Monte Carlo-Algorithme - Fachbereich Mathematik

TU Kaiserslautern
Fachbereich Mathematik
Klaus Ritter
SS 2014
22.04.14
1. Aufgabenblatt zur Vorlesung
Monte Carlo-Algorithmen“
”
1. Machen Sie sich mit der Benutzung des Mersenne Twisters und ggf. weiterer Generatoren aus
Ihrer Standard-Software vertraut.
2. Welche Eigenschaften erwarten Sie von Zufallszahlen? Nutzen Sie Ihre Vorkenntnisse aus der
Stochastik. Machen Sie Experimente.
Besprechung: 23.04.14
TU Kaiserslautern
Fachbereich Mathematik
Klaus Ritter
SS 2014
23.04.14
2. Aufgabenblatt zur Vorlesung
Monte Carlo-Algorithmen“
”
1. Für n ∈ N und eine auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariable U definieren wir
Ai = [(2i − 1)/2n , 2i/2n [
sowie
2n−1
Xn =
∑ 1Ai (U) .
i=1
a) Zeigen Sie, daß die Zufallsvariablen Xn eine unabhängige Folge bilden und jeweils gleichverteilt
auf {0, 1} sind.
b) Betrachten Sie umgekehrt eine unabhängige Folge von Zufallsvariablen Xn , die jeweils auf {0, 1}
gleichverteilt sind, und zeigen Sie, daß die durch
∞
U=
∑ Xn/2n
n=1
definierte Zufallsvariable gleichverteilt auf [0, 1] ist.
2. Für n ∈ N und unabhängige, jeweils auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariablen U und V definieren
wir
Yn = U + nV − bU + nV c ∈ [0, 1[ .
Beweisen Sie, daß die Zufallsvariablen Yn gleichverteilt auf [0, 1] und paarweise unabhängig sind.
3. Ein Kasino bietet folgendes Spiel an: In jeder Spielrunde erhalten Sie mit Wahrscheinlichkeit p den
verdoppelten Einsatz oder verlieren mit Wahrscheinlichkeit 1− p Ihren Einsatz. Dabei ist 0 < p ≤ 1/2,
beim Roulette-Spiel gilt beispielsweise p = 18/37.
Sie betreten das Kasino mit Startkapital x > 0 und verlassen das Kasino
• entweder, wenn Ihr Kapital einen vorgegebenen Wert z > x erreicht oder überschritten hat,
• oder, wenn Sie bankrott sind.
Entwickeln, simulieren und vergleichen Sie verschiedene Spielstrategien. Betrachten Sie etwa die
relative Erfolgshäufigkeit in Abhängigkeit von x, z und der gewählten Strategie, beispielsweise für
x = 100 und z = 150 oder z = 300. Naheliegend sind folgende Forderungen: man kann höchstens
soviel einsetzen, wie man gegenwärtig besitzt, und alle Größen (z, x, Einsätze) sind natürliche Zahlen.
4. Gegeben sei eine große natürliche Zahl k, etwa k = 1010 . Berechnen Sie näherungsweise den Anteil
der Paare (a, b) ∈ {1, . . . , k}2 von teilerfremden Zahlen a und b.
Abgabe und Besprechung: 30.04.14
TU Kaiserslautern
Fachbereich Mathematik
Klaus Ritter
SS 2014
29.04.14
3. Aufgabenblatt zur Vorlesung
Monte Carlo-Algorithmen“
”
1. Für Zufallsvariablen X,Y ∈ L2 sowie a, b ∈ R sei Yba,b = a + bX, und es gelte σ (X) > 0 sowie
σ (Y ) > 0. Zeigen Sie, daß
inf E(Y − Yba,b )2 = E(Y − Yba∗ ,b∗ )2 = σ 2 (Y ) · 1 − ρ 2 (X,Y )
a,b∈R
mit
a∗ = E(Y ) − b∗ E(X) ,
b∗ =
Cov(X,Y )
σ 2 (X)
gilt.
