Grundlagen der Quantentheorie 1 Quantenmechanischer

Grundlagen der Quantentheorie
Franz Embacher
Institut fur Theoretische Physik
WS 2002/3
1 Quantenmechanischer Formalismus fur QubitSysteme
Qubit-Systeme stellen die \kleinsten" nichttrivialen Quantensysteme dar. Sie werden durch einen zweidimensionalen Hilbertraum beschrieben. Fur sie nehmen die
Grundzuge des quantenmechanischen Formalismus eine mathematisch recht einfache Form an.
Die im Folgenden mit * bezeichneten Abschnitte bezeichnen weiterfuhrende Themen
und konnen ohne Verlust des Zusammenhangs ubersprungen werden.
Hilbertraum
Die Quantenzustande eines Qubits werden durch zweidimensionale Vektoren mit
komplexen Komponenten, d.h. durch Objekte der Form1
a
b
j i
!
(1.1)
beschrieben, wobei a und b komplexe Zahlen sind. Die Menge all dieser Vektoren wird
als C2 bezeichnet. Auf ihr ist ein inneres Produkt (Skalarprodukt) deniert. Fur
zwei Elemente
!
!
a
c
j i = b ; ji = d
(1.2)
1 Wir verwenden hier die so genannte Diracsche \Bra-Ket-Schreibweise" (von englisch bracket
= Klammer), in der Zustandsvektoren als \Kets" j:::i geschrieben werden.
1
ist es durch
h ji = a c + b d
(1.3)
gegeben2 . Ist h ji = 0, so nennen wir j i und ji zueinander orthogonal. Weiters
hat das innere Produkt die Eigenschaft, dass
h j i = a a + b b jaj2 + jbj2
(1.4)
immer reell und 0 ist. Ein Vektor, fur den h j i = 1 ist, heit normiert. Das
innere Produkt ist nicht symmetrisch, sondern erfullt h ji = hj i.
Zweidimensionale komplexe Vektoren konnen komponentenweise addiert und mit
(komplexen) Skalaren multipliziert werden. Formal ausgedruckt ist C2 ein (komplexer) Vektorraum mit einem inneren Produkt { man spricht auch von einem Hilbertraum. Dieses mathematische Konzept lat sich in Form des Cn auf hohere
Dimensionen ausdehnen und (mit ein bisschen mehr Muhe) auch auf den unendlichdimensionalen Fall verallgemeinern. (Die Dimension des Hilbertraums, der einem quantenmechanischen System zugeordnet ist, kann etwas salopp als die \Zahl
der klassischen Zustande" bezeichnet werden. Daher ist etwa fur die Beschreibung
des Elektrons im elektrischen Feld eines Protons ein unendlichdimensionaler Hilbertraum notig).
In vielen quantenmechanischen Berechnungen tritt der komplexe Charakter der
Zustandsvektoren nicht augenfallig in Erscheinung. In diesen Fallen kann der Hilbertraum C2 wie der (mit dem ublichen Skalarprodukt ausgestattete) IR2 , die Menge
der reellen zweidimensionalen Vektoren, behandelt (und vorgestellt) werden.
h j, ein \Bra", kann verstanden werden als \bilde das innere Produkt mit j i".
Das ist aquivalent dazu, h j als den zu j i \hermitisch konjugierten" Zeilenvektor zu betrachten:
Ist j i durch (1.1) gegeben, so wird
2 Das Objekt
h j=
; a ;
b
deniert, wodurch das innere Produkt (1.3) als Multiplikation der entsprechenden Matrizen
;
h ji = a ;
b
c = ac + bd
d
dargestellt werden kann.
2
Zustande
Der Zustand eines Qubits wird durch ein normiertes Element des Hilbertraums
charakterisiert3, das wir als Zustandsvektor oder (in Anlehnung an die Bezeichnungweise bei groeren Systemen) als Wellenfunktion bezeichnen. Umgekehrt
beschreibt jedes Element des Hilbertraums einen moglichen Zustand des QubitSystems4 . Die Tatsache, dass die Zustandsvektoren in einem Vektorraum leben, wird
auch als Superpositionsprinzip bezeichnet. Sind j 1 i und j 2 i Zustandsvektoren,
so beschreibt jede Linearkombination5
c1j 1 i + c2j 2 i
(1.5)
nach entsprechender Normierung einen moglichen Zustand. Sind j 1i und j 2i zudem orthogonal zueinander, so stellen
j +i = p1 j 1i + j 2 i
(1.6)
2
(1.7)
j ;i = p12 j 1i ; j 2i
zwei Beispiele fur (normierte) Superpositionen dar. (U bungsaufgabe: Unter der Voraussetzung h 1j 1 i = h 2 j 2i = 1 und h 1 j 2i = 0 nachrechnen, dass h +j +i =
h ;j ;i = 1 und h +j ;i = 0 gilt!)
Messung
Betrachten wir eine Anordnung zur Messung6 einer physikalischen Groe des Systems. In einem Qubit-System sind lediglich zwei verschiedene Messresultate moglich
{ wir bezeichnen sie symbolisch als ~ und }. Sie konnen Zahlenwerten oder einfach
logischen Alternativen (\ja"/\nein") entsprechen { darauf kommt es zunachst nicht
an! Wichtig ist nun das folgende
3 Genau genommen gibt es einen allgemeineren Zustandbegri, den der gemischen Zustande.
Ein Zustand, der als Element des Hilbertraums dargestellt werden kann, heit reiner Zustand.
4 Um genau zu sein: zwei Zustandsvektoren, die durch Multiplikation mit einer Phase (d.h. einer
komplexen Zahl vom Betrag 1) auseinander hervorgehen, beschreiben denselben Zustand.
5 Dabei durfen c1 und c2 beliebige komplexe Zahlen sein, die nicht beide 0 sind.
6 Genau genommen sprechen wir hier von idealen oder von Neumann-Messungen. Es gibt einen
allgemeineren Begri von Messung, der mit dem unaussprechlichen Kurzel POVM bezeichnet wird.
