Einheit 5: Maxwell

Einheit 5: Maxwell-Gleichungen
L_05_3)
Lösungen
L_05_1)
Eselsbrücke: die vier Felder B, D, E, H in alphabetischer
Reihenfolge untereinander, davor zweimal div, zweimal
rot, rechte Seiten von oben nach unten in ansteigender
Komplexität: 0, ein Skalar (ρ), ein Vektorfeld, zwei Vektorfelder. Achtung: Zeitableitung und Lenzsche Regel
(“MINUS B Punkt!”) nicht vergessen !
"
Damit wird die Forderung an A erfüllt, wenn ein Skalarpotential φ gefunden wird, das obige PoissonGleichung erfüllt. Für diese ist aber immer eine Fundamentallösung gegeben (vgl. Elektrostatik).
d)" Sei A ein divergenzfreies Vektorpotential mit
B = rot A. In welcher Beziehung steht das elektrische
Feld E zu A im homogenen, ladungsfreien Raum?
Im ladungsfreien Raum ist die Stromdichte divergenzfrei,
hat also keine Quellen und Senken (Beispiel: Stromkreis).
L_05_2)
L_05_4)
a)" Zeige, daß die magnetische Flußdichte immer aus
einem Vektorpotential A abgeleitet werden kann:
(Obwohl A a priori nicht bekannt ist, hat man trotzdem so eine sehr viel speziellere Kenntnis von B.)
b)" Wie dürfen sich zwei Vektorpotentiale A’ und A’’ unterscheiden, wenn sie dennoch auf das selbe B-Feld
führen sollen?
"
E und die (negative) Zeitableitung von A unterscheiden sich also höchstens um den Gradient eines skalaren Felds ψ, das selbst der Laplace-Gleichung genügt. Im einfachsten Fall ist ψ null.
L_05_5)
a) An einem Punkt ohne Ladungsdichte kann kein elektrostatisches Feld existieren. ??
"
Die Unbestimmtheit von A um den Gradient eines
beliebigen Skalarfelds φ bezeichnet man als
Eichfreiheit. Man kann sie nutzen, um bestimmte
Eigenschaften von A zu fordern, z.B.:
c)" Ist es möglich, immer ein Vektorpotential A zu finden, das selbst divergenzfrei ist?
"
Falsch. Z.B. das Feld einer Punktladung erfüllt den
gesamten Raum.
b) Elektrische Felder lassen sich immer aus einem skalaren Potential ableiten. ??
Falsch. Nur wenn
also im statischen Fall.
,
c)" Die magnetische Feldstärke ist immer
divergenzfrei. ??
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Falsch. Die magnetische Flußdichte B ist immer divergenzfrei, aber:
"
"
Ist B hingegen zeitabhängig, so wird ein elektrisches
Feld induziert, das der Ladung eine Geschwindigkeitskomponente in Feldrichtung verleiht, wodurch es
Energie gewinnen (oder verlieren) kann.
"
Deswegen: zeitlich veränderlich - Richtig.
d)" Obwohl eine Stromdichte existiert, kann die Ladungsdichte null sein. ??
"
Richtig. Z.B. in einem metallischen Leiter, in dem ein
Strom fließt, der aber nach außen neutral ist.
e)" Feldlinien der magnetischen Flußdichte sind immer
geschlossen. ??
"
k)" In einen Raum wird kontinuierlich nur eine Welle einer Frequenz eingestrahlt. Unter keinen Umständen
können Felder anderer Frequenz entstehen. ??
Richtig. wg. div B = 0
f)" Feldlinien der elektrischen Feldstärke beginnen und
enden immer auf Ladungen. ??
"
Falsch. Gilt nur für elektrostatische Felder. Gegenbeispiel ρ = 0:
dann geschlossene E-Feldlinien.
strenggenommen: Falsch: Voraussetzung ist nichtlineares Verhalten, das z.B. von Materialien (vor allem
magnetischen) gezeigt wird:
g)" In einem idealen Leiter mit endlicher Permeabilität
kann kein zeitveränderliches Magnetfeld
exisitieren. ??
anderer nichtlinearer Mechanismus: Wechselwirkung
mit freien Ladungen
"
meistens aber: Richtig
Richtig. Idealer Leiter
E = 0
B also konstant.