2. Betrachten Sie für das Zählproblem aus Abschnitt 2.3 den durch
Mn ( f ) =
1
n
n
∑ f (Xi)
i=1
definierten randomisierten Algorithmus, der eine unabhängige Folge von jeweils auf {1, . . . , N} gleichverteilten Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn verwendet.
a) Zeigen Sie, daß Mn erwartungstreu ist und für alle f ∈ F den Fehler
S( f ) · (1 − S( f )) 1/2
∆ (Mn , f ) = σ (Mn ( f )) =
n
besitzt.
b) Es gelte N = k n mit k ∈ N. Betrachten Sie den ebenfalls erwartungstreuen randomisierten Algoen aus Abschnitt 2.3 und zeigen Sie, daß
rithmus M
en ( f )) = σ 2 (Mn ( f )) −
σ 2 (M
1
n2
n
∑ (vi( f ) − S( f ))2
i=1
für alle f ∈ F gilt.
3. Gegeben seien N, K, n ∈ N mit K ≤ N und n ≤ N. Eine reellwertige Zufallsvariable X heißt hypergeometrisch verteilt mit den Parametern N, K, und n, falls
K
N −K
N
P({X = k}) =
k
n−k
n
für k ∈ N mit max(0, n − N + K) ≤ k ≤ min(n, K) gilt.
a) Sei G = {1, . . . , N} und f : G → {0, 1}. Für A ⊂ G setzen wir
f [A] =
∑ f (x).
x∈A
Sei Yn eine auf Gn = {A ⊂ G | |A| = n} gleichverteilte Zufallsvariable. Zeigen Sie, daß die Zufallsvariable f [Yn ] hypergeometrisch mit den Parametern N, K = f [G] und n verteilt ist.
b) Zeigen Sie
E(X) =
nK
,
N
σ 2 (X) =
n (N − n) (N − K) K
N 2 (N − 1)
für den Erwartungswert und die Varianz einer hypergeometrisch mit den Parametern N, K und n
verteilten Zufallsvariablen X.
4. Unter Verwendung der Notation aus Aufgabe 2.2 a) definieren wir Algorithmen für das Zählproblem aus Abschnitt 2.3 durch
Mc,n ( f ) = 1/2 + c ( f [Yn ] − n/2) ,
wobei wir c ∈ R und 0 < n < N annehmen.
a) Zeigen Sie, daß Mc,n genau dann erwartungstreu ist, wenn c = 1/n gilt.
b) Zeigen Sie, daß Mc,n für f ∈ F den Fehler
∆ (Mc,n , f ) = (1 − c n)2 (S( f ) − 1/2)2 + c2
1/2
n (N − n)
(1 − S( f )) · S( f )
N −1
besitzt. Bestimmen Sie den maximalen Fehler sup f ∈F ∆ (Mc,n , f ) von Mc,n auf F.
c) Zeigen Sie für die Wahl
c∗ = n + (n (N − n)/(N − 1))1/2
−1
,
daß
sup ∆ (Mc∗ ,n , f ) = inf sup ∆ (Mc,n , f ) = 1/2 · 1 + (n (N − 1)/(N − n))1/2
f ∈F
c∈R f ∈F
gilt. Was bedeutet dies für große Werte von N?
Abgabe und Besprechung: 07.05.14
−1
TU Kaiserslautern
Fachbereich Mathematik
Klaus Ritter
SS 2014
06.05.14
4. Aufgabenblatt zur Vorlesung
Monte Carlo-Algorithmen“
”
1. Gegeben seien α, β ∈ ]0, 1[ sowie die endliche Menge E = {1, . . . , K}. Betrachten Sie das durch
Q({k}) = c · α k ,
k∈E,
mit geeigneter Konstante c > 0 festgelegte Wahrscheinlichkeitsmaß Q auf E sowie die Funktion
f : E → R mit f (k) = β k für k ∈ E.
a) Bestimmen Sie c und den Erwartungswert a = ∑K
k=1 f (k) · Q({k}) der Zufallsvariablen f .
b) Sei U gleichverteilt auf [0, 1] und g : [0, 1] → [0, K] definiert durch
g(u) = (ln α)−1 · ln(1 − u · (1 − α K )),
u ∈ [0, 1] .
Zeigen Sie, daß die Zufallsvariable Z = dg(U)e die Verteilung Q besitzt.
c) Betrachten Sie für die direkte Simulation zur näherungsweisen Berechnung von a die Basisexperimente Y (1) = f (Z) und Y (2) = K · f (X) · Q({X}) mit einer auf E gleichverteilten Zufallsvariablen
X. Vergleichen Sie die beiden Basisexperimente hinsichtlich Varianz, Kosten und dem Produkt aus
Kosten und Varianz, und führen Sie Experimente durch.