3
Postulat 1: Jedem der beiden moglichen Messausgange wird ein Zustandsvektor zugeordnet. Die derart zugeordneten Zustandsvektoren sind zueinander
orthogonal.
Wir bezeichnen die beiden zugeordneten Vektoren als j~i und j}i. Als Zustandsvektoren sind sie normiert (h~j~i = h}j}i = 1), und die Bedingung der
Orthogonalitat verlangt, dass h~j}i = 0 ist. Mit anderen Worten: fj~i; j}ig ist
eine Orthonormalbasis des Hilbertraums { wir konnen sie Messbasis nennen. Die
Messanordnung wird durch sie charakterisiert.
Die Logik des quantenmechanischen Messprozesses wird dann folgendermaen
formalisiert:
Postulat 2: Ist das System im Zustand j i, so sind die Wahrscheinlichkeiten
fur die beiden Messausgange ~ und } durch
w~ = jh~j ij2
(1.8)
2
w} = jh}j ij
(1.9)
gegeben.
Postulat 3: In welchem Zustand das System nach der Messung7 ist, hangt
vom Ausgang der Messung ab:
{ War das Messresultat ~, so ist das System danach im Zustand j~i.
{ War das Messresultat }, so ist das System danach im Zustand j}i.
Wiederholte Messungen mit derselben Anordnung ergeben also immer dasselbe Resultat. Der ursprungliche Zustand j i ist \ausgeloscht". (Dieses \Ausgeloschtwerden" wird auch als Kollaps der Wellenfunktion bezeichnet).
Aus Postulat 2 folgt, welcher Art die beiden Zustande j~i und j}i sind: Ist das
System zu Beginn im Zustand j~i, d.h. ist j i = j~i, so ist w~ = jh~j~ij2 = 1
und w} = jh}j~ij2 = 0. In diesem Fall ergibt die Messung mit Sicherheit das
Resultat ~. Analog ist das Resultat immer }, wenn sich das System zu Beginn
im Zustand j}i bendet. Die beiden Zustandsvektoren j~i und j}i entsprechen
7 Diese Aussage wird auch als \Projektionspostulat" bezeichnet. Dabei wird angenommen, dass
das System durch die Messung nicht zerstort worden ist.
4
vorab feststehenden Messausgangen, und wir konnen sie als die Eigenzustande
der betreenden Messanordnung bezeichen8 .
Die ublichen Redeweisen uber den Messprozess muten auf den ersten Blick etwas unlogisch an: Eine Messung wird manchmal als Frage \Bist du im Zustand j~i
oder im Zustand j}i?" formuliert. Dabei ist aber wichtig, dass der Zustand j i des
Systems vor der Messung weder j~i noch j}i zu sein braucht. Wird ein System
etwa \im Zustand j~i gefunden", so ist damit gemeint, dass es nach der Messung im
Zustand j~i ist, d.h. dass das Messresultat ~ war. Das System wird durch die Messanordnung gezwungen, eine der beiden Alternative j~i oder j}i \auszuwahlen",
egal, in welchem Zustand es vorher war. Von j i hangen lediglich die Wahrscheinlichkeiten fur das Eintreten der beiden Alternativen ab.
Postulat 2, d.h. die Zuordnung der Wahrscheinlichkeiten (1.8) { (1.9), wird
manchmal auch in einer anderen Weise ausgedruckt: Wird der Zustandsvektor j i
in die Messbasis entwickelt,
j i = a j~i + b j}i ;
(1.10)
so konnen die hier auftretenden Koezienten als
a = h~j i; b = h}j i
(1.11)
bestimmt werden9 . Damit wird
w~ = jaj2; w} = jbj2 :
(1.12)
Wir erkennen daran, dass sich die Wahrscheinlichkeiten dank der Normierung von
j i { siehe (1.4) { zu 1 aufsummieren. Damit ist sichergestellt, dass die Zuschreibung
von Wahrscheinlichkeiten mathematisch konsistent ist10.
Es ergibt sich hier auch eine schone geometrische Interpretation: Wird davon
abgesehen, dass a und b komplex sind, so reduziert sich die Aussage a2 + b2 = 1 auf
8 Mathematische Erganzung: Die beiden Zustande sind die einzigen, fur die der Ausgang der
Messung bereits feststeht. Das lat sich leicht beweisen: Soll etwa ein j i gefunden werden, fur das
= 1 und w} = 0 ist, so sagt uns (1.9) sofort, dass j i zu j}i orthogonal ist. Da unser Hilbertraum zweidimensional ist, folgt, dass j i zu j~i parallel sein muss (d.h. bis auf einen Phasenfaktor
mit ihm ubereinstimmt).
9 Beweis: h~j i = ah~j~i + bh~j}i = a und h}j i = ah}j~i + bh}j}i = b, wobei die Orthonormalitat der Messbasis verwendet wird
10 Dieses Argument zeigt auch, warum die Quadrate in (1.8) { (1.9) bzw. (1.12) notwendig sind.
w~
5
den Pythagoraischen Lehrsatz fur die Komponenten eines Einheitsvektors im IR2.
Die Wahrscheinlichkeiten sind dann die Quadrate der Langen der Projektionen
von j i auf die Vektoren der Messbasis.
Sind beide Koezienten a und b ungleich 0, so besitzt der Zustandsvektor j i
gema (1.10) \Anteile" sowohl von j~i als auch von j}i, und der Messausgang ist
ungewiss. In diesem Fall spricht man von quantenmechanischer Unscharfe.
Standardbasis
Erinnern wir uns, dass die Elemente des Hilbertraums eines Qubit-Systems komplexe zweikomponentige Vektoren sind. Damit konnen wir eine Orthonormalbasis,
die sich zum Rechnen besonders gut eignet, auszeichnen, die so genannte Standardbasis:
!
!
