Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Übungsblatt Nr. 11
16. Januar 2015
41. Eine Zufallsvariable X sei exponentiell mit Parameter λ > 0 verteilt. Für
welche µ ∈ R existiert E[exp(µX)]? Für welche µ ist die Zufallsvariable
exp(µX) integrabel? Bestimmen Sie in diesen Fällen E[exp(µX)]!
42. Sei Q = [0, 1] × [0, 1] und A ⊆ Q ein Gebiet mit der Fläche |A|. Sei außerdem Xn, n ∈ N, eine Folge unabhängiger, in Q gleichverteilter Zufallsvariablen und sei Yn = IA(Xn), n ∈ N. Bestimmen Sie die Erwartungswerte
P
und die Varianzen der Zufallsvariablen SN = (1/N ) N
k=1 Yk , N ∈ N!
Inwiefern ist Ihr Resultat praktisch anwendbar?
43. Seien m > 0 und α ≥ 1. Konstruieren Sie eine integrable reellwertige Zufallsvariable X mit dem eindeutigen Median m und dem Erwartungswert
µ = αm!
44. (∗) In einer durch Erdbeben gefährdeten Region werden an n aufeinanderfolgenden Tagen a1, . . . , an Erdstöße gemessen. Modellieren Sie die Anzahl
der Erdbeben an einem durchschnittlichen Tag und geben Sie einen erwartungstreuen Schätzer für die mittlere Anzahl der Erdbeben pro Tag an!
Hinweis: Die mit (∗) gekennzeichnete Aufgabe wird nicht gewertet!
Abgabetermin: 26. Januar 2015, 1100 Uhr
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Übungsblatt Nr. 12
23. Januar 2015
Hinweis: Dieses Aufgabenblatt wird nicht mehr gewertet!
45. Sei h : R → R ein Polynom. Beschreiben Sie ein Monte-Carlo Verfahren
R∞
zur numerischen Bestimmung von −∞ dx exp(−x2)h(x)! Zeigen Sie die
Konvergenz des Verfahrens!
46. Bestimmen Sie das dritte und vierte Moment einer Normalverteilung mit
Erwartungswert µ und Varianz σ 2!
47. Sei X eine reellwertige Zufallsvariable mit E[X 2] < ∞. Für welche a ∈ R
ist die mittlere quadratische Abweichung E[(X − a)2] minimal?
48. Beim zweimaligen unabhängigen Wurf eines Würfels seien X1 und X2 die
Augenzahlen. Bestimmen Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten
P[max{X1, X2} = k|X1 = l],
k, l ∈ N!
Erläutern Sie Ihre Ergebnisse und geben Sie diese in einer übersichtlichen
Tabelle an!
49. Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, daß bei einem dreimaligen,
unabhängigen Werfen eines Würfels mindestens einmal eine 3 erscheint,
unter der Bedingung, daß auch zumindest eine 6 geworfen wird?
50. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Lottospieler, der jede Woche zwei Spiele 6 aus 49 macht, im Lauf eines Jahres mindestens einmal
mindestens 4 Richtige hat?
51. X und Y seien unabhängige, N0-wertige Zufallsvariablen mit P[X = k] =
P[Y = k] = (1 − p)k p, k ∈ N0, wobei p ∈ (0, 1). Berechnen Sie P[X =
k|X + Y = l], k, l ∈ N0!
52. Auf dem mit der Gleichverteilung P versehenen Einheitsintervall Ω =
(0, 1] sei die Zufallsvariable Z durch Z(ω) = − log(ω), ω ∈ Ω, definiert.
Bestimmen Sie die Verteilung von Z durch Berechnung von P[{ω ∈ Ω :
Z(ω) > α}], α ∈ R. Besitzt diese Wahrscheinlichkeitsverteilung eine
Dichte bzgl. des Lebesguemaßes auf R? Wobei kann das Resultat dieser
Aufgabe angewandt werden?
53. Betrachten Sie den Wahrscheinlichkeitsraum ([0, 1], B([0, 1]), P), wobei P
die Gleichverteilung auf [0, 1] ist. Konstruieren Sie auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum eine Folge von Zufallsvariablen Xn, n = 1, 2, . . . , so daß
(i) P[Xk = 0] = P[Xk = 1] = P[Xk = 2] = P[Xk = 3] = 1/4,
k = 1, 2, . . . , und
(ii) die Zufallsvariablen Xn, n ∈ N, stochastisch unabhängig sind!
54. Xn, n ∈ N, seien nicht f.s. konstante, i.i.d. Zufallsvariablen. Existiert für
einen der üblichen Konvergenzbegriffe limn→∞ Xn?