2. Betrachten Sie die erste der beiden Monte Carlo-Methoden zur Berechnung von π, die in Abschnitt 3.2.1 vorgestellt wurden. Zeigen Sie, daß die Approximation des Viertelkreises B durch ein
einbeschriebenes Dreieck und die Verminderung des Quadrates G um ein geeignetes Dreieck zu einer
Methode mit reduzierter Varianz führt. Wie läßt sich die neue Methode implementieren, so daß der
Vorteil reduzierter Varianz erhalten bleibt?
3. Implementieren Sie die in Abschnitt 3.2.2 beschriebene Monte Carlo-Methode zur numerischen
Integration für G = [0, 1]d und führen Sie unter anderem Experimente mit den Genz-Funktionen in
verschiedenen Dimensionen d durch. Stellen Sie Ihre Ergebnisse auch graphisch dar.
4. Betrachten Sie die Trapezregel
1
Tn+1 ( f ) =
n
n−1
!
f (0)/2 + ∑ f (i/n) + f (1)/2
i=1
zur Approximation des Integrals von Funktionen f : [0, 1] → R.
a) Zeigen Sie, daß
Z 1
1
0 f (x) dx − Tn+1 ( f ) ≤ 4n · L
für Lipschitz-stetige Funktionen f mit Lipschitz-Konstante L gilt.
b) Leiten Sie für Funktionen f ∈ C2 ([0, 1]) eine asymptotisch bessere Abschätzung her.
Abgabe und Besprechung: 14.05.14
TU Kaiserslautern
Fachbereich Mathematik
Klaus Ritter
SS 2014
12.05.14
5. Aufgabenblatt zur Vorlesung
Monte Carlo-Algorithmen“
”
1. Berechnen Sie näherungsweise den Erwartungswert der Fläche eines Dreiecks, dessen Eckpunkte drei zufällige Punkte aus dem Einheitsquadrat sind. Nach dem in Abschnitt 3.2.3 Gesagten ist
V (Quadrat) = 11/144 der gesuchte Wert.
Verwenden Sie, daß
1
f (x) = |x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 − x1 y3 − x2 y1 − x3 y2 |
2
die Fläche des Dreiecks mit den Ecken (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) und (x3 , y3 ) ist. Zu berechnen ist also
Z
V (Quadrat) =
[0,1]6
f (x) dx .
2. Sei Ω die Menge aller Permutationen von {1, . . . , n}, P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Potenzmenge von Ω und Xi (ω) = ωi für ω ∈ Ω und i = 1, . . . , n.
a) Zeigen Sie, daß P genau dann die Gleichverteilung auf Ω ist, wenn
P({X1 = x}) = 1/n
und
P({Xi = x} | {X1 = x1 } ∩ · · · ∩ {Xi−1 = xi−1 }) = 1/(n − i + 1)
für i = 2, . . . , n und alle paarweise verschiedenen x, x1 , . . . , xi−1 ∈ {1, . . . , n} gilt.
b) Entwerfen Sie einen Algorithmus, der zufällige Permutationen von {1, . . . , n} gemäß der Gleichverteilung erzeugt. Analysieren Sie die Kosten Ihres Algorithmus.
3. Bestimmen sie näherungsweise die Anzahl aller fixpunktfreien Permutationen von {1, . . . , n} mit
n = 1000.
4. Betrachten Sie ein Cox-Ross-Rubinstein-Modell mit
X0 = 1 ,
T = 1000 ,
u = 1.01 ,
d = 0.99 ,
r = 6 · 10−5 .
Bewerten Sie einen Europäischen Call mit Ausübungspreis
K = 0.5
und die entsprechende up-and-out Option mit Barriere
L = 2.
Bestimmen Sie eine Barriere, so daß der zugehörige up-and-out Call etwa halb so teuer wie der Call
ist.
