviel Moden sind ausbreitungsfähig,
wenn die dritte Grenzfrequenz überschritten wurde?
Muß das immer so sein?
b) Das Sendesignal hat eine Frequenz von 2 GHz. Berechne, wie stark die TE20 und die TE30 - falls sie am
Hohlleiter-Eingang angeregt werden - bis zur Mitte
des Hohlleiters abgeklungen sind (Angabe linear und
in dB).
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