1
0
j0i = 0 ; j1i = 1 :
(1.13)
Ein beliebiges Element des Hilbertraums kann leicht durch sie ausgedruckt werden:
!
a
j i = b = a j0i + b j1i:
(1.14)
Die Einfuhrung der Standardbasis erlaubt es, Elemente des Hilbertraums wahlweise
als \konkrete" zweikomponentige Vektoren oder als \abstrakte" Linearkombinationen der Standardbasis zu betrachten. Berechnungen (etwa von inneren Produkten11 )
konnen dann wahlweise in der Komponentenschreibweise oder durch Manipulation
der Objekte j0i und j1i ausgefuhrt werden, wobei im zweiten Fall lediglich die Orthonormalitat der Standardasis bedacht werden muss: h0j0i = h1j1i = 1, h0j1i = 0.
Wollen wir nun verschiedene Messanordnungen betrachten, so konnen wir deren
Eigenvektoren durch die Standardbasis ausdrucken. Wir bleiben bei unserer Notation, die beiden Messausgange und die zugeordneten Elemente der Messbasis mit den
Symbolen ~ und } zu bezeichnen, geben ihnen aber zur besseren Unterscheidbarkeit
zusatzliche Indizes. Wir wollen einige Beispiele betrachten:
11 Der zu (1.14) gehorende \Bra" ist h j = a h0j + b h1j, damit sich das innere Produkt (1.3)
durch einfaches Nebeneinanderschreiben eines \Bras" und eines \Kets" ergibt.
6
Eine Messung in der Standardbasis ist klarerweise durch das Paar
j~st i = j0i; j}st i = j1i
(1.15)
charakterisiert.
Ein Beispiel fur eine Messung in einer anderen Basis12 ist durch
j~H i = p1 j0i + j1i ; j}H i = p1 j0i ; j1i
(1.16)
2
2
deniert. Es wird in der Quanteninformation haug verwendet. Zusammen mit
(1.15) haben wir hier ein Modell fur zwei Messungen (genauer: zwei verschiedene Messanordnungen), die, wie oft formuliert wird, \einander ausschlieen":
Es gibt keinen Zustandsvektor, fur den sich die Ausgange beider Messungen
mit Sicherheit voraussagen lassen. Ist beispielsweise j i = j0i, so ist das Resultat der Messung (1.15) mit Sicherheit ~st , aber in der Messung (1.16) sind
die Wahrscheinlichkeiten fur beide moglichen Ausgange ungleich 0 (namlich
1=2).
Allgemeiner13 konnen wir die durch
j~ i = cos j0i + sin j1i;
j} i = sin j0i ; cos j1i
(1.17)
denierte Familie von Messbasen betrachten, wobei ein beliebiger Winkel ist.
(U bungsaufgabe: Nachrechnen, dass die beiden eine Orthonormalbasis bilden!
Wie konnen sie im Rahmen des IR2 geometrisch dargestellt werden?) Wird
von 0 weg erhoht, so ist bei = 180 die Ausgangssituation (bis auf eine
physikalisch irrelevante Vorzeichenumkehr des zweiten Basisvektors) wiederhergestellt. Bereits vorher, bei = 90, sind die Basisvektoren im Vergleich zu
= 0 (wieder bis auf ein irrelevantes Vorzeichen) lediglich vertauscht, wodurch
sich der physikalisch relevante Bereich als 0 < 90 (oder, wenn man lieber
will, als ;45 < 45) ergibt.
12 Sie geht aus der Standardbasis durch eine so genannte Hadamard-Transformation hervor, daher
der Index \H ".
13 Geometrisch ist es schoner, in (1.16) und (1.17) den jeweils zweiten Basisvektor in sein Negatives zu verwandeln, formal ist es schoner, die Formeln so zu belassen, wie sie hier stehen. Physikalisch
ist beides gleichwertig.
7
Als letztes Beispiel fur eine Messbasis erwahnen wir
j~ci = p12 j0i + ij1i ;
j}ci = p12 j0i ; ij1i :
(1.18)
Glucklicherweise kann man den quantenmechanischen Formalismus so aufbauen, dass derartige Superpositionen { die nicht-reelle Koezienten enthalten {
selten auftreten.
Was bedeutet was?
Was bedeuten diese mathematischen Objekte nun physikalisch? Das hangt vom
betrachteten System ab. Wir wollen drei Systeme erwahnen:
Abstraktes ElektronenSystem
Spin
Polarisation
des Photons
j0i
j "i (spin up)
j1i
j #i (spin down) jV i (vertikal polarisiert)
Messg i. d.
Standardb.
Atomares
System
jH i (horizontal polarisiert) Grundzustand
Stern-Gerlach
Polarisator
erster angeregter
Zustand
Messg. d.
Energie
Mathematisch gesehen konnen j0i j "i jH i und j1i j #i jV i identiziert
werden; die verschiedenen Bezeichnungen deuten lediglich an, ob an ein konkretes
physikalisches System gedacht wird und an welches. Bei der Identizierung konkreter
physikalischer Situationen konnen die Koordinaten-Achsen, auf die sich die Bezeichnungen \up", \down", \horizontal" und \vertikal" beziehen, frei gewahlt werden.
Von besonderem Interesse sind Messanordnungen, die nicht der Standardbasis
entsprechen. Die allgemeinste Messanordnung, deren Eigenbasis sich mit reellen Koezienten durch die Standardbasis ausdrucken lat, ist durch (1.17) gegeben. Fur
= 45 ergibt sich (1.16) als Spezialfall. Was bedeuten diese Basen physikalisch?
Das hangt wieder vom betrachteten System ab.