Abgabe und Besprechung: 21.05.14
TU Kaiserslautern
Fachbereich Mathematik
Klaus Ritter
SS 2014
15.05.14
6. Aufgabenblatt zur Vorlesung
Monte Carlo-Algorithmen“
”
1. Sei Y eine Zufallsvariable mit 0 ≤ Y ≤ 1. Zeigen Sie, daß σ 2 (Y ) ≤ 1/4 und daß Gleichheit genau
dann vorliegt, wenn Y die Werte 0 und 1 jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/2 annimmt.
2. Sei f : G → R eine beschränkte meßbare Funktion auf einer Menge G ⊂ Rd mit 0 < λ d (G) < ∞.
Bekannt sei die Schranke supRx∈G | f (x)| ≤ c. Betrachten Sie die klassische Monte Carlo-Methode Dn
zur Approximation von a = G f (x) dx, und bestimmen Sie für ε > 0 und 0 < δ < 1 eine (möglichst
kleine) Anzahl n von Wiederholungen, so daß
P({|Dn − a| ≥ ε}) ≤ δ
gilt.
Berechnen Sie für konkrete Funktionen f und ε = 10−2 sowie δ = 1/20 durch direkte Simulation die
entsprechende Wahrscheinlichkeit P({|Dn − a| ≥ ε}) und vergleichen Sie diese mit δ .
3. Sei n ∈ N ungerade und α ∈ ]0, 1/2[. Betrachten Sie die n-malige Wiederholung eines Basisexperiments, das mit Wahrscheinlichkeit 1/2 + α einen gesuchten Wert a liefert. Beweisen Sie: die
Wahrscheinlichkeit, in mehr als der Hälfte der Wiederholungen des Basisexperiments den Wert a zu
erhalten, beträgt mindestens 1 − exp(−2α 2 · n).
4. Zeigen Sie folgende Verallgemeinerung der Hoeffding-Ungleichung. Sei X1 , . . . , Xn eine unabhängige Folge von Zufallsvariablen, die 0 ≤ Xi ≤ 1 sowie 0 < E(Xi ) < 1 erfüllen. Wir definieren
M=
1
n
n
∑ Xi ,
i=1
a=
1
n
n
∑ E(Xi) .
i=1
Dann gilt für alle ε ∈ ]0, 1 − a[ und n ∈ N
P({M − a ≥ ε}) ≤ exp(−n · H(ε, a)) ,
wobei H(ε, a) wie in Satz 3.10 definiert ist.
Abgabe und Besprechung: 28.05.14
TU Kaiserslautern
Fachbereich Mathematik
Klaus Ritter
SS 2014
22.05.14
7. Aufgabenblatt zur Vorlesung
Monte Carlo-Algorithmen“
”
1. Ergänzen Sie eine Auswahl Ihrer bisher durchgeführten Experimente um die Angabe von (asymptotischen) Konfidenzintervallen. Berechnen Sie bei der direkten Simulation immer auch die empirische Varianz und damit eine Schätzung des Fehlers der Methode.
2. Entwerfen und implementieren Sie einen Algorithmus zur Simulation der Arkussinus-Verteilung,
die durch die Dichte
(
1/π · (x · (1 − x))−1/2 , falls 0 < x < 1 ,
h(x) =
0,
sonst ,
gegeben ist.
3. Gegeben sei eine Zufallsvariable X und reelle Zahlen a < b mit P({X ∈ ]a, b]}) > 0. Betrachten
Sie die durch
Q(A) = P({X ∈ A} | {X ∈ ]a, b]})
für meßbare Mengen A ⊂ R definierte sogenannte bedingte Verteilung von X gegeben {X ∈ ]a, b]}.
Modifizieren Sie die Inversionsmethode zur Simulation von PX , so daß Sie eine Methode zur Simulation von Q erhalten.
4. a) Stellen Sie Berechnungen zur Neutronendiffusion durch eine Platte aus Blei an und vergleichen Sie Ihre Rechenergebnisse mit den Abbildungen 4.1 bis 4.3. Was ergeben analoge Rechnungen, wenn man Blei durch das Kalium-Isotop 41 K ersetzt? Der Absorptionsquerschnitt ist dann
σab = 1, 2 · 10−24 cm2 , der Streuquerschnitt ist σst = 1, 46 · 10−24 cm2 .
b) Es scheint plausibel, daß bei großen Wanddicken h für die entsprechenden Durchgangswahrscheinlichkeiten p(+) (h) ≈ α h mit α ∈ ]0, 1[ gilt. Bestimmen Sie unter dieser Annahme einen Näherungswert für α auf Basis Ihrer Simulationsergebnisse.
