Mathematik für die höhere Berufsfachschule
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Rolf Männel, Markus Heisterkamp Mathematik für die höhere Berufsfachschule Typ Wirtschaft und Verwaltung ⫺ Ausgabe NRW 1. Auflage Bestellnummer 32270 Haben Sie Anregungen oder Kritikpunkte zu diesem Produkt? Dann senden Sie eine E-Mail an [email protected]. Autoren und Verlag freuen sich auf Ihre Rückmeldung. Die in diesem Produkt gemachten Angaben zu Unternehmen (Namen, Internet- und E-MailAdressen, Handelsregistereintragungen, Kontonummern, Steuer-, Telefon- und Faxnummern und alle weiteren Angaben) sind i. d. R. fiktiv, d. h., sie stehen in keinem Zusammenhang mit einem real existierenden Unternehmen in der dargestellten oder einer ähnlichen Form. Dies gilt auch für alle Kunden, Lieferanten und sonstigen Geschäftspartner der Unternehmen wie z. B. Kreditinstitute, Versicherungsunternehmen und andere Dienstleistungsunternehmen. Ausschließlich zum Zwecke der Authentizität werden die Namen real existierender Unternehmen und z. B. im Fall von Kreditinstituten auch deren Bankleitzahlen, IBAN- und Swift-Codes verwendet. www.bildungsverlag1.de Bildungsverlag EINS GmbH Hansestraße 115, 51149 Köln ISBN 978-3-427-32270-2 © Copyright 2013: Bildungsverlag EINS GmbH, Köln Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu § 52a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. 3 Vorwort Das vorliegende Lehrbuch „Mathematik für die Höhere Berufsfachschule“ ist auf den Bildungsplan für das Fach Mathematik der zweijährigen Höheren Berufsfachschule, Typ Wirtschaft und Verwaltung (Höhere Handelsschule), in Nordrhein-Westfalen abgestimmt. Das Lehrwerk wurde so konzipiert, dass die sechs Kapitel inhaltlich exakt den sechs Anforderungssituationen im Bildungsplan des Landes NRW entsprechen. Das Buch kann jedoch auch an jeder anderen zur Fachhochschulreife führenden Höheren Berufsfachschule verwendet werden, in der die Themenbereiche Stochastik, Differenziation und Integration ganzrationaler Funktionen, lineare Algebra sowie Finanzmathematik zu behandeln sind. Die Kapitel setzen sich aus klassischen, bewährten Elementen und neuen, modernen Elementen zusammen, um den Kompetenzgedanken des Bildungsplans umzusetzen. Jedem Kapitel ist eine Einstiegsseite vorangestellt, die einen Überblick über die zu erwerbenden Kompetenzen gibt. Die Einführung neuer Lerninhalte erfolgt anhand anschaulicher Aufgaben mit ausführlich dargestellten Lösungen. Mit der detaillierten und anschaulichen Darstellung der zahlreichen Beispiele mit Lösungen soll den Schülern die Möglichkeit zur selbstständigen Erarbeitung und Wiederholung des Stoffes gegeben werden. Die gezeigten Lösungsverfahren sind Vorschläge, die nach Erfahrung und Neigung des Lehrers oder Schülers abgewandelt werden können. Die jeweils folgenden Übungsaufgaben sind dem Schwierigkeitsgrad nach geordnet. Den Abschluss eines Kapitels bilden eine knappe Zusammenfassung und vertiefende Aufgaben, mit denen der Lernerfolg diagnostiziert werden kann. Kompetenzicons in der Randspalte markieren Aufgaben und Textabschnitte, die sich in besonderer Weise auf die im Deutschen Qualifikationsrahmen für lebenslanges Lernen (DQR) verwendeten und im Bildungsplan aufgegriffenen Kompetenzkategorien beziehen. Kompetenz-Quadrate Mithilfe dieser Icons werden die Kompetenzen hervorgehoben, die in der jeweiligen Aufgabe im Vordergrund stehen oder besonders gefördert werden. Wissen Selbstständigkeit Fertigkeiten Soziale Kompetenz Grundsätzlich haben die vier im Lehrplan geforderten Kompetenzen eine feste Stellung im Kompetenzquadrat, der auch jeweils eine eigene Farbe zugeordnet wird. Kompetenzen, die in einer Aufgabe nicht den Schwerpunkt bilden oder nur am Rande gestreift werden, werden farbig nicht hinterlegt. Dem technischen Fortschritt wird in diesem Buch dadurch Rechnung getragen, dass Hilfsmittel wie Computerprogramme und grafikfähige Taschenrechner einbezogen werden. Es wurde jedoch zugunsten der Lesbarkeit der Beispiele darauf verzichtet, Tastfolgen und Bedienhinweise für Taschenrechner in den Lösungen anzugeben. Diese finden Sie in der elektronischen Beilage im Internet. Aus Gründen der Einfachheit verwenden wir in diesem Buch nur die männliche Schreibform; Schülerinnen sollen sich aber genauso angesprochen fühlen. Die Verfasser bitten alle Kollegen und Schüler, das Buch zu prüfen und durch Kritik zur Verbesserung beizutragen. Die Verfasser 4 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Von Daten zu Funktionen 1.1 1.2 1.3 1.4 1.4.1 1.4.2 1.5 1.6 1.7 Die Erhebung von Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . Absolute und relative Häufigkeiten . . . . . . . . . Aufbereitung von Daten durch Diagramme . . . . Statistische Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . Lagemaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Streuungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Von Daten zu Funktionen durch Regression . . . . Der Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung und übergreifende Aufgaben 2 Umgang mit Zufall und Wahrscheinlichkeit 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.5 Wahrscheinlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . Das empirische Gesetz der großen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . Der mathematische Wahrscheinlichkeitsbegriff . . . . . . . . . . . . . Mehrstufige Zufallsexperimente: Baumdiagramm und Pfadregeln Exkurs: Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . Permutationen, Kombinationen und Variationen . . . . . . . . . . . . Das Geburtstagsparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vermischte Aufgaben zur Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zufallsvariable und induzierte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . Die Streuungsmaße Varianz und Standardabweichung . . . . . . . . Binomialverteilte Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten . . . . . . . . . . . . . . . Die Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kenngrößen der Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Normalverteilung als Grenzverteilung der Binomialverteilung Zusammenfassung und übergreifende Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analysis: Funktionen und ihre Anwendungen 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.2 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Darstellungsformen linearer Funktionen . . . . . . . Eigenschaften linearer Funktionen . . . . . . . . . . . Berechnung einer linearen Funktionsgleichung . . Schnittpunkte linearer Funktionen . . . . . . . . . . . Ökonomische Anwendungen linearer Funktionen Quadratische Funktionen und Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 10 15 21 21 24 30 34 37 41 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 43 46 48 53 58 58 62 69 71 73 73 75 79 82 82 84 90 94 ........ 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 100 103 106 110 113 118 Inhaltsverzeichnis 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.3 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.5 3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.6 3.6.1 3.6.2 3.6.3 3.6.4 3.6.5 3.6.6 3.7 3.7.1 3.7.2 3.7.3 3.8 3.8.1 3.8.2 3.8.3 3.9 Grafische Darstellungen quadratischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenschaften quadratischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösen quadratischer Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechnerische Bestimmung einer quadratischen Funktionsgleichung . . . . . Abschnittsweise definierte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ökonomische Anwendungen von linearen und quadratischen Funktionen Kosten, Erlöse und Gewinne im Polypol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Monopolpreisbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Marktpreisbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ökonomische Anwendungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ganzrationale Funktionen höheren Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ganzrationale Funktionen höheren Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösen von Polynomgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ökonomische Anwendungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einführung in die Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Ableitung einer Funktion: von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extremstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wendepunkt und Sattelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kurvenuntersuchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendung der Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numerische Bestimmung von Nullstellen mit dem Newton-Verfahren . . . Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ökonomische Anwendungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exkurs: Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundbegriffe der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flächenberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ökonomische Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung und übergreifende Aufgaben zur Analysis . . . . . . . . . 4 Lineare Algebra 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.2 4.2 4.2.1 4.2.2 4.3 4.3.1 4.3.2 Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundbegriffe der Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verknüpfungen von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verknüpfungen von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ökonomische Anwendungen der Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . Kosten-, Erlös- und Verbrauchsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ökonomische Verflechtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Gauß‘sche Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösen von Gleichungssystemen durch Multiplikation mit der inversen Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung und übergreifende Aufgaben zur linearen Algebra . 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 125 128 141 143 147 147 151 156 160 160 162 163 171 175 176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 182 188 189 194 198 202 202 207 212 229 229 231 240 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 254 254 256 269 269 273 281 282 .... .... 