Mathematik I für Physiker Lösungsvorschlag Blatt 3

Mathematik I für Physiker
Lösungsvorschlag Blatt 3
Prof. Dr. Andreas Nickel
Aufgabe 1
(i) Sei a ∈ G. Betrachte die Teilmenge {a = a1 , a2 , a3 , . . . } von G. Da G nur
endlich viele Elemente enthält, gibt es natürliche Zahlen n1 < n2 mit an1 = an2 .
Setze n := n2 − n1 ∈ N. Dann ist an = an2 (an1 )−1 = e.
(ii) Sei nun n ∈ N minimal mit an = e. Ist nun auch ak = e für ein k ∈ N, schreibe
k = qn + r mit q, r ∈ Z und 0 ≤ r < n (Teilen mit Rest). Dann ist
e = ak = aqn+r = aqn ar = (an )q ar = eq ar = ear = ar .
Da aber n ∈ N minimal war mit an = e, folgt r = 0.
Aufgabe 2
Seien a, b ∈ G beliebig. Wegen a2 = b2 = e ist a = a−1 und ebenso b = b−1 . Ferner
ist
e = (ab)2 = abab = aba−1 b−1 .
Multiplizieren dieser Gleichung mit ba von rechts liefert ba = ab. Da a und b beliebig
waren, ist G abelsch.
Aufgabe 3
(i) Wir berechnen (und verwenden nur die Körperaxiome sowie Lemma 5.2)
(−1) · a + a = (−1) · a + 1 · a = ((−1) + 1) · a = 0 · a = 0.
Also ist (−1) · a das (eindeutige!) inverse Element von a bezüglich +, also
(−1) · a = −a.
(ii) Hier berechnen wir
(−1) · (−1) + (−1) = (−1) · (−1) + (−1) · 1 = (−1)((−1) + 1) = (−1) · 0 = 0.
Also ist (−1)·(−1) das inverse Element von −1 bezüglich +, also (−1)·(−1) =
1.
(iii) Seien a, b ∈ K mit ab = 0. Falls a = 0 gilt, sind wir fertig. Ist a 6= 0, so
multipliziere die Gleichung ab = 0 mit a−1 und erhalte b = 1 · b = a−1 ab =
a−1 · 0 = 0.
2
Aufgabe 4
√
Da Q( 2) ⊆ R, werden die Körperaxiome
√ wie Kommutativität, Assoziativität und
Distributivität
+ und · ist. Seien
√ sofern Q( 2) abgeschlossen unter
√
√ von R geerbt,
dazu a + b 2 und a0 + b0 2 zwei beliebige Elemente in Q( 2), also a, b, a0 , b0 ∈ Q.
Dann ist
√
√
√
√
(a + b 2) + (a0 + b0 2) = (a + a0 ) + (b + b0 ) 2 ∈ Q( 2)
√
√
√
√
(a + b 2) · (a0 + b0 2) = (aa0 + 2bb0 ) + (ab0 + ba0 ) 2 ∈ Q( 2).
√
√
Wir
müssen
noch
zeigen,
dass
Q(
2)
abgeschlossen
unter
Inversen
ist.
Ist
a+b
2∈
√
√
ist das Inverse bezüglich
+
gegeben
durch
(−a)+(−b)
2
und
liegt
Q( 2) beliebig, so √
√
√ −1
√
−1
somit wieder
in
Q(
2)
.
Ist
ferner
a
+
b
2
=
6
0
,
so
ist
(a
+
b
2)
=
q
(a
−
b
2) =
√
√
√
in
Q(
a/q − b/q 2 mit q = a2 − 2b2 ∈ Q. Insbesondere liegt (a + b 2)−1 wieder
√
√ 2).
2
2
Beachte hierbei, dass
, da sonst q = a −2b = (a+b 2)(a−b 2) =
√ tatsächlich q 6= 0√
0. Da aber a + b 2 6=
√ 0, folgt a − b 2 = 0. Ist nun b =√0, so ist auch a = 0 im
Widerspruch zu a + b 2 6= 0. Ist hingegen b 6= 0, so folgt 2 = a/b ∈ Q ebenfalls
ein Widerspruch.