6. ¨Ubung zur Kommutativen Algebra

6. Übung zur Kommutativen Algebra
Prof. Dr. Plesken
(SS 2010)
Aufgabe 1. (Lokalisierung)
Es sei K ein Körper. Zeige: Der Gruppenring von (Zn , +) mit Koeffizienten in K
ist ein Bruchring R = S −1 K[x1 , . . . , xn ] für eine geeignete Menge S.
Aufgabe 2. (Lokalisierung)
Es seien R ein kommutativer Ring mit 1, S ⊂ R eine multiplikativ abgeschlossene
Menge, M ein R-Modul und N , P ≤ M . Zeige:
a) S −1 (N + P ) = S −1 N + S −1 P .
b) S −1 (N ∩ P ) = S −1 N ∩ S −1 P .
c) S −1 (M/N ) ∼
= S −1 M/S −1 N .
Aufgabe 3. (Diskrete Bewertungen)
a) Zeige, dass die (surjektiven) diskreten Bewertungen von Q bei geeigneter Normierung in Bijektion zu den Primzahlen stehen: p 7→ νp mit p ∈ P und
νp (p) = 1.
b) Zeige, dass die (surjektiven) diskreten Bewertungen von C(x), die C∗ im Kern
haben, in Bijektion zu den Punkten der Riemannschen Zahlenkugel stehen.
Aufgabe 4. (Vervollständigung)
a) Es sei K ein Körper und I das von x1 , . . . , xn in K[x1 , . . . , xn ] erzeugte
Ideal. Mache aus Ri := K[x1 , . . . , xn ]/I i ein inverses System, so dass der
Potenzreihenring K[[x1 , . . . , xn ]] der inverse Limes ist. (Für die Definition
siehe Rückseite.)
b) Es sei p ∈ Z eine Primzahl, Ri := Z/pi Z und für j > i
εi,j : Z/pj Z → Z/pi Z : a + pj Z 7→ a + pi Z.
Der inverse Limes wird mit Zp bezeichnet und heißt der Ring der ganzen
p-adischen Zahlen.
Zeige: Die Epimorphismen φi : Z → Z/pi Z : r 7→ r + pi Z liefern einen Monomorphismus Z → Zp . Man stelle −1 ∈ Z als Element von Zp dar.
Abgabe: Dienstag, 01.06.2010, in der Übung.
Definition. Sei (Ri )i∈N eine Familie von kommutativen Ringen mit 1, und für
j > i sei εi,j : Rj → Ri ein Ringhomomorphismus. Dann heißt ((Ri )i∈N , (εi,j )j>i )
ein inverses System von kommutativen Ringen mit 1, falls
εi,j ◦ εj,k = εi,k
für alle k > j > i gilt. In diesem Fall heißt
lim
←− Ri := {(ai )i∈N | ai ∈ Ri , i,j (aj ) = ai für alle j > i}
der inverse Limes des Systems.