Abgabe und Besprechung: 04.06.14
TU Kaiserslautern
Fachbereich Mathematik
Klaus Ritter
SS 2014
02.06.14
8. Aufgabenblatt zur Vorlesung
Monte Carlo-Algorithmen“
”
In den folgenden beiden Aufgaben betrachten wir das Ruinproblem mit seiner Modellierung gemäß
Beispiel 3.21.
1. Für t, x ∈ N sei f (x,t) = P({T ≤ t} ∩ {XT = z}) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Spieler mit
Startkapital x bis zur Zeit t sein Zielkapital z erreicht hat.
a) Beweisen Sie für t ≥ 2 die Rekursionsformel
f (x,t) = p · f (x + 1,t − 1) + (1 − p) · f (x − 1,t − 1) .
b) Entwickeln und implementieren Sie einen Algorithmus zur Berechnung und graphischen Darstellung der Funktion x 7→ f (x,t).
2. Zeigen Sie, daß durch S = inf{t ∈ N | Vt = Vt+1 } keine Stoppzeit bezüglich (Vt )t∈N definiert wird.
3. Wir betrachten eine Variante des Ruinproblems: der Spieler spielt mit Startkapital x = 1 bis zum
Bankrott. Untersuchen Sie per direkter Simulation für p = 1/2 die mittlere Spieldauer.
4. Seien S, T : Ω → N∞ Stoppzeiten bezüglich einer Folge (Vt )t∈N von reellwertigen Zufallsvariablen.
a) Zeigen Sie, daß AT eine σ -Algebra ist.
b) Zeigen Sie AS ⊂ AT , falls S(ω) ≤ T (ω) für alle ω ∈ Ω.
Abgabe und Besprechung: 11.06.14
TU Kaiserslautern
Fachbereich Mathematik
Klaus Ritter
SS 2014
10.06.14
9. Aufgabenblatt zur Vorlesung
Monte Carlo-Algorithmen“
”
1. Sei T : Ω → N∞ eine Stoppzeit bezüglich einer unabhängigen Folge (Vt )t∈N von reellwertigen Zufallsvariablen, und gelte P({T < ∞}) = 1. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Verallgemeinerung
von Satz 3.24:
P(A ∩ A0 ) = P(A) · P(A0 ) ,
A ∈ AT , A0 ∈ A0T .
2. Die Gammaverteilung mit Parametern α, β > 0 besitzt die Quasi-Dichte
(
xα−1 · exp(−β x) , falls x > 0 ,
h(x) =
0,
sonst .
a) Entwerfen und implementieren Sie einen auf der Verwerfungsmethode beruhenden Algorithmus
zur Simulation der Gammaverteilung im Falle α ≥ 1. Bestimmen Sie die Akzeptanzwahrscheinlichkeit Ihres Algorithmus.
b) Entwerfen und implementieren Sie einen Algorithmus zur Simulation der Gammaverteilung im
Falle 0 < α < 1. Hinweis: Kombinieren Sie die Verwerfungsmethode mit der Kompositionsmethode,
siehe Müller-Gronbach, Novak, Ritter (2012, p. 128).
3. Betrachten Sie unabhängige Zufallsvariablen U1 , . . . ,Ud , die jeweils auf [0, 1] gleichverteilt sind.
Die zugehörige Ordnungs-Statistik (U(1) , . . . ,U(d) ) ergibt sich durch Anordnen der Werte von U1 , . . . ,
Ud in aufsteigender Reihenfolge.
a) Zeigen Sie, daß (U(1) , . . . ,U(d) ) gleichverteilt auf dem Simplex {x ∈ [0, 1]d | x1 ≤ · · · ≤ xd } ist.
b) Sei Xi = U(i) − U(i−1) mit U(0) = 0. Zeigen Sie, daß (X1 , . . . , Xd ) gleichverteilt auf dem Simplex
S = {x ∈ [0, 1]d | ∑di=1 xi ≤ 1} ist.
