GRUPPENTHEORIE 6. ¨UBUNGSBLATT

Universität Bielefeld
WS 2012/13
GRUPPENTHEORIE
6. ÜBUNGSBLATT
DR. PHILIPP LAMPE
Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
Ludwig Wittgenstein
Aufgabe 6.1 (Verknüpfungstabellen). Stelle die Verknüpfungstabellen der multiplikativen Restklassengruppen ((Z/4Z)× , ·) und ((Z/9Z)× , ·) auf.
Aufgabe 6.2 (Das Lemma von Bézout). In dieser Aufgabe wenden wir das Lemma von Bézout
an, um inverse Elemente in multiplikativen Restklassengruppen zu finden.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Bestimme mithilfe des euklidischen Algorithmus ganze Zahlen a und b mit 97a + 68b = 1.
Was ist das zu 68 + 97Z ∈ (Z/97Z)× inverse Element?
Was ist das zu 97 + 68Z ∈ (Z/68Z)× inverse Element?
Bestimme mithilfe des euklidischen Algorithmus ganze Zahlen a und b mit 89a + 68b = 1.
Was ist das zu 68 + 89Z ∈ (Z/89Z)× inverse Element?
Was ist das zu 89 + 68Z ∈ (Z/68Z)× inverse Element?
Aufgabe 6.3 (Der Satz von Wilson). Sei p eine Primzahl. In dieser Aufgabe möchten wir den
Satz von Wilson beweisen. Er besagt, dass stets folgende Kongruenz gilt:
(p − 2)! ≡ 1 (mod p).
Wir geben einen gruppentheoretischen Beweis in zwei Schritten:
(a) Zeige, dass 1 + pZ und (p − 1) + pZ die einzigen selbstinversen Elemente in (Z/pZ)× sind.
(Tipp: Verwende die dritte binomische Formel x2 − 1 = (x − 1)(x + 1).)
(c) Folgere den Satz von Wilson.
Aufgabe 6.4 (Zusatzaufgabe für Interessierte). Sei n eine positive ganze Zahl. In dieser Aufgabe möchten wir zeigen, dass die Summe aller Werte ϕ(d) der Eulerschen phi-Funktion über alle
positiven Teiler d von n gleich n ist.
(a) Verifiziere die Behauptung für den Fall n = 12, d.h. zeige, dass folgende Gleichung gilt:
ϕ(1) + ϕ(2) + ϕ(3) + ϕ(4) + ϕ(6) + ϕ(12) = 12.
Wir betrachten die Brüche n1 , n2 , n3 , . . . , nn und schreiben sie in vollständig gekürzter Form. Für
n = 12 erhalten wir beispielsweise
1 1 1 1 5 1 7 2 3 5 11 1
, , , , , , , , , , , .
12 6 4 3 12 2 12 3 4 6 12 1
(b) Zeige, dass die alle auftretenden Nenner Teiler von n sind.
(c) Sei d ein positiver Teiler von n. Zeige, dass es in der Liste genau ϕ(d) Brüche mit Nenner
d gibt.
(d) Folgere die Behauptung.
Die Aufgaben 1,2,3 sind jeweils 10 Punkte wert und bis Dienstag, den 20. November 2012, 14.15 Uhr in das
Postfach des Tutors Sophiane Yahiatene in V3-128 zu werfen. Aufgabe 4 ist eine nicht abzugebende Aufgabe.
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