285 289 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6 Inhaltsverzeichnis 5 Finanzmathematische Methoden 5.1 5.1.1 5.1.2 5.2 5.2.1 5.2.2 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.4 5.5 Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arithmetische und geometrische Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometrische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zinseszinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung des Endkapitals bei jährlichen Zeitabständen . . . . . . . . . . . Berechnung des Barwertes, des Zinssatzes und der Zeit . . . . . . . . . . . . Rentenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rentenendwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rentenbarwert und Umwandlung von Renten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapitalaufbau und Kapitalabbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tilgungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung und übergreifende Aufgaben zur Finanzmathematik 6 Themenübergreifende Vernetzung 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Ermittlung von Funktionen aus vorgegebenen Bedingungen . . . . . . . Analytische Bestimmung von Regressionskurven . . . . . . . . . . . . . . . Numerische Verfahren in der Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . . Untersuchung von stochastischen Prozessen durch Matrizenrechnung Weitere Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 301 305 308 308 310 315 315 319 324 326 332 . . . . . . . . . . . . . . . 338 342 346 349 353 337 . . . . . . . . . . Anhang 1: Mathematische Grundlagen zum Nachschlagen und Wiederholen 䊏 䊏 䊏 䊏 357 Dreisatz und Prozentrechnen Terme und Gleichungen Grundbegriffe der Mengenlehre Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Anhang 2: Tabellen zur Binomialverteilung 373 Bildquellenverzeichnis 382 Sachwortverzeichnis 383 Kapitel 3 Analysis: Funktionen und ihre Anwendungen Lernziele Nach Durcharbeiten dieses Kapitels sind Sie in der Lage, 䊏 die grundlegende Bedeutung der Analysis für inner- und außermathematische Anwendungsfelder zu erkennen, 䊏 mit Funktionen in unterschiedlichen Darstellungsformen zu arbeiten, 䊏 verschiedene mathematische Verfahren zur Untersuchung von ganzrationalen Funktionen situationsgerecht auszuwählen und durchzuführen, 䊏 Polynomgleichungen mit verschiedenen Verfahren exakt oder näherungsweise zu lösen, 䊏 die Konzepte der Differenzialrechnung in verschiedenen Kontexten anzuwenden, 䊏 betriebswirtschaftliche Problemstellungen durch Funktionen zu modellieren und mathematisch zu erschließen sowie 䊏 mathematische Modelle kritisch zu beurteilen und auf ihre Tauglichkeit zu prüfen. 3.3 Abschnittsweise definierte Funktionen 3.3 Abschnittsweise definierte Funktionen Alle bisher behandelten Funktionen waren durch eine geschlossene Funktionsgleichung darstellbar. Bei abschnittsweise definierten Funktionen gilt eine Funktionsgleichung nur für einen Teil des Definitionsbereiches (einen Abschnitt), für andere Teile des Definitionsbereiches gelten andere Funktionsgleichungen. Beispiel mit Lösung Aufgabe Gegeben sei die Funktion f (x) ⫽ 冦24 xx ⫹ 3 für x ⬍ 1 . für x ⱖ 1 a. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion. b. Berechnen Sie den Wert von f an den Stellen ⫺3, 1 und 10. Lösung a. Der obere Funktionsterm gilt nur für x ⬍ 1, d. h., die Gerade endet vor P (1 兩 5). Der zweite Abschnitt der Funktion beginnt mit dem x-Wert 1, d. h. im Punkt (1 兩 4). b. Berechnung von f (⫺3): Weil ⫺3 ⬍ 1 gilt, muss in den oberen Funktionsterm eingesetzt werden: f (⫺3) ⫽ 2 ⋅ (⫺3) ⫹ 3 ⫽ ⫺3. Berechnung von f (1): Hier gilt der untere Funktionsterm. f (1) ⫽ 4 ⋅ 1 ⫽ 4. Berechnung von f (10): Wegen 10 ⬎ 1 setzen wir ein: f (10) ⫽ 4 ⋅ 10 ⫽ 40. In der Zeichnung verdeutlicht man die Intervallgrenzen dadurch, dass an der Grenze ein hohler oder ein geschlossener Punkt gezeichnet wird. Der hohle Punkt (1 兩 5) bedeutet, dass dieser Punkt nicht zu dem Graphen von f (x) gehört. Der geschlossene Punkt (1 兩 4) dagegen gehört zum rechten Abschnitt des Funktionsgraphen. Diese Unterscheidung ist wichtig, weil eine Funktion definitionsgemäß jedem x-Wert nur einen y-Wert zuordnet. Daher dürfen nicht beide Endpunkte auf dem Graphen von f (x) liegen. 143 144 3 Analysis: Funktionen und ihre Anwendungen Häufig werden die Funktionsabschnitte so aneinandergesetzt, dass keine Sprünge zwischen den einzelnen Abschnitten entstehen, sondern nur ein Knick im Graphen auf eine abschnittsweise definierte Funktion hindeutet. Die im vorherigen Abschnitt benutzte Betragsfunktion ist ebenfalls eine abschnittsweise definierte Funktion. Das wird deutlich, wenn man sie ohne Betragsstriche notiert. Beispiel mit Lösung Aufgabe Schreiben Sie die Betragsfunktion f: x 哫 兩 x 兩 ohne Betragsstriche und zeichnen Sie den Graphen der Funktion. Lösung Für positive x-Werte liefert 兩 x 兩 den Wert selbst, für negative x-Werte wird ⫺x geliefert. Es ist also f (x) ⫽ 冦x⫺x für x ⱖ 0 . für x ⬍ 0 Abschnittsweise definierte Funktionen treten auch in ökonomischen Zusammenhängen auf, zum Beispiel bei gestaffelten Tarifen, Rabattstaffeln und ähnlichen Anwendungen. Beispiel mit Lösung Aufgabe Die Hans Hansen GmbH produziert Ersatzteile für Maschinen. Hierbei kommen zwei Fertigungsverfahren zum Einsatz: manuelle Fertigung oder die Produktion unter Verwendung automatischer Fräsmaschinen. Bei der manuellen Fertigung fallen geringe Fixkosten, jedoch hohe variable Kosten an, die Kostenfunktion lautet hierbei Km (x) ⫽ 21 x ⫹ 4. 