8
Elektronenspin:
Die Bezeichnungen \spin up" und \spin down" werden ublicherweise auf die
z-Achse bezogen. j "i reprasentiert einen Zustand, der in einem Stern-GerlachExperiment mit in positive z-Richtung weisendem Magnetfeld mit Sicherheit das
Resultat \Spinkomponente in Magnetfeldrichtung ist positiv" (h=2) ergibt, und
j #i reprasentiert einen Zustand, der im selben Experiment mit Sicherheit das
Resultat \Spinkomponente in Magnetfeldrichtung ist negativ" (;h =2) ergibt. Als
Messbasis (1.15) interpretiert, entspricht die Standardbasis also einer Stern-GerlachAnordnung mit in die positive z-Richtung weisendem Magnetfeld (d.h. der Messung
der z-Komponente des Spins).
Nun wahlen wir eine weitere, dazu orthogonale raumliche Richtung. U blicherweise wird dazu die x-Achse herangezogen (wobei es dann bequem ist, die raumliche
Bewegung des Elektrons in die y-Richtung zu legen). Die entsprechende Messbasis
(1.16) wird ublicherweise in der Form
j !i = p12 j "i + j #i ; j i = p12 j "i ; j #i
(1.19)
angeschrieben (wobei ~H mit ! und }H mit identiziert wird). Sie entspricht einer Stern-Gerlach-Anordnung mit in die positive x-Richtung weisendem Magnetfeld.
Die Verallgemeinerung dessen, die Basis (1.17), reprasentiert dann eine Messung mit
Magnetfeld in der xz-Ebene, und zwar um den Winkel = 2 von der z- hin zur
x-Richtung gedreht14 .
Nun konnen wir Wahrscheinlichkeiten fur Messresultate berechnen. Sei etwa das
System im Zustand j i = j "i prapariert. Wenn das Elektron in eine um den Winkel zur z-Achse verdrehte Stern-Gerlach-Apparatur geschickt wird { die dafur
zustandige Eigenbasis ist (1.17) mit = =2 {, so ist
die Wahrscheinlichkeit, die Spinkomponente in diese neue Richtung positiv zu
nden (Ergebnis ~ ) durch cos2(=2) und
die Wahrscheinlichkeit, die Spinkomponente negativ zu nden (Ergebnis } )
durch sin2 (=2) gegeben.
14 Man beachte den Faktor 2! Wird \im Hilbertraum um den Winkel gedreht", so entspricht das
einer Drehung der Messapparatur im pyhsikalischen Raum um den Winkel 2. Das hangt damit
zusammen, dass das Elektron ein Spin-1/2-Teilchen ist.
9
Fur = 90, was der Basis (1.19) entspricht, sind beide Wahrscheinlichkeiten gleich
1=2. Diese Ergebnisse sind die eigentliche Essenz des Spin-1/2-Systems.
Bei = 180 weist Magnetfeld in die negative z{Richtung, was einfach einer Vertauschung der Vektoren der Standardbasis entspricht. Das impliziert beispielsweise,
dass an einem Elektron im Zustand j "i bei umgedrehtem Magnetfeld mit Sicherheit eine negative Spin-Komponenten gemessen wird. Obwohl sich erst bei = 360
die Ausgangssituation wieder einstellt, ergibt sich ab = 180 nichts physikalisch
Neues.
Polarisation des Photons:
Die Bezeichnungen \horizontal" und \vertikal" werden auf eine beliebige Achse
bezogen, die orthogonal zur Bewegungsrichtung des Photons steht und bezeichnen
Polarisatorstellungen. Die Standardbasis bezieht sich auf einen horizontal gestellten
Polarisator: Im Zustand jH i kommt das Photon mit Sicherheit durch, im Zustand
jV i wird es mit Sicherheit absorbiert.
Der Polarisator darf nun in der zur Bewegungsrichtung orthogonalen Ebene gedreht werden (wobei ein Drehsinn als positiv festgelegt wird). Die Basis (1.16) entspricht dann einer Anordnung, in der die Polarisatorstellungen um 45 gedreht sind,
und die Basis (1.17) entspricht einer um den Winkel gedrehte Anordnung15 .
Nun konnen wir wieder Wahrscheinlichkeiten fur Messresultate berechnen. Ist
das System etwa im Zustand j i = jH i prapariert, und trit das Photon auf einen
um den Winkel gedrehten Polarisator, so ist
die Wahrscheinlichkeit furs Durchkommen (Ergebnis ~ ) durch cos2 und
die Wahrscheinlichkeit furs Absorbiertwerden (Ergebnis } ) durch sin2 gegeben. Fur = 45, was der Basis (1.16) { mathematisch auch (1.19) { entspricht,
sind beide Wahrscheinlichkeiten gleich 1=2. Diese Ergebnisse sind die eigentliche
Essenz des Polarisations-Systems. Sie konnen | ganz ohne mathematischen Formalismus { auch anders hergeleitet (oder zumindest motiviert) werden, und zwar
aus einer Verbindung des klassischen Elektromagnetismus fur Polarisatoren mit dem
15 Interessanterweise tritt hier { im Gesensatz zu den Spinmessungen am Elektron | kein Faktor
2 auf: Wird \im Hilbertraum um den Winkel gedreht", so entspricht das auch einer Drehung der
Mess-Apparatur im pyhsikalischen Raum um den Winkel . Das hangt damit zusammen, dass das
Photon ein Spin-1-Teilchen ist.
10
Photonenbegri und einem Schuss \Quantenhypothese". Fur Unterrichtszwecke ist
dieses System daher moglicherweise das geeignetste.
Fur = 90 ergibt sich gerade eine Vertauschung der Vektoren der Standardbasis.
Das impliziert beispielsweise, dass ein Photon im Zustand jH i mit Sicherheit von
einem vertikal gestellten Polarisator absorbiert wird. Obwohl sich erst bei = 180
die Ausgangssituation wieder einstellt, ergibt sich ab = 90 nichts physikalisch
Neues.
Atomares System:
Hier haben die Basen (1.16) und (1.17) keine anschauliche Bedeutung (sie sind ja
U berlagerungen von Zustanden mit verschiedener Energie) und konnen nicht durch
einfache Drehungen der Messapparatur realisiert werden.