55. Tante Elfriede hat für einen zukünftigen Tag ihren Besuch angekündigt,
wobei sie evtl. noch Onkel Wilhelm mitbringen wird. Geben Sie zur Beschreibung der in Tagen gezählten Zeitdauer bis zum Besuch und der
Anzahl der dann erscheinenden Personen ein mathematisches Modell an!
Berücksichtigen Sie hierbei, daß Tante Elfriede zwar sehr vergeßlich ist,
ihren Besuch mit Sicherheit aber nicht vergessen wird. Begründen Sie Ihr
Modell!
56. Berechnen Sie für die in 0 startende symmetrische Irrfahrt (Xn)n∈N0 in Z
die Wahrscheinlichkeiten P[Xn = 0], n = 0, 1, 2, . . . , und bestimmen Sie
mit Hilfe der Stirlingschen Formel deren Asymptotik bei n → ∞!
57. Die 33 Gefangenen einer Gefängnisabteilung werden durch ein Losverfahren in drei Fußballmannschaften eingeteilt. Hierbei zieht jeder Gefangene
aus einer Urne mit jeweils 11 Zetteln mit den Buchstaben A, B und C
seine Mannschaft.
(a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, drei verschiedene Mannschaften auszuwählen?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit landen die beiden Komplizen Stink
und Stunk in der gleichen Mannschaft?
58. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß µ auf N0 = {0, 1, 2, ...} sei durch (pk )k∈N0
beschrieben, d.h., µ[{k}] = pk , k ∈ N0. Die erzeugende Funktion φµ von
µ ist definiert durch
φµ (s) =
∞
X
pk sk ,
s ∈ [0, 1].
k=0
(a) Bestimmen Sie die erzeugenden Funktionen von geometrischer Verteilung und von Poisson-Verteilung!
(b) Welche Informationen über µ liefern Ihnen die n-ten Ableitungen,
n = 0, 1, . . . , von φµ in 0 und in 1? Wann existieren diese Ableitungen?
59. Unter den 16 Mannschaften, die ein Handballturnier bestreiten, sind zwei
Mannschaften, die den restlichen 14 Mannschaften überlegen sind. In jeder
Runde werden alle Spielpaarungen zufällig ausgelost. Der jeweilige Gewinner eines jeden Spiels erreicht die nächste Runde.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit treffen die beiden überlegenen Mannschaften erst im Endspiel aufeinander, wenn ihre Überlegenheit so groß
ist, daß sie gegen die 14 schwächeren Gegner mit Sicherheit gewinnen?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein Endspiel mit den beiden
stärksten Mannschaften, wenn sie die anderen Mannschaften jeweils
mit Wahrscheinlichkeit p besiegen können?
60. Geben Sie zwei Anwendungsbeispiele (ohne Münzen oder Würfel) an, wo
Laplacesche Wahrscheinlichkeitsräume anwendbar sind!
61. Sei X eine standard normalverteilte Zufallsvariable.
(a) Für welche α ≥ 0 besitzt die Zufallsvariable Y = exp(αX) eine Dichte
bzgl. des Lebesguemaßes? Berechnen Sie diese!
(b) Für welche α ≥ 0, bzw. β ≥ 0 sind die Zufallsvariablen Y = exp(αX),
bzw. Z = exp(βX 2) integrabel?
62. Sei K = ω = (ω1 , ω2) ∈ R2 : ω12 + ω22 ≤ 1 der Einheitskreis in R2 und
B(K) die Borelsche σ-Algebra in K.
(a) Welche Dichte hat die Gleichverteilung PK in K?
(b) Sei (R(ω), Θ(ω)) die Darstellung von ω ∈ K in Polarkoordinaten.
R und Θ können als Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (K, B(K), PK ) betrachtet werden. Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilung von R und Θ durch Angabe von
PK [R ≤ r, Θ ≤ θ],
r ∈ [0, 1], θ ∈ [0, 2π)!
Was fällt Ihnen auf?
63. Ein Paar fairer Würfel soll so lange geworfen werden bis beide die gleiche
Augenzahl zeigen. Hierbei seien alle Würfe unabhängig. Bestimmen Sie
für n ∈ N die Wahrscheinlichkeit, daß das Würfelpaar mindestens n mal
geworfen werden muß!
64. Seien x1, . . . , xN viele zufällige“ Zahlen mit 2 Nachkommastellen. Mr.
”
P
Lazy benutzt als Schätzer für die Summe dieser Zahlen die Formel N
k=1 xk
P
∼ N
k=1 ⌊xk ⌋+N/2. In welchen Situationen ist diese Formel sinnvoll, wann
nicht?