Dario Sacco - Universität Zürich

Übungen zur Industrieökonomik
Universität Zürich, FS08
Dario Sacco
E-mail: [email protected]
Thema: Theorie der Firma (Skript, Kapitel 2)
1. Kostenkonzepte. (Tirole, 1988). Die Kostenfunktion einer Firma sei
gegeben durch
⎧
Zq
⎪
⎪
⎨
F + C 0 (x)dx q > 0
C(q) =
,
⎪
0
⎪
⎩
0
q=0
wobei C(q) 2-mal stetig differenzierbar ist für q > 0, und F ≥ 0 die
Fixkosten der Produktion angeben.
Hinweis: Die Grenzkosten sind strikt fallend, wenn Folgendes gilt:
C 0 (q) < C 0 (x), ∀x ∈ (0, q).
Die Durchschnittskosten AC(q) sind strikt fallend, wenn für alle q1 und
q2 mit 0 < q1 < q2 Folgendes gilt:
C(q2 )
C(q1 )
<
.
q2
q1
(a) Beweisen Sie folgende Aussage: Strikt fallende Grenzkosten implizieren strikt fallende Durchschnittskosten.
(b) Beweisen Sie folgende Aussage: Strikt fallende Durchschnittskosten implizieren eine strikt subadditive Kostenfunktion.
2. Hold-Up Problem. (Tirole, 1988). Gegeben sei ein 2-Stufen Spiel. In
der ersten Stufe (t = 1) entscheidet der Verkäufer eines bestimmten
Gutes über eine Investition I, welche die Kosten der Produktion senkt.
Die Kostenfunktion c erfüllt folgende Eigenschaften: c0 (I) < 0, c00 (I) >
0. Der Wert, den der Käufer dem Gut beimisst, ist fix und beträgt v.
In der zweiten Stufe (t = 2) verhandeln Käufer und Verkäufer über den
Preis p(I), und führen eventuell den Handel durch.
(a) Geben Sie die Bedingung für das sozial optimale Investitionsniveau an.
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(b) Nehmen Sie an, es besteht ex-ante (t = 1) kein Vertrag und die
Parteien handeln ex-post (t = 2) einen Preis aus, welcher der
Nash-Verhandlungslösung entspricht. Seien c und v ex-post common knowledge.
i. Wie lautet der Preis?
ii. Geben Sie die Bedingung für das optimale Investitionsniveau
in diesem Fall an.
iii. Wieso kommt es zu Abweichungen zum sozial optimalen Investitionsniveau?
(c) Nehmen Sie an, es können vollständige Verträge geschlossen werden. Der Kaufpreis kann ex-ante festgelegt werden.
i. Welches Investitionsniveau ergibt sich in dieser Situation?
3. Kostenkonzepte. (APS-Prüfung 2006). Die Kostenfunktion eines Einprodukt-Monopolisten ist gegeben durch
C(q1 ) = αq12 + 2(1 + 2α)q1 + 3,
wobei α > 0. Geben Sie die hinreichende Bedingung bezüglich q1 dafür
an, dass strikte Subadditivität vorliegt. Begründen Sie Ihre Antwort.
Thema: Monopoltheorie (Skript, Kapitel 3)
4. Preissetzungsverhalten des Monopolisten. (Wolfstetter, 1999).
Gegeben sei ein Monopolist mit linearer Preisfunktion, welche für alle
Konsumenten identisch ist. Die inverse Nachfragefunktion ist gegeben
durch P (q) = a − bq, a, b > 0, die Kostenfunktion durch C(q) =
1/2q 2 , q ∈ [0, a/b] und die Erlösfunktion durch R(q) = P (q)q.
(a) Leiten Sie die Gewinnfunktion Π(q) her und zeigen Sie, dass diese
Funktion strikt konkav ist.
Intuition: Wenn Π(q) eine strikt konkave Funktion ist, so ist die
Bedingung erster Ordnung hinreichend für das Vorliegen eines eindeutigen Gewinnmaximums.