Kurz zusammengefasst: die drei Systeme sind mathematisch aquivalent (sie werden ja durch einen einheitlichen \abstrakten" Formalismus beschrieben), die mathematischen Objekte konnen aber physikalisch verschieden interpretiert werden.
Grundsatzfragen lassen sich sehr schon am abstrakten Level diskutieren, wobei bei
Bedarf zur Illustration eines der konkreten Systeme herangezogen werden kann.
Observable und Operatoren
Observable sind Messgroen, die, klassisch betrachtet, konkrete (numerische)
Werte haben, wie zum Beispiel der Ort, der Impuls, die Spin-Komponente in zRichtung, die Spin-Komponente in x-Richtung, usw. Da Observable gemessen werden, konnen sie mit Messanordnungen identiziert werden. In einer klassischen Theorie ist diese Identizierung nicht so wichtig, da jede Observable einen bestimmten
(\scharfen", d.h. mit Sicherheit voraussagbaren) Wert hat, der als \objektive" Eigenschaft des Zustands, in dem sich das System bendet, interpretiert werden kann.
Eine Messung dient dann lediglich dazu, diesen (bereits vorher feststehenden) Wert
zu erfahren.
Wir besprechen nun zwei Konzepte: das der quantenmechanischen Observable
und das des einer Observable zugeordneten Operators.
Observable*:
11
In der Quantentheorie ist das, wie wir bereits formuliert haben, anders: das Verhalten unter einer Messung kann nur dann mit Sicherheit vorausgesagt werden, wenn
sich das System in einem Eigenzustand dieser Messung bendet. Wo stecken nun die
\Messgroen", von denen bisher nicht die Rede war, in unserem Formalismus? Im
Qubit-System ist diese Frage leicht beantwortet: Eine physikalische Observable entsteht, indem jedem moglichen Messausgang (~ und }) eine Zahl (der \Messwert")
zugeordnet wird.
Betrachten wir als Beispiel die Messung in der Standard-Basis (1.15):
Ist das Resultat der Messung ~st , so wollen wir ihr den Zahlenwert 1 zuordnen,
ist das Resultat der Messung }st , so wollen wir ihr den Zahlenwert ;1 zuordnen.
Diese Zuordnungen denieren eine Observable, die man ublicherweise als 3 bezeichnet. Anstatt zu sagen \Das Messresultat der Messung war ~st " konnen wir
auch sagen \Es wurde die Observable 3 gemessen, und das Resultat war 1".
Eine Observable (eines Qubit-Systems) ist daher nicht anderes als eine Messanordnung (dargestellt durch eine Messbasis) zusammen mit einer Belegung der
moglichen Messausgange mit Zahlenwerten. Auf die konkreten zugeordneten Zahlen
kommt es dabei nicht an { wichtig ist nur, dass sie voneinander verschieden sind.
Operatoren*:
Es gibt eine praktische Methode, die in einer Observable steckende Information in kompakter Form anzuschreiben. Nehmen wir das oben behandelte Beispiel
der Observablen 3 . Sie wird auf folgende Weise zu einem mathematischen Objekt
gemacht:
3 = j0ih0j ; j1ih1j :
(1.20)
Dieses Objekt lat sich nach einem simplen \Baukastensystem" auf Zustandvektoren
\anwenden". Beispielsweise ist16
3 j0i = j0ih0j0i ; j1ih1j0i = j0i
(1.21)
16 Das zeigt den praktischen Vorteil der Diracschen Bra-Ket-Schreibweise: Wann immer ein \Bra"
h:::j und ein \Ket" j:::i zusammenstoen, ist ein inneres Produkt gemeint. Ganz allgemein kann
3 j i f
ur jedes Element j i des Hilbertraums gebildet werden.
12
und
3 j1i = j0ih0j1i ; j1ih1j1i = ;j1i :
(1.22)
Es handelt sich hier um einen linearen Operator, und gema (1.21) und (1.22)
sind die Vektoren der Standardbasis seine Eigenvektoren (zu den Eigenwerten
1).
Alternativ zu (1.20) kann 3 in der Komponentenschreibweise auch als Matrix
3 = 10 ;01
!
(1.23)
angeschrieben werden. Seine Wirkung auf ein Element des Hilbertraums (wenn dieses
als komplexer zweikomponentiger Vektor aufgefasst wird) ist dann mit Hilfe der
Matrixmultiplikation zu ermitteln.
Im Elektron-System wird dieser Operator (bis auf einen Faktor) mit einer Komponente des Spins identiziert:
S3 = h2 3 = h2 (j0ih0j ; j1ih1j)
(1.24)
ist jener Operator, der die Observable \Spinkomponente in z-Richtung" darstellt.
Seine Eigenvektoren sind die Elemente der Standardbasis, und seine Eigenwerte
sind h =2, und das sind genau die moglichen Messwerte. In analoger Weise sind die
Operatoren
1 = j0ih1j + j1ih0j
(1.25)
2 = i (j1ih0j ; j0ih1j)
(1.26)
fur die Spinkomponenten in x und y-Richtung zustandig, und ihre Matrizendarstellungen lauten
1 =
2 =
!
0 1
1 0
!
0 i :
;i 0
(1.27)
(1.28)
(1.23) und (1.27) { (1.28) sind die Paulischen Spinmatrizen, und sie werden auch
als x , y und z bezeichnet. Es lat sich leicht nachrechnen, dass die Elemente der
Messbasis (1.16) { mathematisch dasselbe wie (1.19) { Eigenvektoren von 1 (zu
13
den Eigenwerten 1) sind. (U bungsaufgabe!) Der Operator fur die Messung der
Spinkomponente in eine beliebige raumliche Richtung ~n (mit ~n2 = 1) ist durch
(h=2) ~n~ gegeben, wobei
~n~ = nxx + ny y + nz z
(1.29)
ist17.