4. Entwerfen und implementieren Sie Algorithmen zur Simulation der Gleichverteilung auf folgenden
Mengen:
a) Ellipsen in R2 ,
b) Trapeze in R2 ,
c) Dreiecke in R2 ,
d) Einheitskugel in Rd .
Diskutieren Sie auch die Kosten Ihrer Algorithmen. Bei d) sollten die Kosten proportional zur Dimension d sein.
Abgabe und Besprechung: 18.06.14
TU Kaiserslautern
Fachbereich Mathematik
Klaus Ritter
SS 2014
17.06.14
10. Aufgabenblatt zur Vorlesung
Monte Carlo-Algorithmen“
”
1. Zeigen Sie, daß (Xt )t∈{0,...,T } genau dann eine zeit-diskrete eindimensionale Brownsche Bewegung
mit Startwert null und Zeithorizont T ist, wenn (X0 , . . . , XT ) normalverteilt mit Erwartungswert null
und Kovarianzmatrix Σ = (min(s,t))0≤s,t≤T ist.
2. Für 0 < β < 1 und s,t ≥ 0 sei
K(s,t) = 1/2 · s2β + t 2β − |s − t|2β .
Ferner sei
Σ = (K(ti ,t j ))1≤i, j≤d
mit fest gewählten Punkten 0 < t1 < · · · < td .
a) Zeigen Sie, daß Σ im Falle β = 1/2 positiv definit ist. Ergänzung: die positive Definitheit gilt auch
für β 6= 1/2.
b) Simulieren Sie einen d-dimensionalen Zufallsvektor X, der normalverteilt mit Erwartungswert null
und Kovarianzmatrix Σ ist. Wählen Sie etwa d = 100 oder d = 1000, ti = i/d und β = 0.1, . . . , 0.9.
Plotten Sie für verschiedene Realisierungen von X die stückweise lineare Interpolation der Daten
(ti , Xi (ω)), wobei t0 = X0 = 0 gesetzt sei.
3. Gegeben sei eine unabhängige Familie von jeweils standard-normalverteilten Zufallsvariablen
Z0 , Z1,1 , Z2,1 , Z2,3 , . . . . . . , Zm,1 , Zm,3 , . . . , Zm,2m −1 .
Wir definieren X0 = 0, X2m = 2m/2 · Z0 und rekursiv
Xi·2m−` = (X(i−1)·2m−` + X(i+1)·2m−` )/2 + 2(m−`)/2 · Z`,i
für ` = 1, . . . , m und i = 1, 3, . . . , 2` − 1.
a) Zeigen Sie, daß (Xt )t∈{0,...,2m } eine zeit-diskrete eindimensionale Brownsche Bewegung mit Startwert null und Zeithorizont 2m ist.
b) Implementieren Sie einen entsprechenden Algorithmus für die Simulation der Brownschen Bewegung.
(1)
4. Betrachten Sie ein Black-Scholes-Modell mit zwei Aktien, deren Anfangspreise x0 = 100 und
(2)
x0 = 120 betragen. Ferner seien r = 0.06 und
0.3 0.1
L=
0.0 0.2
die auf ein Jahr bezogene Zinsrate bzw. Volatilitätsmatrix. Bewerten Sie eine Basket-Option mit Aktienanteilen α1 = 1 und α2 = 2, mit Ausübungspreis K = 350 und Ausübungszeitpunkt in einem Jahr.
Abgabe und Besprechung: 25.06.14
TU Kaiserslautern
Fachbereich Mathematik
Klaus Ritter
SS 2014
25.06.14
11. Aufgabenblatt zur Vorlesung
Monte Carlo-Algorithmen“
”
1. Die Zufallsvariable X besitze eine Pareto-Verteilung mit Parametern α und κ.
a) Sei γ > 0. Zeigen Sie, daß X γ genau dann integrierbar ist, wenn γ < α erfüllt ist.
b) Bestimmen Sie die Lebesgue-Dichte der Verteilung von X und zeigen Sie E(X) = κ/(α − 1) im
Falle α > 1 sowie
κ2 · α
σ 2 (X) =
,
(α − 1)2 · (α − 2)
für α > 2.