(b) Zeigen Sie, dass die Koordinaten des Cournot-Punktes gegeben
sind durch
(q M = a/(1 + 2b), pM = a(1 + b)/(1 + 2b)).
(c) Stellen Sie das Ergebnis grafisch dar.
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5. Wohlfahrtsverlust im Monopol. (Tirole, 1988). In einer monopolisierten Industrie sei die Nachfragefunktion gegeben durch
q = D(p) = p−ε ; ε > 1,
wobei ε die Nachfrageelastizität bezeichnet. Die Grenzkosten des Anbieters sind konstant und gleich c > 0.
(a) Zeigen Sie, dass die Nachfragefunktion isoelastisch ist.
(b) Bestimmen Sie den gewinnmaximierenden Preis des Monopolisten,
wenn er einen linearen Tarif (oder eine lineare Preisfunktion) von
der Form T (q) = pq, p > 0, anwendet.
(c) Geben Sie die Wohlfahrt als Summe von Konsumenten- und Produzentenrente an und bestimmen Sie den wohlfahrtsmaximierenden Preis.
(d) Zeigen Sie, dass
i. die Wohlfahrt W c in einer kompetitiven Industrie gegeben ist
durch
c1−ε
Wc =
;
ε−1
ii. die Wohlfahrt W m in einer monopolistischen Industrie gegeben ist durch
µ
¶−ε
ε
m
1−ε (2ε − 1)
W =c
.
(ε − 1)2 ε − 1
(e) Berechnen Sie den Wohlfahrtsverlust W L := W c −W m und zeigen
Sie, dass W L > 0 gilt.
6. Optimaler Mark-Up im Monopol. Der optimale Monopolpreis pM
liegt über den Grenzkosten — aber wieviel? Die Antwort auf diese Frage
hängt davon ab, wie stark die Nachfrage auf eine Änderung des Preises reagiert. Betrachten Sie nun die Preiselastizität der Nachfrage als
Sensitivitätsmass bezüglich einer Preisänderung:
p
.
ε(p) = D0 (p)
D(p)
(a) Zeigen Sie, dass folgende Beziehung zwischen Grenzerlös und Preiselastizität der Nachfrage besteht:
∙
¸
1 + ε(P (q))
0
R (q) = P (q)
.
(1)
ε(P (q))
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(b) Setzen Sie in die Bedingung erster Ordnung,
Π0 (q) = R0 (q) − C 0 (q) = 0,
(2)
R0 (q) aus Beziehung (1) ein und zeigen Sie, dass der optimale
Mark-Up gegeben ist durch
P (q) =
ε(P (q))
C 0 (q).
1 + ε(P (q))
(3)
Bei welchem Typ von Nachfragefunktion ist der Mark-Up über die
Grenzkosten eine Konstante?
(c) Leiten Sie aus Beziehung (3) den Lerner-Index
P (q) − C 0 (q)
1
=−
P (q)
ε(P (q))
her.
(d) Wie lässt sich der Lerner-Index intuitiv interpretieren? Warum
liegt der Cournot-Punkt stets im Bereich der Nachfragefunktion,
in dem die Preiselastizität der Nachfrage < −1 ist?
7. Komparative Statik: Variation der Grenzkosten. Wir wollen nun
zeigen, wie sich das optimale Angebot des Monopolisten bei einer Variation der Grenzkosten ändert. Diese Analyse ist nur sinnvoll, wenn
die Eindeutigkeit des Cournot-Punktes über die strikte Konkavität der
Gewinnfunktion (Π00 (q) < 0) angenommen wird.1 Nehmen Sie weiter
an, dass die Kostenfunktion zweimal stetig differenzierbar ist und von
2 C(q,k)
einem Kostenparameter k abhängt, wobei Ckq (q, k) = ∂ ∂k∂q
> 0 gilt.
D.h., dass ein höheres k höhere Grenzkosten impliziert.
Zeigen Sie, dass unter diesen Annahmen das optimale Angebot des
Monopolisten q ∗ (k) in k fällt: q ∗0 (k) < 0.