Ganz allgemein kann jeder Observable ein linearer Operator zugeordnet werden18 .
Mit diesem Konzept stellt sich die Logik des Messvorgangs in einem Qubit-System19
so dar: Ist A der einer Observable (Messanordnung) zugeordnete Operator, so besteht die Messbasis gerade aus den Eigenvektoren von A, und die moglichen Messwerte sind die zugehorigen Eigenwerte. Die Wahrscheinlichkeiten sind { siehe (1.8) und
(1.9) { durch innere Produkte mit den Vektoren der Messbasis gegeben.
Das Konzept des Operators fasst also nur kompakt zusammen, was wir ohnehin bereits formuliert haben. Es ist ein nutzliches Hilfsmittel, aber { zumindest im
Qubit-System { nicht unbedingt notwendig.
Nachbemerkung zu groeren Systemen*
Der Groteil des bisher besprochenen Formalismus kann fur Systeme, die durch
Hilbertraume hoherer Dimensionen dargestellt werden, ubernommen werden. Allerdings ist dabei eine Sache zu beachten: Die Zahl der moglichen Ausgange der
Messung einer Observable ist nie groer als die Dimension des Hilbertraums20, kann
aber kleiner sein. Dadurch ist der Begri der Messbasis nicht mehr das optimale Mittel, um die Logik des Messvorgangs zu beschreiben. Betrachten wir zwei Beispiele
in einem dreidimensionalen Hilbertraum:
17 Hier sehen wir auch, warum wir die Bewegung des Elektrons in y -Richtung angenommen haben:
In den Operatoren fur die Spinkomponenten orthogonal zur Bewegungsrichtung treten dann nur
reelle Zahlen auf!
18 Umgekehrt eignen sich nur hermitische Operatoren dazu, Observable darzustellen. Ein linearer
Operator ist hermitisch, wenn seine Eigenvektoren eine Basis (die Messbasis) bilden und seine
Eigenwerte (die Messwerte) reel sind. Theoretisch sind damit auch Vielfache des Einheitsoperators
zugelassen. Fur diese sind aber die beiden Eigenwerte gleich und konnen daher nicht zwischen zwei
Alternativen unterscheiden { bei diesen Operatoren handelt es sich um \triviale" Observable, bei
denen es nichts zu messen gibt.
19 In groeren Systemen muss man ein bisschen aufpassen { da ist unser bisheriger Formalismus
noch nicht allgemein genug. Siehe den nachsten Abschnitt.
20 Das trit genau genommen nur auf ideale Messungen zu, nicht aber auf ihre Verallgemeinerungen, die POVMs.
14
Eine Messung, die drei mogliche Ausgange zulasst, sei charakterisiert durch die
Basiselemente j~i, j}i und ji (die paarweise zueinander orthogonal sein mussen).
Auf diese Art von Messungen kann der bisherige Formalismus in naturlicher Weise
verallgemeinert werden. So ist beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, den Messausgang  zu nden, durch w = jhj ij2 gegeben. Ordnet man den drei Ausgangen
die Zahlenwerte 1, 2 und 3 zu, und ist die Messbasis gleichzeitig die Standardbasis,
so wird der zugehorige Operator in Matrixschreibweise als
0
1
1 0 0
A = B@ 0 2 0 CA
(1.30)
0 0 3
dargestellt.
Eine andere Situation ergibt sich aber, wenn dieselbe Basis verwendet, die ersten beiden Messausgange (~ und }) aber nicht voneinander unterschieden werden
konnen. Dann gibt es nur zwei mogliche Messresultate, namlich \~ oder }" und 
{ die Messung ist \grober" als zuvor. Die Wahrscheinlichkeit fur den ersten Ausgang
ist durch
w~ oder } = jh~j ij2 + jh}j ij2 ;
(1.31)
die fur den zweiten durch
w = jhj ij2
(1.32)
gegeben. Ordnet man den zwei Ausgangen die Zahlenwerte 1 und 2 zu, und ist
die Messbasis gleichzeitig die Standardbasis, so wird der zugehorige Operator in
Matrixschreibweise als
0
1
1 0 0
B = B@ 0 1 0 CA
(1.33)
0 0 2
dargestellt. Er besitzt nur zwei Eigenwerte (1 und 2), und die Eigenvektoren zum
Eigenwert 1 sind nicht eindeutig bestimmt: Jede \gedrehte" Variante des Paars
(j~i; j}i) ware genausogut verwendbar. In diesem Fall spricht man von Entartung.
Hier ist der Begri des Operators wichtiger als im zweidimensionalen Hilbertraum,
da die Angabe einer konkreten Messbasis uberussige Information beinhaltet21. Eine
physikalische Situation dieses Typs ergibt sich beispielsweise, wenn der Gesamtspin
eines Atoms gemessen wird: eine solche Messung ist blind gegenuber den Einzelspins.
21 Eine okonomischere Methode besteht darin, anstelle eines Paars (j~i; j}i) aus Eigenvektoren zum Eigenwert 1 die Projektion auf den Teilraum, den sie aufspannen (den Eigenraum zum
Eigenwert 1), anzugeben. Sie kann eindeutig aus dem Operator B gewonnen werden. In Matrix-
15
2 Zwei-Qubit-Systeme
Systeme von mehreren Qubits (wie sie etwa bei der Diskussion des EPR-Paradoxons
und der Quantenteleportation benotigt werden), bewirken nur eine maige Steigerung des Schwierigkeitsgrads und lassen sich weitgehend mit Hilfe des bisher Gesagten analysieren. Es soll in diesem Kapitel nicht um Grundlagenprobleme der
Quantentheorie gehen, sondern um die Darstellung des notigen Formalismus.
Wir betrachten ein System, das aus zwei raumlich getrennen Qubits besteht.
In einem der beiden Teilsystem kann Alice schalten und walten, das andere ist
die Domane von Bob. An welche physikalischen Realisierungen (Spins, Polarisationen,...) wir dabei denken, ist unerheblich. Welche Zustande kann das Gesamtsystem
annehmen? Diskutieren wir ein paar Moglichkeiten.