3.3 Abschnittsweise definierte Funktionen Größere Aufträge werden mit den Automaten gefertigt, was hohe Fixkosten für die Einrichtung und Programmierung bedeutet, jedoch sind die variablen Kosten wegen des geringeren Personaleinsatzes niedriger. Die Kostenfunktion für automatische Fertigung lautet Ka (x) ⫽ 13 x ⫹ 52. a. Für welche Menge sind beide Verfahren gleich teuer? b. Geben Sie eine Kostenfunktion an, die jeder Menge x die niedrigeren Kosten K (x) zuordnet, und stellen Sie die Kostensituation grafisch dar. Lösung a. Gesucht ist der Schnittpunkt der Funktionen. Wir setzen die Kostenfunktionen gleich. Km (x) ⫽ Ka (x) 21 x ⫹ 4 ⫽ 13 x ⫹ 52 8 x ⫹ 4 ⫽ 52 8 x ⫽ 48 x⫽6 Bei der Produktion von 6 ME sind die Kosten für beide Verfahren gleich hoch. b. An der Stelle x ⫽ 6 müssen die Funktionen aneinandergesetzt werden. Bei Mengen unter 6 ME ist die manuelle Fertigung günstiger, bei darüber liegenden Mengen die automatische Fertigung. Damit erhalten wir: K (x) ⫽ x+4 冦21 13 x + 52 für 0 ⱕ x ⬍ 6 für x ⱖ 6 Hierbei ist es unerheblich, welchem Abschnitt der Wert 6 zugeordnet wird. Wichtig ist lediglich, dass für den x-Wert 6 nur ein Funktionswert definiert wird. In der Grafik ist Ka (x) gepunktet und Km (x) gestrichelt dargestellt. Der Graph der resultierenden Kostenfunktion K (x) verläuft für x-Werte zwischen 0 und 6 auf dem der Funktion Km (x), um abzuknicken und dem Graphen von Ka (x) zu folgen. 145 146 3 Analysis: Funktionen und ihre Anwendungen Aufgaben 1 Zeichnen Sie die Graphen zu den folgenden Funktionen und geben Sie die Funktionswerte an den Stellen x1 ⫽ ⫺3, x2 ⫽ 0, x3 ⫽ 1 und x4 ⫽ 4 an. ⫺4 x für x ⬍ 0 a f (x) ⫽ 2 x für x ⱖ 0 冦 冦 x−1 für x ⬍ 0 für 0 ⱕ x ⬍ 1 b f (x) ⫽ 2 x −2 x + 4 sonst c f (x) ⫽ 2 0,5 x 冦0,5 x 2 für x ⬍ 1 sonst Schreiben Sie die Funktionsgleichung ohne Betragsstriche und zeichnen Sie den Funktionsgraphen. a f (x) ⫽ 兩 x 兩 ⫹ 3 b f (x) ⫽ 兩 x ⫹ 3 兩 c f (x) ⫽ 兩 x ⫺ 1 兩 ⫹ 兩 x ⫺ 3 兩 3 Seit dem Jahr 2008 beträgt der Mindestbeitrag, den ein Arbeitnehmer in seinen Riester-Sparvertrag einzahlen muss, um die volle staatliche Förderung zu erhalten, 4 % des Bruttoeinkommens, maximal jedoch 2 100,00 EUR. Geben Sie eine Funktionsgleichung an, die dem Bruttoeinkommen (x-Wert) den Mindestbeitrag zuordnet. 4 Ein Energieversorger bietet zwei Tarife an, nach denen die Stromkosten abgerechnet werden können. Tarif 1: 144,00 EUR Grundgebühr im Jahr plus 0,19 EUR je kWh Tarif 2: 96,00 EUR Grundgebühr im Jahr plus 0,23 EUR je kWh a Welchen Tarif empfehlen Sie bei einem Jahresverbrauch von 1 000 kWh empfehlen und welchen Tarif bei einem Verbrauch von 3 500 kWh? b Geben Sie die Funktion f (x) an, welche einer Strommenge die nach dem jeweils günstigeren Tarif abgerechneten Kosten zuordnet und skizzieren Sie die Funktionsgraphen. 5 Ein Unternehmen bezieht ein bestimmtes Gut von einem Anbieter zu den folgenden Konditionen: Der Listeneinkaufspreis beträgt 2,00 EUR pro Stück, bei Abnahme von 100 Stück oder mehr werden 5 % Rabatt gewährt, bei Abnahme von mehr als 200 Stück beträgt der Rabatt 10 %. a Geben Sie eine Funktion K (x) an, welche einer Menge x den für diese Menge zu zahlenden Zieleinkaufspreis1) zuordnet. b Zeichnen Sie die Funktion K (x) für Mengen zwischen 0 und 300. c Für welche Mengen, für die eine Bestellung ungünstig erscheint? Wenn ja, geben Sie die Mengen an. 1) Der Zieleinkaufspreis ergibt sich als Listeneinkaufspreis abzüglich des Rabatts. 3.4 Ökonomische Anwendungen von linearen und quadratischen Funktionen 6 Ein Copyshop bietet Kopien und Laserdrucke zu folgenden Konditionen an: Die ersten zehn Kopien kosten 20 Cent je Stück, die nächsten vierzig Kopien kosten 10 Cent je Kopien und jede weitere Kopie kostet 5 Cent. a Geben Sie eine abschnittsweise definierte Funktion an, die diese Kostenstaffelung beschreibt. b Stellen Sie die Funktion grafisch dar. 7 Ein Handytarif beinhaltet bei einer monatlichen Grundgebühr von 9,90 EUR vierzig Freiminuten. Für jede weitere Minute werden 9 Cent berechnet. Geben Sie eine Funktion an, die den monatlichen Gesprächsminuten die Gesamtkosten zuordnet. 8 Bei der Deutschen Bahn gibt es neben vielen anderen Rabattierungen die Möglichkeit, drei verschiedene „Bahncards“ zu erwerben. Name Kosten1) pro Jahr Rabatt 0,00 I 0% Bahncard 25 61,00 I 25 % Bahncard 50 249,00 I 50 % Bahncard 100 4 090,00 I 100 % Ohne Bahncard a Stellen Sie eine Funktion auf, die den Jahreskilometern die Gesamtkosten unter Erwerb der jeweils günstigsten Bahncard zuordnet. Legen Sie dabei einen Kilometerpreis von 15 Cent zugrunde. b Wie verändert sich das Kostengefüge, wenn die Berechnungen mit einem Kilometerpreis von 20 Cent durchgeführt werden? c Recherchieren Sie die aktuellen Preise für die Bahncards und die Schwierigkeiten, einen durchschnittlichen Kilometerpreis festzulegen. 