8. Preisdiskriminierung. (Tirole, 1988). Gegeben sei ein Intervall, auf
dem sich ein Monopolist befindet, welcher ein Gut produziert und verkauft. Die Konsumenten sind gleichmässig auf diesem Intervall verteilt
und ihre Distanz zum Monopolisten variiert zwischen x = 0 und x = 1.
Die Nachfragefunktion sei gegeben durch q = a − b(p + tx), wobei p den
1
Hinreichende Bedingungen dafür sind die Konkavität der Erlösfunktion (R00 (q) ≤ 0)
und die Konvexität der Kostenfunktion (C 00 (q) ≥ 0), wobei mindestens eine Ungleichung
strikt erfüllt sein muss.
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Preis des Gutes darstellt. Die Transportkosten, die zu Lasten der Konsumenten gehen, sind proportional zur Distanz. Für eine Distanz von
x betragen die Transportkosten tx. Daraus ergibt sich ein Gesamtpreis
von p + tx.
(a) Bestimmen Sie den optimalen Preis (mit und ohne Transportkosten), wenn Preisdiskriminierung zugelassen ist.
(b) Ermitteln Sie den optimalen uniformen (nicht-diskriminierenden)
Preis des Gutes sowie den Gesamtpreis unter der Annahme, dass
der gesamte Markt bedient wird. Werden im nicht-diskriminierenden Fall gewisse Konsumenten durch andere subventioniert?
9. Doppelte Marginalisierung. (APS-Prüfung 2006). Ein monopolistischer Produzent mit Kostenfunktion C(q) = cq2 /2 verkauft ein Gut
zum Preis pA an einen monopolistischen Einzelhändler, der ohne weitere Kosten das Gut zum Preis pB an die Konsumenten verkauft. Die
Nachfrage ist gegeben durch D(p) = a − p.
(a) Bestimmen Sie den Endverkaufspreis sowie den aggregierten Gewinn bei vertikaler Separation.
(b) Ermitteln Sie den Endverkaufspreis sowie den Gewinn bei vertikaler Integration.
(c) Vergleichen Sie die Ergebnisse unter (a) mit denjenigen unter (b).
10. Händlerwettbewerb. (Motta, 2004). Betrachten Sie eine Situation
mit einem “Upstream”-Produzenten U und zwei “Downstream”-Firmen
D1 und D2 (Händlern). Letztere wählen den Effort (Dienstleistung),
den sie für den Verkauf des Produktes leisten möchten, und dann konkurrieren à la Bertrand. Die wahrgenommene Produktqualität seitens
der Konsumenten ist gegeben durch u = u + e, wobei e = e1 + e2 die
Summe der von den Händlern geleisteten Effortniveaus darstellt. Die
Nachfrage sei gegeben durch q = (v + e) − p. Die Grenzkosten des Produzenten seien durch cu gegeben, wobei 0 < cu < v. Die Kosten der
Händler seien durch cd = wq + μe2i /2 gegeben, wobei w > 0 und μ > 1.
(a) Betrachten Sie zunächst den Fall, in dem der “Upstream”-Produzent und die “Downstream”-Firmen vertikal separiert sind.
i. Bestimmen Sie die gleichgewichtigen Preise sowie die gleichgewichtigen Effortniveaus der beiden Händler.
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ii. Berechnen Sie die Konsumentenrente, die Produzentenrente
sowie die Wohlfahrt.
(b) Betrachten Sie nun den Fall, in dem der “Upstream”-Produzent
und die “Downstream”-Firmen vertikal integriert sind.
i. Bestimmen Sie den Gleichgewichtspreis und die gleichgewichtigen Effortniveaus der beiden Händler.
ii. Berechnen Sie die Konsumentenrente, die Produzentenrente
sowie die Wohlfahrt.
(c) Welcher Fall führt zu einer höheren Wohlfahrt?
Thema: Wettbewerb um den Markt (Skript, Kapitel 4.3)
11. Erst-Preis Auktion. (Mas-Colell/Whinston/Green, 1995). Betrachten Sie folgende Auktion: Ein Objekt wird an zwei Bieter versteigert.