Alice hat ihr System im Zustand j0i prapariert, Bob das seine im Zustand j1i.
Alices Zustandvektor liegt in ihrem Hilbertraum, Bobs Zustandvektor liegt
in seinem. Um diese beiden Raume und ihre Elemente nicht zu verwechseln,
bezeichnen wir Alices Zustand als j0iAlice und Bobs Zustand als j1iBob. Der
Zustand des Gesamtsystems kann durch Nebeneinanderschreiben in einen mathematischen Ausdruck gebracht werden22 :
ji = j0iAlicej1iBob
(2.1)
Manchmal werden, um die Schreibweise abzukurzen, fur Alice und Bob die
Symbole 1 und 2 verwendet, womit wir ji auch als j0i1j1i2 schreiben konnen.
Zudem kann durch die Bezeichnung ji12 ausgedruckt werden, dass es sich
hierbei um den Zustand eines aus den Systemen \1" und \2" zusammengesetzten Systems handelt.
Alice und Bob konnen ihr System auch in andere Zustande bringen, so dass
der Zustand des Gesamtsystem etwa durch
ji = j1iAlicej0iBob
(2.2)
schreibschreibweise lautet sie
01
P =@ 0
0 0
1 0
0 0 0
1
A:
22 Manchmal wird auch die Bezeichnung j0iAlice j1iBob verwendet, wobei das \Tensorprodukt"
bezeichnet.
16
oder
ji = p1 j0iAlice + j1iAlice j1iBob
2
(2.3)
gegeben ist. Im zweiten Fall hat Alice ihr Systen in eine Superposition der
beiden Vektoren der Standardbasis gebracht.
Nun kommt das Superpositionsprinzip der Quantentheorie ins Spiel: Mit zwei
Zustandsvektoren beschreibt auch jede (normierte) Superposition einen moglichen
Zustand des Systems. Das System konnte sich also auch in dem aus (2.1) und (2.2)
durch Superposition gewonnenen Zustand
jEPRi = p12 j0iAlicej1iBob ; j1iAlicej0iBob
(2.4)
benden. Wir haben ihm bereits seinen beruhmten Namen gegeben: es handelt sich
um den EPR-Zustand (oder Spin-Singlett-Zustand) in der von David Bohm
angegebenen Form. Einen solchen Zustand konnen Alice und Bob naturlich nicht
durch lokale Operationen in ihren Teilsystemen erzeugen { wir nennen einen Zustand mit dieser Eigenschaft verschrankt. Mathematisch gesehen ist ein Zustand
verschrankt, wenn er nicht als \Produkt" eines Zustandsvektors von Alice mit einem
Zustandsvektor von Bob zu schreiben ist. (2.1) { (2.3) weisen eine solche Produktstruktur auf, sind daher nicht verschrankt. Auch wenn Alice und Bob durch lokale
Operationen keinen verschrankten Zustand erzeugen konnen, macht das die Natur
fur sie: Es ist moglich, Paare von Photonen zu erzeugen, deren Polarisationsfreiheitsgrade im Zustand (2.4) sind. Alice und Bob mussen nur warten und jeweils \ihr"
Photon im Empfang nehmen. Dann konnen sie Messungen in ihrem Teilsystemen
ausfuhren, wie wir sie in Kapitel 1 besprochen haben. Bevor wir sie das tun lassen, mussen wir noch kurz daruber sprechen, wie mit derartigen Objekten gerechnet
werden kann.
Dazu folgen wir zwei Prinzipien
Linearitat: Das Bilden einer Linearkombinationen in einem Teilsystem ubertragt
sich auf die entsprechende Linearkombinationen im Gesamtsystem. Beispielsweise konnen wir rechnen:
j0iAlice + 2 j1iAlice j1iBob = j0iAlicej1iBob + 2 j1iAlicej1iBob
17
(2.5)
Unabhangigkeit von Operationen in beiden Teilsystemen. Das ist wichtig
beim Bilden innerer Produkte. Der zu (2.4) gehorende \Bra" ist
hEPRj = p12 Aliceh0j Bob h1j ; Aliceh1j Bob h0j :
(2.6)
Wird nun uberpruft, ob (2.4) tatsachlich normiert ist, d.h. ob hEPRjEPRi = 1
gilt, so mussen Einzelschritte vom Typ
Alice h0j Bob h1j multipliziert mit j0iAlicej1iBob
= Aliceh0j0iAlice Bobh1j1iBob = 1 1 = 1
(2.7)
gemacht werden. (U bungsaufgabe: die Normierung von jEPRi uberprufen!)
Im Grunde genommen handelt es sich hier wieder um ein einfaches \Baukastensystem".
Die Menge aller moglichen Zustande des Gesamtsystems ist nicht schwer herauszunden. Aufgrund des Linearitatsprinzips kann jeder Zustandsvektor \ausmultipliziert" und in die Form
ji = a j0iAlicej0iBob + b j0iAlicej1iBob + c j1iAlicej0iBob + d j1iAlicej1iBob (2.8)
gebracht werden, wobei a, b, c und d komplexe Zahlen sind, die gema jaj2 + jbj2 +
jcj2 + jdj2 = 1 normiert sind23 .
Um Messungen zu beschreiben, gehen wir genauso vor wie fur das einzelne QubitSystem vorigen Kapitel besprochen: wir charakterisieren eine Messung durch ihre
Eigenzustande, d.h. durch eine Messbasis. Wir nehmen an, Alice und Bob entscheiden sich, Messungen vorzunehmen, die durch ihre jeweiligen Standardbasen (1.15)
charakterisiert sind. (Die moglichen Messausgange bezeichnen wir ab jetzt einfach
mit \0" und \1". Wir verwenden Anfuhrungszeichen, wann immer es nicht um Zahlenwerte, sondern um die Kennzeichnung von Alternativen geht). Ist das System
beispielsweise im EPR-Zustand (2.4), so wurden wir gern voraussagen, mit welchen
Wahrscheinlichkeiten die moglichen Kombinationen von Ausgange auftreten. Vom
23 Der Gesamt-Zustandsvektor ji liegt, mathematisch ausgedruckt, in einem vierdimensionalen
Hilbertraum, der auch als C2 C2 geschrieben werden kann und zu C4 isomorph ist.