3.4 Ökonomische Anwendungen von linearen und quadratischen Funktionen 3.4.1 Kosten, Erlöse und Gewinne im Polypol Bereits bei den linearen Funktionen in Abschnitt 3.1.4 wurden Kosten- und Erlösfunktionen untersucht. Eine Kostenfunktion gibt für eine Menge x die Herstellungskosten K (x) an. Häufig ist eine maximale Produktionsmenge, die Kapazitätsgrenze des Betriebes, gegeben. Die Erlösfunktion beziffert den Gesamterlös E (x) beim Absatz von x Mengeneinheiten. Bei gegebenem Marktpreis p lautet die Erlösfunktion E (x) ⫽ p ⋅ x. 1) Preise für die 2. Klasse (Stand: Dezember 2012). 147 148 3 Analysis: Funktionen und ihre Anwendungen Im Falle einer linearen Kostenfunktion haben Kosten- und Erlösfunktion höchstens einen Schnittpunkt, den Break-even-Point oder die Nutzenschwelle Ns. Bei quadratischer Kostenfunktion können auch zwei Schnittpunkte auftreten, die Nutzenschwelle Ns und die Nutzengrenze Ng (auch: Gewinnschwelle und Gewinngrenze). In diesem Fall hat die Gewinnfunktion G (x) ⫽ E (x) ⫺ K (x) ein Maximum, das Nutzenmaximum Nm bzw. Gewinnmaximum. Beispiel mit Lösung Aufgabe Ein Unternehmen stellt Beschläge für die Möbelindustrie her. Die Herstellungskosten wer1 den durch die Kostenfunktion K (x) ⫽ x2 ⫹ 2 3 x ⫹ 48 bei einer Kapazitätsgrenze von 30 ME dargestellt. Das Produkt kann in unbegrenzter Menge zum Preis von 17 GE je ME abgesetzt werden. a. Berechnen Sie Nutzenschwelle und die Nutzengrenze. b. Skizzieren Sie Kosten- und Erlösfunktion in einem geeigneten Koordinatensystem. c. Bilden Sie die Gewinnfunktion und berechnen Sie die Menge, bei welcher der maximale Gewinn erzielt wird. Wie hoch ist der maximale Gewinn? d. Zeichnen Sie die Gewinnfunktion in das Koordinatensystem ein. Lösung a. Die Erlösfunktion lautet E (x) ⫽ 17 x (Stückpreis · Menge). Wir setzen K (x) ⫽ E (x). 1 2 兩 ⫺17x 兩 ⋅ 2 x ⫹ 3 x ⫹ 48 ⫽ 17x 2 x2 ⫺ 28 x ⫹ 96 ⫽ 0 冪冢 冣 ⫺ 96 ⫽ 14 ± 10 ⫺28 x1,2 ⫽ ⫺ ⫺28 ± 2 2 x2 ⫽ 24 x1 ⫽ 4 2 Die Nutzenschwelle liegt bei 4 ME; die Nutzengrenze beträgt 24 ME. Wir berechnen nun die Kosten bzw. Erlöse für Ns und Ng. K (4) ⫽ E (4) ⫽ 68 K (24) ⫽ E (24) ⫽ 408 冢 冨 Wir erhalten Ns 4 ME 68 冣 冢 GE und Ng 24 ME ME 冨 408 ME冣. GE 3.4 Ökonomische Anwendungen von linearen und quadratischen Funktionen b. und d. Zunächst ist die Skalierung der Achsen festzulegen. Die relevanten x-Werte sind im Intervall von 0 bis 30 ME (der Kapazitätsgrenze). Die höchsten zu erfassenden y-Werte erhalten wir durch Einsetzen der Kapazitätsgrenze in Kosten- und Erlösfunktion: K (30) ⫽ 588 und E (30) ⫽ 510. Somit sind bei einer y-Skalierung bis 600 GE alle Funktionen darzustellen. Es wird deutlich, dass die Schnittpunkte von Erlös- und Kostenfunktion dieselben x-Werte haben wie die Nullstellen der Gewinnfunktion. Daher können Nutzenschwelle und -grenze auch über den Ansatz G (x) ⫽ 0 berechnet werden. c. Wir stellen die Gewinnfunktion auf als 1 1 G (x) ⫽ E (x) ⫺ K (x) ⫽ 17 x ⫺ x2 ⫹ 3 x ⫹ 48 ⫽ ⫺ x2 ⫹ 14 x ⫺ 48 2 2 Das Gewinnmaximum erhalten wir als Scheitelpunkt dieser Parabel. 1 1 G (x) ⫽ ⫺ x2 ⫹ 14 x ⫺ 48 ⫽ ⫺ [x2 ⫺ 28 x ⫹ 96] 2 2 1 2 1 ⫽ ⫺ [x ⫺ 28 x ⫹ 142 ⫺ 142 ⫹ 96] ⫽ ⫺ [(x ⫺ 14)2 ⫺ 100] 2 2 1 ⫽ ⫺ (x ⫺ 14)2 ⫹ 50 2 Der maximale Gewinn beträgt 50 GE und wird bei einer Ausbringungsmenge von 14 ME erzielt. 冢 冣 149 150 3 Analysis: Funktionen und ihre Anwendungen Aufgaben 1 1 Ein Unternehmen produziert Walzstahl zu Kosten von K (x) ⫽ x2 ⫹ 15 bei einer Kapa10 zitätsgrenze von 30 ME. Man kann die produzierte Menge zu 3 GE/ME absetzen. a Berechnen Sie Nutzenschwelle und Nutzengrenze. b Skizzieren Sie Kosten- und Erlösfunktion in einem geeigneten Koordinatensystem. c Bilden Sie die Gewinnfunktion und berechnen Sie die Menge, bei welcher der maximale Gewinn erzielt wird. Wie hoch ist der maximale Gewinn? d Zeichnen Sie die Gewinnfunktion in das Koordinatensystem ein. 2 Ein Unternehmen produziert Energiesparlampen, die am Markt zum Preis von 2 GE/ ME abgesetzt werden können (1 GE entspricht 1 000 EUR, 1 ME entspricht 1 000 Stück). Die Kapazitätsgrenze bei der Produktion liegt bei 50 ME; die Kosten werden 1 2 durch K (x) ⫽ x ⫹ 20 dargestellt. 25 a Bestimmen Sie Nutzenschwelle, Nutzengrenze und das Gewinnmaximum. b Durch starke Konkurrenz sinkt der zu erzielende Preis auf 1,7 GE/ME. Wie hoch ist der maximale Gewinn nun? c Als Reaktion auf den Konkurrenzdruck konnten die fixen Kosten um 25 % gesenkt werden. Überprüfen Sie, ob das Unternehmen wieder mit Gewinn arbeiten kann. 3 Ein Unternehmen produziert Maschinenteile zu Kosten von K (x) ⫽ 3 x2 ⫹ 2 000. Die Nutzenschwelle liegt bei 10 ME. a Bestimmen Sie die Erlösfunktion. b Ermitteln Sie die Nutzengrenze. c Berechnen Sie das Nutzenmaximum. 4 Ein Betrieb stellt Holzpellets her, die zum Preis von 190 GE/ME abgesetzt werden können. Die Kostenfunktion lautet K (x) ⫽ 5 x2 ⫹ 1 500, die Kapazitätsgrenze liegt bei 40 ME. a Berechnen Sie Nutzenschwelle, Nutzengrenze und Nutzenmaximum. b Der Betrieb erwägt die Anschaffung weiterer Maschinen zur Ausweitung der Produktion. Dadurch würde die Kapazitätsgrenze auf 100 ME steigen und die Kostenfunktion lautete dann K (x) ⫽ 3 x2 ⫹ 2 x ⫹ 1 100. Wie hoch wäre der Gewinn, wenn gleichzeitig der Marktpreis auf 150 GE/ME fiele? 