Inverse Probleme

Inverse Probleme
Anwendung bei der Experimentauswertung
Inverses Problem
•
•
•
Aus indirekten Beobachtungen eines Objekts auf dessen physikalische
Eigenschaften zurückschließen
Beispiele:
– Computer-Tomographie
– Seismologie
– Astronomie
– Signalverabeitung und Mustererkennung
– Auswertung von EXAFS-Daten
Mathematische Formulierung:
b
b( x)   K ( x, t ) f (t )dt
a
b(x ) - gemessene/beobachtete Größe
f (t )
- gesuchte physikalische Eigenschaft
K ( x, t ) - Integralkern, beschreibt wie die gesuchte physikalische
Eigenschaft die gemessenen Größe erzeugt (Theorie)
Inverses Problem
Lösung + Schwierigkeiten
Die Fredholmsche Integralgleichung
b
b( x)   K ( x, t ) f (t )dt
a
wird diskretisiert, es entsteht ein Gleichungssystem


b  A* f
wobei b und f Vektoren, A eine Matrix sind
die formale Lösung der Gleichung wäre dann


1
f  A *b
aber
1. kleine Fehler in b, bzw. in A (Theorie kann ungenau sein!) führen zu
großen Abweichungen in f (Oszillationen)
2. die Matrix A ist meist schlecht konditioniert, traditionelle Verfahren zur
Berechnung der Inversen (Gauß-Jordan-Algorithmus, Adjunkte)
scheitern.
1. Schwierigkeit → Regularisierung
Suche nach Lösung, die folgender Bedingung genügt:

f   arg min A * f  b 2  2 f
A* f  b
f

2
2
2
2
2
2

→ minimale Norm des Residuums und
2
→ minimale Norm der Lösung (Oszillationen!)
Regularisierungparameter
klein → geringe Dämpfung der Oszillationen
groß → Dämpfung der Struktur der Lösung
Minimierungsproblem (Methode der kleinsten Quadrate) führt zu

f  A * A   I
T
2

1
AT * b
es bleibt: - möglichst exakte Matrizeninversion
- Bestimmung des Regularisierungsparameters
2.Schwierigkeit → Singulärwertzerlegung
(SVD)
Jede rechteckige m x n Matrix A kann zerlegt werden in
A  U W V T
mit
U U T  V V T  I
W  diag [ w j 1,n ], w1  w2  ...  wn
dabei hat U die gleiche Gestalt wie A,
V ist eine quadratische n x n Matrix,
nach den Regeln der Matrizenalgebra ergibt sich für die Inverse von A
A 1  U  W  V T   V  W 1  U T
1
W 1  diag [ w j 11,n ]
der Wert w1/wn heißt Konditionszahl der Matrix A,
wenn (Konditionszahl)-1 ~ Rechnergenauigkeit,
dann ist A schlecht konditioniert.
Optimaler Regularisierungsparameter
A  U *W *V T
1 T
T
2
in Gleichung für regularisierte Lösung f   A * A   I  A * b
W
T
f

V
U
*b
führt zu

2
2
W  I
  wn  f   V * W 1 * U T * b  A 1 * b
1
1 T
T
  w1  f   V * 2 W * U * b  2 A * b


Einsetzen der Singulärwertzerlegung
Optimaler Regularisierungsparameter:
1. kleiner Fehler
2. kleine Oszillationen der Lösung
für das Residuum ergibt sich

W2  T
 U *b
b  A * f   U *  I  2
2 
W  I 

→ Norm der Lösung und Norm des Residuums als Funktion des
Regularisierungsparameters λ
L-Kurve
Norm der Lösung als Funktion der Norm des Residuums parametrisiert mit
Regularisierungsparameter in logarithmischer Darstellung
λ32 = 0,17*10-16
λ22 = 0,55*10-4
λ12 = 2,51*10-2
Optimaler Regularisierungsparameter ~ Knick in der L-Kurve,
maximale Krümmung der L-Kurve,
Anwendung: Analyse der Feinstruktur von
Röntgenabsorptionsspektren (EXAFS)
Augereffekt
Der normierte oszillierende Teil des Spektrums (NOP)
entsteht durch Interferenz bei der Rückstreuung
herausgeschlagener Elektonen an benachbarten
Atomen und wird bestimmt durch Nahordnung:
• Entfernung zu nächsten Nachbarn Reff
• Koordinationszahl N (Anzahl von Atomen mit Reff)
• Debye-Waller-Faktor σ2
Nahordnung → Information über chemische Bindung
z.B. wie werden radioaktive Stoffe im Abraum gebunden
Inverse Aufgabe: Bestimmung der
Paarverteilungsfunktion
Nahordnung (Reff, N und σ2) wird beschrieben
durch Paarverteilungsfunktion g(r)
Reff  arg max g r 
r2
N  4  r 2 g r dr
r1
 2 - Halbwertsb reite
0  r  ra 
0


g r    g r  ra  r

1
r  



1
g r  * 4r 2 dr  1

V 0
Quantenmechanische Betrachtung:

 2r 
4
 
 sin 2kr   k dr
 (k ) 
g
(
r
)
*
f
(
k
,
r
)
exp


k 0

k


Bestimmung von g(r) aus NOP χ(r) → inverse Aufgabe
Beispiel: Cm3+ in wässriger Lösung
Bei ROBL am ESRF in Grenoble wurden
• EXAFS-Spektren von Cm3+ in wässriger
Lösung aufgenommen
• das NOP aus dem Spektrum bestimmt
• Mit Hilfe der Regularisierungsmethode bei
optimalem Regularisierungsparameter konnte
die Koordinationszahl mit 9.2 bestimmt
werden
Bisherige (Fit)-Methoden ergaben in
Abhängigkeit von Fit–Parametern Werte
zwischen 8.4 und 9.3
4
2
(k)k 3
Das langlebige Curium-Isotop spielt wichtige
Rolle in Nuklearmülllagern, die Frage, von
wievielen Sauerstoffatomen es in wässriger
Lösung umgeben ist, hat Bedeutung für die
Abschätzung seiner Mobilität.
0
-2
-4
4
5
k,[Å-1]
6
7
8
Literatur
1.
2.
3.
4.
5.
Numerical Recipes in Fortran, Cambridge University Press 1992, S.51 (FZD: I 2038)
Rank-Deficient and Discrete Ill-Posed Problems: Numerical Aspects of Linear Inversion, Hansen,
P.C., 1998, SIAM monographs on mathematical modeling and computation, ISBN 0-89871-403-6
Hansen, P.C. The L-Curve and its Use in the Numerical Treatment of Inverse Problems
(http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/views/publication_details.php?id=449)
Matlab Software for Regularization of Discrete Ill-Posed Problems
(http://www2.imm.dttu.dk/~pch/Regtools/index.html
http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/loadFile.do?objectId=52&objectType=file)
Zeitschriften:
•
•
Inverse Problems, Elektonische Zeitschrift des IOP (Institut of Physics) zum Themenkreis Inverse
Probleme: http://www.iop.org/EJ/journal/IP (seit 1985)
Journal of Inverse and Ill Posed Problems, http://www.ingentaconnect.com/content/09280219