M3 ET VU 2.Test 22 Jänner 2010

M3 ET VU 2.Test
↑Nachname↑
22 Jänner 2010
In die Kästchen
“J” bzw. “N” eintragen. Nicht ausgefüllte Kästchen
gelten als Fehler.
Matrikelnummer
(Deutlich)
Aufgabe 1) Jemand (er)findet folgende Aussage:
(∀x)(∀ε)(∃y) A(x, y, ε)
Welche der nachstehenden Behauptungen sind richtig?
(a) Es handelt sich um eine
(b) In Worten: Für alle x und alle ε
quantorenlogische Aussageform.
gilt A(x, y, ε)
(c) Äquivalent ist:
(d) Äquivalent ist:
(∀ε)(∀x)(∃y) A(x, y, ε).
(∀x)(∃y)(∀ε) A(x, y, ε).
(e) Die Negation lautet:
(∃ε)(∀x)(∀y) A(x, y, ε)
JNJNN
2) Es seien A, B und C beliebige Mengen. Welche der Behauptungen ist korrekt?
(a) Es ist
(b) Die Potenzmenge der Potenzmenge
((A ∪ B) ∩ C)0 = A0 ∩ (B 0 ∪ C 0 ).
von (A × (B \ C)) × (A \ C) ist eine
Menge.
(c) A \ (B × C) = ∅.
(d) (A × C) ∪ (A × B) = A × (B ∪ C).
(e) (A×B)∩(B×C) = (A∩B)×(B∩C).
NJNJJ
3) Im IR2 sei die Menge A := {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 1} gegeben.
Weiters soll R die Relation auf IR2 sein, die durch (a, b)R(c, d) genau dann
wenn a + b ≤ c + d gilt, festgelegt ist.
Weiters sei S die Relation auf IR, die durch xSy genau dann wenn (x, y) ∈ A
gilt, festgelegt ist.
Welche der nachfolgenden Aussagen treffen zu?
(a) R ist transitiv.
(c) R ist eine Halbordnung.
(e) S ist eine Äquivalenzrelation.
JNNNN
(b) R ist eine Äquivalenzrelation.
(d) S ist transitiv.
1)
Lösung: a) J.
b) N. Es wurde auf das y “vergessen”.
c) J. Die beiden ∀-Operatoren kann man vertauschen.
d) N. Wir testen mit der Aussage “ε = y” und einer mindestens 2-elementigen
Menge, die x, ε und y enthält. Die Originalaussage ist dann wahr, nicht jedoch
die vorliegende.
e) N. Es sei M = {1} eine einelementige Menge und A(x, y, ε) die Aussage
“(x = y) ∧ (y = ε)”. Mit diesem A(x, y, ε) ist sowohl die Ausgangsformel als
auch unsere Auffassung ihrer Negation richtig, was nicht sein kann.
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2)
Lösung: a) N. Für die Mengen X := {1, 2} als Grundmenge, A := X, sowie
B = C = {1} ergibt die linke Seite {2}, während die rechte Seite leer ist.
b) J. Induktion “nach der Struktur”: Durch Mengendifferenz und kartesische
Produktbildung von Mengen erhält man Mengen. Die Potenzmenge einer Menge
ist eine Menge, daher auch deren Potenzmenge.
c) N. Wählen A := {1, 2} × {1} und B = C := {1}. Dann ist die linke Seite
gleich {(2, 1)}, also nicht leer.
d) J. Es ist (x, y) ∈ linker Seite ⇔ ((x, y) ∈ A × C) ∨ ((x, y) ∈ A × B) ⇔
((x ∈ A) ∧ (y ∈ C)) ∨ ((x ∈ A) ∧ (y ∈ B)) ⇔ (x ∈ A) ∧ ((y ∈ C) ∨ (y ∈ B)) ⇔
(x ∈ A) ∨ (y ∈ C ∪ B) ⇔ (x, y) ∈ A × (B ∪ C).
e) J. Der BW. verläuft ähnlich wie im vorangegangenen Beispiel.
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3)
Lösung: a) J. Ist (a, b)R(c, d) und (c, d)R(e, f ) so ist a + b ≤ c + d und c + d ≤
e + f , somit a + b ≤ e + f , also (a, b)R(e, f ).
b) N. Es gilt zwar (0, 0)R(1, 0), jedoch nicht (1, 0)R(0, 0). Somit ist R nicht
symmetrisch, kann also keine Äquivalenzrelation sein.
c) N. Die Antisymmetrie gilt nicht: Es ist (1, 0)R(0, 1) und (0, 1)R(1, 0), jedoch
(1, 0) 6= (0, 1).
d) N. Es ist 1S0 und 0S1, jedoch ist ¬(1S1), weil (1, 1) 6∈ A.
e) N. S ist nicht transitiv, Wie in d) festgestellt worden ist.
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