Beide Bieter machen ein (nichtnegatives) Angebot und reichen dieses
in einem Umschlag ein. Die Umschläge werden zusammen geöffnet. Das
höchste Gebot bekommt den Zuschlag und der siegreiche Bieter bezahlt
den Betrag seines Angebots. Jeder Bieter kennt nur die eigene maximale Zahlungsbereitschaft vi . Die Zahlungsbereitschaften beider Bieter
sind unabhängig und gleichmässig auf dem Intervall [0, v] verteilt.
(a) Leiten Sie ein symmetrisches Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien für diese Auktion her.
Hinweis: Betrachten Sie ein Gleichgewicht, in welchem das Angebot der Spieler eine lineare Funktion ihrer Zahlungsbereitschaft
ist, d.h. die Bietfunktion nimmt die Form bi (vi ) = ai + ci vi an.
(b) Es nehmen nun I Bieter an der Versteigerung teil. Beantworten Sie
(a) unter dieser Annahme. Was passiert mit der gleichgewichtigen
Gebotsfunktion bi (vi ) wenn I grösser wird?
Hinweis: Sie können zur Vereinfachung von einem symmetrischen
Gleichgewicht ausgehen, d.h. dass im Gleichgewicht die Angebotsfunktionen dieselbe lineare Form haben, also ai = a und ci = c
∀i.
12. Zweit-Preis Auktion (Vickrey-Auktion). (Mas-Colell/Whinston/
Green, 1995). Betrachten Sie folgende Auktion: Ein Objekt wird versteigert. Es gibt I Bieter. Bieter i misst dem Objekt einen Wert von
vi zu. Alle Bieter machen ein (nichtnegatives) Angebot bi , welches in
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einem Briefumschlag eingereicht wird. Der Bieter mit dem höchsten Angebot bekommt den Zuschlag, bezahlt aber nur den Betrag des zweithöchsten Angebotes. Falls es mehrere Anbieter mit dem höchsten Angebot gibt, erhalten diese das Objekt mit derselben Wahrscheinlichkeit.
(a) Zeigen Sie, dass ein Angebot von bi = vi eine schwach dominante
Strategie von Bieter i ist.
(b) Zeigen Sie, dass ein Angebot von bi = vi die einzige schwach dominante Strategie von Bieter i ist.
Thema: Statische Oligopoltheorie (Skript, Kapitel 5)
13. Bertrand-Wettbewerb mit heterogener Kostenstruktur. (Bester, 2000). In einem Markt mit der Nachfrage D(p) = 1 − p konkurrieren zwei Firmen (i = 1, 2) als Bertrand-Wettbewerber miteinander.
Ihre Stückkosten betragen c1 = 0 bzw. c2 > 0.
(a) Zeigen Sie, dass Firma 2 im Bertrand-Gleichgewicht den Output
q2 = 0 produziert.
(b) Berechnen Sie die Gleichgewichtspreise p∗1 ≥ c1 und p∗2 ≥ c2 , falls
c2 > 1/2.
(c) Welches Gleichgewicht ergibt sich, wenn c2 ≤ 1/2?
14. Zwei-Stufen Bertrand-Spiel. Betrachten Sie ein statisches 2-Stufen
Spiel, in dem die Firmen zunächst in F&E investieren und danach à la
Bertrand konkurrieren. Gegeben seien 2 Firmen (i = 1, 2) mit identischen Stückkosten c, die homogene Güter produzieren. Die Nachfragefunktion sei gegeben durch D(p) = a − p. In der ersten Stufe des Spiels
investieren die zwei Firmen simultan in F&E, was zu einer linearen
Senkung der Grenzkosten führt. Jede Firma ist durch die Grenzkosten
ci = c − Yi charakterisiert, wobei Yi die F&E-Investition von Firma i
repräsentiert. Die Investitionskosten seien gegeben durch kYi2 , wobei
k > 0 den Kostenparameter darstellt. In der zweiten Stufe, in der Produktmarktwettbewerb stattfindet, wählen die zwei Firmen simultan die
Preise.