3.4 Ökonomische Anwendungen von linearen und quadratischen Funktionen 5 Ein Unternehmen könnte ein Produkt zu 20 GE pro ME auf dem Markt absetzen. Die Kosten setzen sich zusammen aus dem variablen Teil Kv (x) ⫽ 2 x2 und den Fixkosten Kf. Somit lautet die Kostenfunktion K (x) ⫽ 2 x2 ⫹ Kf. Wie hoch dürfen die Fixkosten höchstens sein, damit der Betrieb profitabel arbeitet, d. h., Gewinn erzielt wird? 3.4.2 Monopolpreisbildung Ist ein Hersteller der einzige Anbieter eines Wirtschaftsgutes, so bezeichnet man ihn als Monopolisten. Dem alleinigen Angebot des Monopolisten steht die gesamte Nachfragemenge des Marktes gegenüber. Der Monopolist hat die Möglichkeit, den Marktpreis so zu beeinflussen, dass er den maximalen Gesamtgewinn erzielt. Er muss untersuchen, bei welcher Produktionsmenge der Gesamtgewinn maximal wird. Dies kann mithilfe der Gesamtkosten- und der Gesamterlöskurve geschehen. Der Gesamterlös verläuft beim Monopolisten nicht linear zur Produktionsmenge. Können zum Beispiel bei einem Stückpreis von 30,00 EUR insgesamt 3 000 Stück abgesetzt werden, so wird eine Erhöhung der Absatzmenge nur über die Senkung des Stückpreises möglich sein. Aus nachstehender Tabelle ist zu ersehen, dass bei fallendem Stückpreis und steigender Menge der Gesamterlös zuerst zunimmt und dann abfällt. Der Gesamtgewinn steigt ebenfalls am Anfang und nimmt dann ab. Prod.menge x Stückpreis p Gesamterlös E Gesamtkosten K Gesamtgewinn G 0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 − 40 35 30 25 20 15 10 5 0 40 000 70 000 90 000 100 000 100 000 90 000 70 000 40 000 40 000 48 000 56 000 64 000 72 000 80 000 88 000 96 000 104 000 −40 000 − 8 000 14 000 26 000 28 000 20 000 2 000 −26 000 −64 000 Der Tabelle kann man entnehmen, dass der maximale Gewinn nahe der Produktionsmenge von 4 000 Stück liegt. Zur Berechnung des maximalen Gesamtgewinnes unterstellt man, dass der Stückpreis p linear zur Produktionsmenge gesenkt wird. Der Graph der Stückpreisfunktion (Preis-Absatz-Funktion) p (x) ist demnach eine Gerade. Der Verlauf der Gesamtkosten K ist im Beispiel ebenfalls linear, kann aber auch durch eine Gleichung 2. oder 3. Grades bestimmt sein. Wichtige Beurteilungspunkte der Erlös- und Kostenfunktionen von Monopolbetrieben sind die Nutzenschwelle Ns, die Nutzengrenze Ng und das Nutzenmaximum Nm. Wie wir wissen, sind Nutzenschwelle und Nutzengrenze Schnittpunkte der Erlöskurve mit der Kostenkurve. Sie begrenzen die Produktionsmengen, bei denen der Betrieb Gewinn erzielt. 151 152 3 Analysis: Funktionen und ihre Anwendungen Beispiel mit Lösung Aufgabe In einem Industriebetrieb, der eine Monopolstellung für elektronische Bauteile besitzt, fallen für x ME (1 ME Z 1 000 Stück) folgende Gesamtkosten K und Stückpreise p an: Gesamtkosten K in GE (1 GE Z 1 000 EUR) Stückpreise p in EUR. ME x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 GE K (x) 40 48 56 64 72 80 88 96 104 EUR p (x) − 40 35 30 25 20 15 10 5 Der Verlauf der Gesamtkosten K und der Stückpreise p ist linear zur Produktionsmenge x. a. Wie lauten die Funktiongsgleichungen für die Gesamtkosten K und für die Stückpreise p (Gleichung der Preis-Absatz-Funktion)? Wie hoch sind die fixen Kosten und die variablen Stückkosten? b. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung für den Gesamterlös E. c. Zeichnen Sie in ein gemeinsames Achsenkreuz die Gesamterlöskurve E und die Gesamtkostengerade K. Geben Sie die Nutzenschwelle Ns und die Nutzengrenze Ng an. d. Berechnen Sie die Nutzenschwelle und die Nutzengrenze. In welchem Bereich wird mit Gewinn produziert? e. Bei welcher Produktionsmenge ist der Gesamterlös am größten und wie viel EUR beträgt er? f. Bestimmen Sie das Nutzenmaximum. Geben Sie Nm auf der Erlöskurve an und kennzeichnen Sie die Strecke des maximalen Gewinnes G. Wie viel EUR beträgt der maximale Gesamtgewinn und wie hoch ist der zugehörige Stückpreis? Tragen Sie die Preis-Absatz-Gerade p (Stückpreisgerade p) in das Achsenkreuz von c). Für p(x) gilt 1 GE Z 1 EUR. Lösung a. Lösung mithilfe der Gleichung der Zwei-Punkte-Form: P1 (0 兩 40), P2 (5 兩 80); K (x) ⫽ y y − 40 80 − 40 ⫽ ⇒ y ⫽ K (x) ⫽ 8x + 40 x−0 5−0 P1 (1 兩 40), P2 (5 兩 20); p (x) ⫽ y y − 40 20 − 40 ⫽ ⇒ y ⫽ p (x) ⫽ −5x + 45 x−1 5−1 Die fixen Kosten betragen 40 GE ⫽ 40 000,00 EUR, die variablen Stückkosten betragen 48 000,00 EUR − 40 000,00 EUR ⫽ 8,00 EUR/Stück. 1 000 Stück 3.4 Ökonomische Anwendungen von linearen und quadratischen Funktionen b. E (x) ⫽ p (x) ⋅ x ⫽ (−5 x + 45) ⋅ x ⫽ −5x2 + 45x c. d. Berechnung der Nutzenschwelle Ns und der Nutzengrenze Ng: K (xp) ⫽ E (xp) 8xp + 40 ⫽ −5x2p + 45xp 5x2p − 37xp + 40 ⫽ 0 xp1 ⫽ 6,085 xp2 ⫽ 1,315 K (1,315) ⫽ E (1,315) ⫽ 50,52 ⇒ Ns (1,315 兩 50,52) K (6,085) ⫽ E (6,085) ⫽ 88,68 ⇒ Ng (6,085 兩 88,68) Gewinnbereich 1,315 ⬍ x ⬍ 6,085 e. Scheitelpunkt von E (x) berechnen: E (x) ⫽ ⫺5 x2 ⫹ 45 x ⫽ ⫺5[x2 ⫺ 9 x ⫹ 4,52 ⫺ 4,52] ⫽ ⫺5[(x ⫺ 4,5)2 ⫺ 20,25] ⫽ ⫺5(x ⫺ 4,5)2 ⫹ 101,25 Der Scheitelpunkt liegt bei S (4,5 兩 101,25), d. h. der maximale Erlös wird bei 4 500 Stück erzielt und beträgt 101 250,00 EUR. f. Die Gewinnfunktion bilden und ihren Scheitelpunkt berechnen: G (x) ⫽ E (x) ⫺ K (x) ⫽ ⫺5 x2 ⫹ 45 x ⫺ (8 x ⫹ 40) ⫽ ⫺5 x2 ⫹ 37 x ⫺ 40 G (x) ⫽ ⫺5 x2 ⫹ 37 x ⫺ 40 ⫽ ⫺ 5[x2 ⫺ 7,4 x ⫹ 8] ⫽ ⫺5[x2 ⫺ 7,4 x ⫹ 3,72 ⫺ 3,72 ⫹ 