"
(im Sinn eines weiter gefassten Begriffs der Elektrodynamik:) Richtig. Zum Beispiel elektrochemische,
piezoelektrische, thermoelektrische Effekte, Quantenphänomene ...
Richtig. Elektromagnetische Wellen (vgl. spätere Einheit)
i/j) Eine freie Ladung kann in einem Raum, in dem ein
statisches/zeitlich veränderliches Magnetfeld
herrscht, Energie gewinnen. ??
c)" eine statische Stromverteilung im konstant leitfähigen Erdreich, erzeugt durch zwei punktförmige Einspeisungen, angeschlossen mit praktisch widerstandsfreien Kabeln an eine Batterie
L_05_6)
a)" eine Gleichspannungsleitung, die in einer Hochspannungsanordnung so verlegt werden soll, daß es nirgendwo zu Überschlägen kommt
Statisch - Falsch:
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b) das Feld eines ruhenden Permanentmagneten
l)" Es gibt elektrodynamische Phänomene, die nicht allein von den Maxwell-Gleichungen (ergänzt durch die
Materialgleichungen und die Lorentzkraft) beschrieben werden. ??
h)" Auch im unendlich ausgedehnten strom- und ladungsfreien Vakuum lassen die Maxwell-Gleichungen
Felder ungleich null zu. ??
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Gleichspannung
Überschläge
betrachte maximales E;
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Das ist komplexer, als es zunächst aussieht. Betrachte Erdreich und Luft getrennt voneinander:
i) Erdreich:
"
Kommt ein Objekt hoher Leitfähigkeit hinzu, so gilt:
"
Es entsteht also im Objekt eine zusätzliche Stromverteilung (sog. Wirbelstrom), die ihrerseits ein im ganzen Raum ausgedehntes H1 erzeugt und folglich auch
ein überall vorhandenes E1 induziert, das sich wiederum auf die Stromverteilung im Objekt, als auch
auf die induzierte Spulenspannung U auswirkt.
"
In dem Beispiel soll auf die Eigenschaft eines “konzentrierten Bauelements” aufmerksam gemacht werden: Nach Definition gibt es in einer “konzentrierten”
Kapazität nur ein elektrisches, in einer “konzentrierten” Induktivät” nur ein magnetisches Feld. Dem
ohmschen Widerstand schreibt man die Eigenschaft
zu, Wirkleistung in Wärme umzusetzen, selbst aber
keine Energie zu speichern (trotzdem er einen
Stromfluß zuläßt). Das ist für niedrige Frequenzen
wie die hier vorliegende Resonanzfrequenz von
"
eine gute Näherung. Bei hohen Frequenzen verstärken sich aber mehrere Effekte:
"
i) In “Kapazitäten” entstehen Magnetfelder wegen
ii) Luft:
.
e) eine hochfrequente elektromagnetische Welle im Vakuum
"
ii) Der Anteil an elektrischer Feldenergie in “Induktivitäten” steigt - qualitativ beschrieben - wegen der mit
der Frequenz zunehmenden Spannungsdifferenz zwischen den Polen.
iii) Die in der Umgebung eines ohmschen Widerstands (und damit auch jeder realen Leitung) vorhandenen elektrischen und magnetischen Felder verursachen eine Blindkomponente der Impedanz.
"
iv) Durch die oszillierenden Ströme und Felder
kommt es zur Abstrahlung von elektromagnetischen
Wellen.
"
Deswegen ist eine Beschreibung durch konzentrierte
Bauelemente immer eine Näherung, der die Annahme
des Vorhandenseins nur bestimmter Felder in bestimmten Raumbereichen zugrunde liegt. Je höher
die Frequenzen, um so weniger ist diese Näherung
gerechtfertigt.
Insgesamt ein sehr angenehmer Fall:
d)" ein mit niederfrequenten harmonischen Stromsignalen I0 arbeitender induktiver Metalldetektor in der
Nähe eines gut leitfähigen Objekts
Ineinander Einsetzen liefert Wellengleichung, ...
f)" ein RLC-Serienschwingkreis aus konzentrierten Bauelementen (L = 0.1 mH, C = 400 μF, R = 0.01 Ω),
betrieben i) bei seiner Resonanzfrequenz und ii) bei
100 MHz
"
Am besten schrittweise aufbauen, zunächst ohne das
Objekt:
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