Semestralklausur zu Logik

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Vorname:
Matr.-Nr.:
Universität Duisburg-Essen
Ingenieurwissenschaften / Informatik
Dozent: Prof. Dr. Barbara König
SS 2013
2. August 2013
Klausur
Semestralklausur zu Logik
Hinweise:
• Es gibt 5 Aufgaben, für die insgesamt 40 Punkte zu vergeben sind.
• Zur Bearbeitung der Aufgaben stehen Ihnen 120 Minuten zur Verfügung.
• Die Klausur ist bestanden, wenn 50% der Punkte (also 20 Punkte) erreicht werden.
Aufgabe 1
Kurze Behauptungen
(8 Punkte)
Nehmen Sie Stellung zu den folgenden Behauptungen zur Aussagen- und Prädikatenlogik. Geben
Sie jeweils eine kurze Begründung an. Antworten ohne Begründung erhalten keine Punkte!
(a) Jede aussagenlogische Formel ist entweder gültig oder unerfüllbar.
(1 p)
(b) Sei F eine aussagenlogische Formel. Folgendes ist bekannt: wenn F gültig ist, dann ist
¬F unerfüllbar. Wenn F aber erfüllbar ist, dann ist ¬F auch erfüllbar.
(1 p)
(c) Es gibt eine aussagenlogische Formel, die sowohl in dnf als auch in knf ist.
(1 p)
(d) Das Herbrand-Universum einer Formel in Skolemform enthält immer unendlich viele
Elemente.
(1 p)
(e) Seien F und G aussagenlogische Formeln. Wenn A ein Modell für F aber kein Modell für
F → G ist, dann ist A auch kein Modell für G.
(1 p)
(f) Aus ∃x P (x) und ∃x Q(x) folgt ∃x P (x) → Q(x) .
(1 p)
(g) Die Klausel {A} is ein Resolvent der Klauseln {A, B, C} und {A, ¬B, ¬C}.
(1 p)
(h) Sei F = ∃x P (x) → ∀x P (x). Wenn A eine zu F passende Struktur ist, dessen Universum
UA genau ein Element hat, dann gilt, A |= F .
(1 p)
1
Aufgabe 2
Umformungen
(8 Punkte)
(a) Gegeben sei die Formel
F = (A → B) ∧ ((B ∨ C) → A).
Wandeln Sie diese Formel mit Hilfe der Gesetze aus der Vorlesung in zwei äquivalente
Formeln F 0 und F 00 um, so dass die Formel F 0 in konjunktiver sowie die Formel F 00 in
disjunktiver Normalform ist. Geben Sie bei der Umwandlung ausreichend Zwischenschritte
und die verwendeten Äquivalenzgesetze an.
(4 p)
(b) Gegeben sei die Formel
G = ∀x ∃y R(x, y) → ∃y R(y, x) ∧ ¬∀x R(x, x)
Geben Sie für die Formel G eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Klauselform an. Geben
Sie dabei außerdem jeweils die folgenden Formeln als Zwischenschritte an:
• die zu G äquivalente, bereinigte Formel,
• die zu G äquivalente Formel in Pränexform und
• die zu G erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Skolemform.
Aufgabe 3
Unerfüllbarkeit
(4 p)
(8 Punkte)
Zeigen Sie, mit Hilfe irgendeines Verfahrens ihrer Wahl, dass die folgende aussagenlogische
Formeln unerfüllbar sind:
(a) F1 = ¬ (A → B) ∧ (A ∨ ¬B) ∧ (A ∧ B)
(2,5 p)
(b) F2 = A ∧ B ∧ ¬A ∨ ¬B ∧ B ∨ ¬C ∧ D ∧ ¬D ∧ E ∨ ¬E ∧ ¬F ∧ F
(2,5 p)
(c) F3 = A ∧ (B ∨ C) ∧ ((B ∨ C) → D) ∧ (¬D ∨ E ∨ F ) ∧ (E → ¬A) ∧ ¬F
(3 p)
Hinweis: Ein geeignetes Verfahren zu finden, die Unerfüllbarkeit einer Formel zu zeigen, ist Teil
der Aufgabe. Für sehr aufwendige Verfahren werden Punkte abgezogen, auch wenn sie sonst
richtig sind.
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Aufgabe 4
Strukturen
(8 Punkte)
In dieser Aufgabe ist P ein einstelliges Prädikat, R ein zweistelliges Prädikat und f eine
einstellige Funktion.
(a) Gegeben seien die folgende Strukturen A und B:
• A = (U A , I A ), wobei U A = {a, b, c} und
P A = {a, b}
f A (a) = b
RA = {(a, b), (b, c), (c, a), (c, b)}
f A (b) = a
f A (c) = c
• B = (U B , I B ), wobei U B = N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} und
P B = {2 · x | x ∈ N0 } = {0, 2, 4, . . .}
RB = {(x, y) | x < y}
f B (x) = 2 · x
Geben Sie jeweils für die folgende Formeln F1 , F2 , F3 an, ob A |= Fi und ob B |= Fi . (Es
ist auch möglich, dass keine oder beide Aussagen gelten.)
F1 = ∀x x = f (f (x))
F2 = ∀x P (x) → P (f (x))
F3 = ∀x∀y (R(x, y) ∧ R(y, x)) → P (x)
Begründen Sie kurz Ihre Antworten.
(5 p)
(b) Gegeben sei die folgende Formel F :
F = ∃x P (x) ∧ ∀x P (x) → ∃y R(x, y)
Geben Sie für die Formel G eine passende Struktur an, die ein Modell für F aber kein
Modell für G ist.
G = ∀x∀y (P (x) ∧ P (y)) → R(x, y)
(3 p)
3
Aufgabe 5
Unifikation und prädikatenlogische Resolution
(8 Punkte)
(a) Seien P und Q einstellige Prädikatsymbole, f ein einstelliges Funktionsymbol, g ein
zweistelliges Funktionsymbol und a eine Konstante. Geben Sie für die folgenden Mengen
Literalen allgemeinste Unifikatoren an, oder geben Sie an, warum die Mengen nicht
unifizierbar sind.
(i) L1 = P (g(a, x)) , P (y) , P (g(z, f (u)))
(ii) L2 = P (y) , P (g(u, u)) , P (g(x, f (x))) , P (g(x, f (z)))
Begründen Sie Ihre Antworten, indem Sie die Zwischenschritte des Unifikationsalgorithmus
angeben.
(4 p)
(b) Zeigen Sie mit Hilfe von prädikatenlogischer Resolution, dass die folgende Klauselmenge
unerfüllbar ist. Zeichnen Sie den Resolutionsbeweis graphisch auf und notieren Sie auch
die verwendeten Substitutionen.
{P (f (a), g(x)), Q(f (x), z)}, {¬P (f (z), g(f (z))), ¬R(z)},
{¬Q(f (x), g(b)), ¬R(a)}, {R(x)}
(4 p)
(Insgesamt werden für diese Klausur 40 Punkte vergeben.)
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