8] ⫽ ⫺5[(x ⫺ 3,7)2 ⫺ 5,69] ⫽ ⫺5 (x ⫺ 3,7)2 ⫹ 28,45 153 154 3 Analysis: Funktionen und ihre Anwendungen Der Scheitelpunkt der Gewinnfunktion liegt bei (3,7 兩 28,45), d. h., die gewinnmaximale Menge beträgt 3 700 Stück und der maximale Gesamtgewinn 28 450,00 EUR. Um den Stückpreis bei dieser Menge zu berechnen, setzen wir in die Preis-AbsatzFunktion ein und erhalten p (3,7) ⫽ ⫺5 ⋅ 3,7 ⫹ 45 ⫽ 26,5. Der Stückpreis beträgt 26,50 EUR. Die zuletzt berechnete optimale Menge-Preis-Kombination ist von besonderer Bedeutung und heißt Cournot‘scher Punkt1). Der Cournot‘sche Punkt (in der Abbildung im obigen Beispiel mit C bezeichnet) gibt einem Monopolisten an, bei welcher Menge und welchem Stückpreis er den maximalen Gesamtgewinn erzielt. Aufgaben 1 In einem Industriebetrieb mit Monopolstellung fallen für x ME (1 ME Z 1 000 Stück) folgende Gesamtkosten K und Stückpreise p an (Gesamtkosten K in GE (1 GE Z 1 000 EUR), Stückpreise p in EUR). ME x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 GE K (x) 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 EUR p (x) − 54 48 42 36 30 24 18 12 6 0 Der Verlauf der Gesamtkosten K und der Stückpreise p ist linear zur Produktionsmenge x. a Wie lauten die Funktionsgleichungen für die Gesamtkosten K und für die Stückpreise p (Gleichung der Preis-Absatz-Funktion)? Wie hoch sind die fixen Kosten und die variablen Stückkosten? b Bestimmen Sie die Funktionsgleichung für den Gesamterlös E. c Zeichnen Sie in ein gemeinsames Achsenkreuz die Gesamterlöskurve E und die Gesamtkostengerade K. Geben Sie die Nutzenschwelle Ns und die Nutzengrenze Ng an. d Berechnen Sie die Nutzenschwelle und die Nutzengrenze. In welchem Bereich wird mit Gewinn produziert? e Bei welcher Produktionsmenge ist der Gesamterlös am größten und wie viel EUR beträgt er? f Bestimmen Sie das Nutzenmaximum. Geben Sie Nm auf der Erlöskurve an und kennzeichnen Sie die Strecke des maximalen Gewinnes G. Wie viel EUR beträgt der maximale Gesamtgewinn und wie hoch ist der zugehörige Stückpreis? g Tragen Sie die Preis-Absatz-Gerade p in das Achsenkreuz von c). Für p (x) gilt 1 GE Z 1 EUR. Geben Sie den Cournot‘schen Punkt C an. 1) Benannt nach Antoine Augustin Cournot (1801⫺1877), frz. Mathematiker und Wirtschaftstheoretiker. 3.4 Ökonomische Anwendungen von linearen und quadratischen Funktionen 2 Der Absatz eines Monopolbetriebes beträgt 2 ME bei einem Stückpreis von 30,00 EUR. Wird der Stückpreis auf 24,00 EUR gesenkt, erhöht sich der Absatz auf 4 ME. 1 ME Z 1 000 Stück. Die fixen Kosten belaufen sich auf 30 GE, die Gesamtkosten auf 62 GE bei 4 ME. 1 GE Z 1 000 EUR. Der Verlauf der Gesamtkosten K und der Stückpreise p ist linear zur Produktionsmenge x. a Berechnen Sie die Funktionsgleichungen für die Gesamtkosten K und für die Stückpreise p (Gleichung der Preis-Absatz-Funktion). Wie hoch sind die variablen Stückkosten? b Wie lautet die Funktionsgleichung für den Gesamterlös E? c Berechnen Sie die Nutzenschwelle und die Nutzengrenze. d Bei welcher Produktionsmenge ist der Gesamterlös am größten und wie viel EUR beträgt er? e Bestimmen Sie das Nutzenmaximum. Wie viel EUR beträgt der maximale Gesamtgewinn und wie hoch ist der zugehörige Stückpreis? f Zeichnen Sie in ein gemeinsames Achsenkreuz die Gesamterlöskurve E, die Gesamtkostengerade K und die Preis-Absatz-Gerade p. Geben Sie die kritischen Punkte Ns , Ng, Nm und C an. Für p (x) gilt 1 GE Z 1 EUR. Wie lauten die Koordinaten des Cournot‘schen Punktes C? 3 1 Ein Monopolbetrieb rechnet mit Kosten von K (x) ⫽ x2 ⫹ 5 x ⫹ 50 bei einem Erlös 2 von E (x) ⫽ ⫺ x2 ⫹ 30 x. a Bestimmen Sie Nutzenschwelle und Nutzengrenze. b Bei welcher Menge wird der maximale Erlös erzielt? c Berechnen Sie den Cournot‘schen Punkt C. 4 Ein Monopolist produziert ein Gut zu Kosten von K (x) ⫽ 6 x ⫹ 72. Er geht von einem Konsumentenverhalten aus, welches durch die Preis-Absatz-Funktion 3 p (x) ⫽ ⫺ x ⫹ 24 beschrieben wird. 4 a Berechnen Sie Nutzenschwelle und Nutzengrenze. b Bei welcher Menge wird der maximale Erlös erzielt? c Bestimmen Sie den maximalen Gesamtgewinn und den Cournot‘schen Punkt. d Zeichnen Sie die Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem und markieren Sie die berechneten Punkte. 5 Bei allen Aufgaben war die gewinnmaximale Menge niedriger als die erlösmaximale Menge. Ist diese Beobachtung allgemeingültig? Begründen Sie Ihre Ansicht. 155 156 3 Analysis: Funktionen und ihre Anwendungen 3.4.3 Marktpreisbildung Wenn es auf dem Markt für ein bestimmtes Gut nicht nur viele Nachfrager gibt, sondern auch viele Anbieter, spricht man von einem Polypol. Bei einem vollkommenen Markt geht man davon aus, dass sich ein Gleichgewicht von Angebot und Nachfrage einstellen wird, d. h., dass sich der Preis einstellen wird, bei dem die nachgefragte Menge gleich der Angebotsmenge ist. Beispiel mit Lösung Aufgabe Der Markt für ein bestimmtes Gut wird durch die Angebotsfunktion pa (x) ⫽ 4 x ⫹ 2 und die Nachfragefunktion pn (x) ⫽ ⫺2 x2 ⫹ 32 charakterisiert. a. Bestimmen Sie die Sättigungsmenge und den Prohibitivpreis. b. Welches Marktungleichgewicht herrscht bei einem Preis von 20 GE/ME? c. Bestimmen Sie das Marktgleichgewicht. d. Wie verändert sich die Situation, wenn der Staat eine voll überwälzbare Steuer in Höhe von r ⫽ 4 GE/ME einführt? Wie hoch sind die gesamten Steuereinnahmen für den Staat? e. Stellen Sie die Marktsituation grafisch dar, markieren Sie das Marktgleichgewicht und das Ungleichgewicht beim Preis 20 GE/ME. Lösung a. Die Sättigungsmenge ist die Menge, bei der keine Nachfrage mehr besteht, also die Nullstelle der Nachfragefunktion. Wir setzen pn (x) ⫽ 0. 