2. Betrachten Sie das Cramér-Lundberg-Modell mit dem Zeithorizont T > 0.
a) Entwickeln und implementieren Sie einen Algorithmus zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit,
daß der Gesamtschaden zur Zeit T eine Schranke s > 0 übersteigt.
b) Entwickeln und implementieren Sie einen Algorithmus zur Simulation und graphischen Darstellung von Pfaden des Risikoreserveprozesses (Rt )t∈[0,T ] .
c) Entwickeln und implementieren Sie einen Algorithmus zur Berechnung der Ruinwahrscheinlichkeit.
Stellen Sie in a), b), c) die Pareto-Verteilung, die Lognormalverteilung und die Gammaverteilung als
Schadenshöhenverteilung zur Verfügung und führen Sie Vergleiche durch.
3. Sei G = ]0, 1[2 . Entwickeln und implementieren Sie einen Algorithmus zur Visualisierung des
harmonischen Maßes auf ∂ G zu einem frei wählbaren Startwert x ∈ G.
4. Für Punkte (z1 , y1 ), . . . , (zn , yn ) ∈ R2 , die |{z1 . . . , zn }| > 1 erfüllen, setzen wir
b∗ =
∑ni=1 yi zi − 1/n ∑ni=1 yi · ∑ni=1 zi
2
∑ni=1 z2i − 1/n (∑ni=1 zi )
und
1
g(t) =
n
n
1
t−
n
∑ y i + b∗
i=1
n
!
∑ zi
,
t ∈ R.
i=1
Die Funktion g definiert die sogenannte Regressionsgerade zu den Punkten (yi , zi ). Zeigen Sie mit
Hilfe des Ergebnisses aus Aufgabe 3.1, daß
n
n
i=1
i=1
∑ (yi − g(zi))2 ≤ ∑ (yi − h(zi))2
für jede affin-lineare Funktion h gilt.
Abgabe und Besprechung: 02.07.14
TU Kaiserslautern
Fachbereich Mathematik
Klaus Ritter
SS 2014
03.07.14
12. Aufgabenblatt zur Vorlesung
Monte Carlo-Algorithmen“
”
1. a) Betrachten Sie einen d-dimensionalen Zufallsvektor X, der symmetrisch verteilt bezüglich µ ∈
Rd ist, und eine Funktion f : Rd → R, so daß f (X) quadratisch integrierbar ist. Zeigen Sie
σ 2 (Ye ) < 12 σ 2 (Y )
⇔
Cov( f (X), f (2µ − X)) < 0
für die Zufallsvariablen Y = f (X) und Ye = fg (X).
b) Zeigen Sie ferner, daß im Falle d = 1 die strenge Monotonie von f hinreichend für σ 2 (Ye ) <
1 2
2 σ (Y ) ist.
2. Sei h eine stetige positive Lebesgue-Dichte auf R und bezeichne H die zugehörige Verteilungsfunktion. Zeigen Sie
Z
f (x) · h(x) dx =
Z 1
f (H −1 (x)) dx
0
R
für f : R → R, falls das Lebesgue-Integral von f · h über R existiert.
3. Betrachten Sie die Bewertung eines asiatischen Calls mit Ausübungspreis K und Ausübungszeitpunkt T ∈ N in einem eindimensionalen zeitdiskreten Black-Scholes-Modell X = (X0 , . . . , XT ) mit
Anfangswert x0 > 0, Volatilität σ > 0 und Zinsrate r > 0 unter Verwendung der Zufallsvariablen
c̃(X) =
T
∏ Xt
1/T
−K
+
t=1
e n,b mit Basisexpeals control variate, siehe Beispiel 5.13. Implementieren Sie die direkte Simulation D
riment Yeb und die Methode Mn gemäß (5.5) sowie die zugehörigen asymptotischen Konfidenzintervalle. Wählen Sie die Parametereinstellungen aus Beispiel 4.25, und führen Sie numerische Experimente
e 2n,0 mit den Verfahren D
e n,b und Mn durch.
zum Vergleich der Methode D2n = D
Abgabe und Besprechung: 09.07.14
TU Kaiserslautern
Fachbereich Mathematik
Klaus Ritter
SS 2014
08.07.14
13. Aufgabenblatt zur Vorlesung
Monte Carlo-Algorithmen“
”
1. Im folgenden werden die Bezeichnungen aus Abschnitt 5.3 verwendet. Bei der praktischen Durchprop
führung der Methode Mn des stratified sampling mit proportionalen Wiederholungsanzahlen betrachten wir das Verfahren
n
m 1 j
( j) prop
Mn = ∑ p j ·
∑ f Xi
n j i=1
j=1
mit n j = dp j · ne für j = 1, . . . , m.