18
Standpunkt des Gesamtsystems betrachtet, legt diese Frage eine Messbasis aus vier
Elementen fest. Wir bezeichnen sie als
j~i
j}i
ji
j|i
=
=
=
=
j0iAlicej0iBob
j0iAlicej1iBob
j1iAlicej0iBob
j1iAlicej1iBob :
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
Die Wahrscheinlichkeiten fur die vier Messausgange sind nun, in direkter Verallgemeinerung von (1.8) { (1.9), als innere Produkte zu berechnen:
w~ = jh~jEPRij2 = jhAlice0j hBob0jEPRij2 = 0
w} = jh}jEPRij2 = jhAlice0j hBob1jEPRij2 = 12
w = jhjEPRij2 = jhAlice1j hBob0jEPRij2 = 12
w| = jh|jEPRij2 = jhAlice1j hBob1jEPRij2 = 0 :
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
Wann immer Alice \0" misst, misst Bob \1", und umgekehrt24 , denn die Wahrscheinlichkeit dass beide \0" oder beide \1" messen, ist 0.
Eine interessante Frage ist nun, mit welcher Wahrscheinlichkeit Alice etwa den
Ausgang \0" registrieren wird, unabhangig davon, das Bob macht. Da die beiden
Systeme voneinander unabhangig sind, kann Alice annehmen, Bob macht auch eine
Messung (egal, ob er tatsachlich eine macht oder nicht), und sie kann sich zum Zweck
der Berechnung sogar eine Messbasis fur Bob aussuchen, die fur ihre Argumentation
bequem ist. Wir wahlen naturlich Bobs Standardbasis und betrachten die Liste
(2.13) { (2.16): Unter allen vier Messausgangen kommen nur zwei vor, in denen Alice
\0" misst, und zwar mit den Wahrscheinlichkeiten 0 und 1=2. Die Wahrscheinlichkeit,
dass Alice \0" registriert, ist daher 0 + 1=2 = 1=2.
Man kann dieselben Resultate auch erzielen, indem (2.4) in die Messbasis (2.9)
24 Daher ruhrt der Name \Spin-Singlett": Denken wir an zwei Spinsysteme, so entspricht die
betrachtete Situation der Messung der z -Komponenten der beiden Spins. Ordnen wir statt \0"
und \1" den Messausgangen die Zahlen 1 (\spin up") und ;1 (\spin down") zu, so ist die Summe
der von Alice und Bob erzielten Messwerte immer 0. Das gilt auch fur Messungen der anderen
Spinkomponenten. Daher wird fur den Gesamtspin im EPR-Zustand immer der Wert 0 gemessen.
19
{ (2.12) zerlegt wird:
jEPRi = 0 j~i + p1 j}i ; p1 ji + 0 j|i :
2
2
(2.17)
Nun konnen die uns interessierenden Wahrscheinlichkeiten als Quadrate der Koezienten abgelesen werden.
Diese beiden Verfahren sind auch fur andere Messanordnungen anwendbar. Sollen
nur die Wahrscheinlichkeiten fur Messungen an einem Teilsystem bestimmt werden,
so kann fur das andere Teilsystem eine beliebige Messbasis angenommen werden {
das Ergebnis hangt nicht von dieser Wahl ab25 .
U bungsaufgabe: Das System sei im EPR-Zustand und Alice verwende die Messbasis
s
s
3
(2.18)
j~iAlice = 5 j0iAlice + 25 j0iAlice
s
s
2
(2.19)
j}iAlice = 5 j0iAlice ; 35 j0iAlice :
Man uberprufe, dass j~iAlice und j}iAlice eine Orthonormalbasis bilden und berechne
die Wahrscheinlichkeiten, mit denen Alice die beiden Ausgange ~ und } registriert.
Als letzten Fall erwahnen wir noch, dass an unserem System eine Messung durchgefuhrt werden kann, deren Messbasis aus verschrankten Zustanden besteht. Eine
solche Messung kann nicht durch lokalisierte Messungen an den beiden Teilsystemen
durchgefuhrt werden. Ein beruhmtes Beipiel ist die so genannte Bell-Basis
j+i = p12 j0iAlicej1iBob + j1iAlicej0iBob
(2.20)
j;i = p12 j0iAlicej1iBob ; j1iAlicej0iBob
(2.21)
(2.22)
j+i = p12 j0iAlicej0iBob + j1iAlicej1iBob
j;i = p12 j0iAlicej0iBob ; j1iAlicej1iBob ;
(2.23)
25 Es gibt eine vom mathematischen Standpunkt aus gesehen elegantere Methode: das Bilden der
\partiellen Spur" uber das Teilsystem, an dem keine Messung durchgefuhrt wird. Sie geht jedoch
uber den hier behandelten Rahmen hinaus.
20
die in der Quantenteleportation benotigt wird (und die teilweise bereits experimentell realisierbar ist). Die Wahrscheinlichkeiten fur die vier moglichen Messausgange
(d.h. die Alternativen +, ;, + und ;) in einem beliebigen Zustand ji des
Systems konnen wie oben mit Hilfe innerer Produkte oder durch Entwicklung von
ji in die Bell-Basis und Ablesen der (Betragsquadrate der) Koezienten bestimmt
werden.
Ausgerustet mit der bisher besprochenen Mathematik ist ein profundes Verstandnis des EPR-Paradoxons, der Bellschen Ungleichungen, der Quantenteleportation
und verwandter Themen moglich.
21