0 ⫽ ⫺2 x2 ⫹ 32 x2 ⫽ 16 兩 ⫹ 2 x2 兩:2 兩冪 x⫽±4 Wegen der Interpretation der x-Werte als Mengen sind negative x-Werte ausgeschlossen, daher beträgt die Sättigungsmenge 4 ME. Der ökonomische Definitionsbereich der Nachfragefunktion ist das Intervall von 0 bis 4, Dök ⫽ [0, 4]. Der Prohibitivpreis ist der Preis, bei dem die nachgefragte Menge 0 ist, also der y-Achsenabschnitt der Nachfragefunktion. Der Prohibitivpreis beträgt 32 GE/ME. b. Wir bestimmen die angebotene Menge und die nachgefragte Menge bei 20 GE/ME. pn (x) ⫽ 20 ⫺2 x2 ⫹ 32 ⫽ 20 ⫺2 x ⫽ ⫺12 2 x ⫽ ±冪6 艐 ±2,45 兩 ⫺32 兩 : (⫺2) 兩 冪 3.4 Ökonomische Anwendungen von linearen und quadratischen Funktionen Die nachgefragte Menge beträgt 2,45 ME. pa (x) ⫽ 20 4 x ⫹ 2 ⫽ 20 兩 ⫺2 兩 : 4 x ⫽ 4,5 Die angebotene Menge beträgt 4,5 ME. Es wird mehr angeboten als nachgefragt, daher besteht ein Angebotsüberhang von 4,5 ⫺ 2,45 ⫽ 2,05 ME. c. Gesucht ist der Schnittpunkt von Angebots- und Nachfragefunktion, Ansatz pa (x) ⫽ pn (x). 4 x ⫹ 2 ⫽ ⫺2 x2 ⫹ 32 兩 ⫺2 ⫹ 2 x2 ⫺ 32 2 2 x ⫹ 4 x ⫺ 30 ⫽ 0 兩:2 x2 ⫹ 2 x ⫺ 15 ⫽ 0 x1,2 ⫽ ⫺ 1 ± 冪12 ⫹ 15 x1 ⫽ 3 x2 ⫽ ⫺5 Die Gleichgewichtsmenge beträgt 3 ME, den Gleichgewichtspreis erhalten wir durch Einsetzen in pa (x) oder pn (x): pa (3) ⫽ pn (3) ⫽ 14. Das Marktgleichgewicht liegt bei 3 ME und 14 GE/ME. d. Die Steuer wird der Angebotsfunktion zugeschlagen, wir bilden par (x) ⫽ pa (x) ⫹ r. par (x) ⫽ 2 x ⫹ 4 ⫹ 4 ⫽ 2 x ⫹ 8 Um das neue Marktgleichgewicht zu berechnen, gehen wir genauso vor wie in c), jedoch setzen wir nun par (x) ⫽ pn (x) und erhalten als neue Gleichgewichtsmenge 2,74 ME. Der neue Gleichgewichtspreis beträgt 16,97 GE/ME. Die gesamten Steuereinnahmen erhalten wir durch Multiplikation der GleichgewichtsGE menge mit der Steuerrate r, also 2,74 ME ⋅ 4 ⫽ 10,96 GE. ME e. 157 158 3 Analysis: Funktionen und ihre Anwendungen In dem obigen Beispiel wurden die bei der Marktpreisbildung wichtigen Begriffe eingeführt, eine Übersicht gibt der folgende Merksatz Merke 䊏 䊏 䊏 䊏 䊏 Die Angebotsfunktion gibt an, welche Menge x bei einem Preis pa (x) angeboten wird. Die Nachfragefunktion gibt an, welche Menge x bei einem Preis pn (x) nachgefragt wird. Der y-Achsenabschnitt der Nachfragefunktion ist der Prohibitivpreis1), die Nullstelle ist die Sättigungsmenge. Das Marktgleichgewicht ist der Schnittpunkt von Angebots- und Nachfragefunktion. Ein Marktungleichgewicht kann zwei Ausprägungen haben, entweder Angebotsüberhang oder Nachfrageüberhang. Eine Steuer wird an die Nachfrager weitergegeben, indem die Steuerrate r der Angebotsfunktion zugeschlagen wird, par (x) ⫽ pa (x) ⫹ r; analog wird eine Subvention der Höhe s von der Angebotsfunktion abgezogen, pas (x) ⫽ pa (x) ⫺ s. Aufgaben 1 Auf dem Markt für ein bestimmtes Gut lässt sich das Verhalten der Marktteilnehmer annähernd durch folgende Funktionen beschreiben: pn (x) ⫽ ⫺ 0,2 x2 ⫹ 20 und pa (x) ⫽ 1,5 x ⫹ 2 a Welche Menge wird bei einem Preis von 15 GE/ME nachgefragt? b Bei welchem Preis werden 4 ME angeboten? c Welches Marktungleichgewicht herrscht bei einem Marktpreis von 15 GE/ME? d Bestimmen Sie das Marktgleichgewicht. 2 Auf dem Markt für ein bestimmtes Gut lässt sich das Verhalten der Marktteilnehmer annähernd durch folgende Funktionen beschreiben: pn (x) ⫽ ⫺ 0,5 x2 ⫹ 72 und pa (x) ⫽ 4,5 x ⫹ 16 a Bestimmen Sie das Marktgleichgewicht. b Bestimmen Sie das Ungleichgewicht bei einem Preis von 30 GE/ME. c Geben Sie die Sättigungsmenge und den Prohibitivpreis an. d Wie hoch wären die gesamten Steuereinnahmen des Staates, wenn er eine voll überGE wälzbare Steuer in Höhe von r ⫽ 5 erheben würde? ME 1) In einigen Werken wird statt Prohibitivpreis die Bezeichnung Höchstpreis verwendet. Ein Höchstpreis kann jedoch auch ein staatlich vorgeschriebener Höchstpreis sein, der nicht durch die Nachfrage bedingt ist. 246 3 Analysis: Funktionen und ihre Anwendungen 9 Der Parkplatz eines Supermarktes soll gepflastert werden. Um Angebote für diese Arbeiten einzuholen, wurde die untenstehende Abbildung angefertigt. Nun soll die Größe der zu pflasternden Fläche berechnet werden. Das gesamte Gelände des Supermarktes hat die Form eines Rechtecks der Größe 100 m mal 120 m. Nicht gepflastert wird der acht Meter breite Grünstreifen, der sich entlang der Westseite erstreckt und im Südwesten bis zur Einfahrt gebogen ausläuft. 1 000 Die Rundung wird beschrieben durch den Graphen der Funktion f (x) ⫽ . x2 Im Südosten des Geländes befindet sich eine Tankstelle. Die durch den Graphen der Funktion g(x) ⫽ 0,00016 x3 ⫺ 0,0576 x2 ⫹ 6,912 x ⫺ 256,48 und die x-Achse eingeschlossene Fläche darf aus Umweltschutzgründen nicht gepflastert werden. Die Grundfläche des Gebäudes, die selbstverständlich auch nicht mit Steinen belegt wird, beträgt 2.400 m2 (60 m mal 40 m). Wie groß ist die zu pflasternde Fläche?