a) Zeigen Sie, daß die Zufallsvariablen
n1/2
· (Mnprop − a)
m
2
1/2
(∑ j=1 p j · σ j )
asymptotisch standard-normalverteilt sind.
b) Konstruieren Sie asymptotische Konfidenzintervalle der Form
[Mnprop − Ln , Mnprop + Ln ]
zum Niveau 1 − δ für a.
2. Entwerfen und implementieren Sie einen Algorithmus zum stratified sampling im Cox-RossRubinstein-Modell, wobei die Schichten durch die möglichen Endpreise der Aktie definiert sind.
3. Wir vergleichen das Verhalten der Methoden Dn,n und Mn aus Abschnitt 5.5 für quadratisch integrierbare Funktionen f : [0, 1] → R, die wenig Glattheit besitzen.
a) Zeigen Sie
∆(Mn , f ) ≤ k f k2 · n−1/2 .
b) Konstruieren Sie eine Funktion f mit limn→∞ ∆(Dn,n , f ) = ∞.
c) Fomulieren Sie Bedingungen an f , die hinreichend für die Konvergenz von ∆(Dn,n , f ) gegen null
sind.
d) Untersuchen Sie analytisch oder durch numerische Experimente das Konvergenzverhalten von Dn,n
für die Funktion
(
xα−1 , für x ∈ ]0, 1] ,
f (x) =
0,
für x = 0 ,
wobei α ∈ ]1/2, 1[.
4. Zeigen Sie, daß die Methode Mn der zufälligen Riemann-Summen für Hölder-stetige Funktionen
mit Exponent β mindestens die Konvergenzordnung β + 1/2 besitzt.
Abgabe und Besprechung: 16.07.14
TU Kaiserslautern
Fachbereich Mathematik
Klaus Ritter
SS 2014
17.07.14
14. Aufgabenblatt zur Vorlesung
Monte Carlo-Algorithmen“
”
1. a) Sei δ > 0. Konstruieren Sie stetig differenzierbare Approximationen g der Betragsfunktion auf
R, die supx∈R ||x| − g(x)| ≤ δ , supx∈R |g0 (x)| = 1 und g(0) = 0 bzw. g(x) = |x| für |x| ≥ δ erfüllen.
b) Benutzen Sie Teil a), um die in den Beweisen der Sätze 7.8 und 7.36 verwendeten Funktionen f1
bzw. gi zu konstruieren.
2. Betrachten Sie die klassische direkte Simulation Dn auf Fd1 .
p
a) Zeigen Sie ∆ (Dn , f ) = d/(12n) für f (x) = ∑di=1 (xi − 1/2).
b) Sei X gleichverteilt auf [0, 1]d . Zeigen Sie σ 2 ( f (X)) ≤ d/12 für f ∈ Fd1 , und folgern Sie, daß
p
∆ (Dn , Fd1 ) = d/(12n) .
3. Betrachten Sie das Integrationsproblem für die Menge F der monotonen Funktionen f : [0, 1] →
[0, 1] mit f (0) = 0 und f (1) = 1, und beweisen Sie folgende Aussagen.
a) Die Quadraturformel
1 n
1
+
Qn ( f ) =
∑f
2n + 2 n + 1 i=1
i
n+1
besitzt den Fehler ∆(Qn , F) = 1/(2n + 2).
b) Mit beliebigen deterministischen Algorithmen läßt sich kein kleinerer Fehler erreichen, denn es
gilt ẽdet
n (F) = 1/(2n + 2).
c) Mit adaptiven Monte Carlo-Methoden erreicht man die Konvergenzordnung 3/2. Konstruieren Sie
entsprechende Verfahren durch stratified sampling mit den Teilintervallen A j = [( j − 1)/m, j/m] und
Knotenzahlen n j , die vom Zuwachs f ( j/m) − f (( j − 1)/m) des Integranden f auf A j abhängen.
Abgabe und Besprechung: 23.07.14