(a) Stellen Sie die Netto-Payoff Funktion von Firma i auf.
(b) Nehmen Sie an, es gebe 3 Investitionsniveaus Yi = {0, 1, 2} .
i. Geben Sie anhand einer Auszahlungsmatrix die Netto-Payoffs
der beiden Firmen bzgl. aller Investitionskombinationen an.
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ii. Zeigen Sie, dass sich das Gleichgewicht (1, 0) bzw. (0, 1) genau
dann einstellt, wenn k < α < 3k und α < 4k − 1, wobei
α ≡ a − c > 0 den Nachfrageparameter darstellt.
iii. Zeigen Sie, dass sich das Gleichgewicht (2, 0) bzw. (0, 2) genau
dann einstellt, wenn α > 3k.
15. Homogenes Cournot mit 3 Firmen. (Tirole, 1988). Betrachten Sie
einen Markt mit 3 Firmen (i = 1, 2, 3), welche identische Grenzkosten
c1 = c2 = c3 = 0 aufweisen. Die inverse Nachfragefunktion sei gegeben
durch p = 1 − Q, wobei Q = q1 + q2 + q3 .
(a) Bestimmen Sie das Cournot-Gleichgewicht.
(b) Nehmen Sie an, dass zwei der drei Firmen fusionieren. Zeigen Sie,
dass der Gewinn der fusionierenden Firmen abnimmt.
(c) Was geschiet, wenn alle drei Firmen fusionieren?
16. Endogene Marktstruktur. (Bühler/Jäger, 2002). Betrachten Sie folgendes zwei-Stufen Spiel: In der ersten Stufe entscheidet eine Vielzahl
von Unternehmen über den Eintritt in einen Markt. Die Unternehmen
wissen, welche Art von Produktmarktwettbewerb in der zweiten Stufe
gespielt wird. Tritt ein Unternehmen nicht in den Markt ein, so erzielt
es einen Gewinn von null; tritt es hingegen ein, so muss es die Sunk
Costs f aufwenden. In der zweiten Stufe produzieren die Unternehmen
mit identischen und konstanten Grenzkosten c. Die Marktnachfrage ist
gegeben durch D(p) = S/p, wobei S die Marktgrösse bezeichnet.
(a) Zeigen Sie, dass die Marktnachfrage isoelastisch ist.
(b) Nehmen Sie an, in der zweiten Stufe des Spiels wird CournotWettbewerb gespielt.
i. Bestimmen Sie durch Rückwärtsinduktion den aggregierten
Output, den Marktpreis, und die Gewinne für eine gegebene
Anzahl Unternehmen n.
ii. Bestimmen Sie die Anzahl Unternehmen n∗ , die im teilspielperfekten Nash-Gleichgewicht in den Markt eintreten.
(c) Nehmen Sie an, in der zweiten Stufe des Spiels wird BertrandWettbewerb gespielt. Zeigen Sie, dass im Gleichgewicht nicht mehr
als ein Unternehmen in den Markt eintritt.
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(d) Nehmen Sie schliesslich an, die Unternehmen maximieren in der
zweiten Stufe des Spiels den gemeinsamen Gewinn und teilen diesen gleichmässig auf. Zeigen Sie, dass im Gleichgewicht die Anzahl
Unternehmen der Bedingung n∗ = RK /f genügt, wobei RK den
Kartellerlös bezeichnet.
Thema: Wiederholte Oligopolspiele (Skript, Kapitel 6)
17. Endlich wiederholter Bertrand- bzw. Cournot-Wettbewerb.
(Bühler/Jäger, 2002). Gegeben seien zwei Unternehmen i = 1, 2, mit
identischen Kostenfunktionen Ci (q) = cq. Die inverse Nachfragefunktion sei gegeben durch P (Q) = 1 − q1 − q2 . Die Unternehmen spielen dreimal nacheinander Cournot-Wettbewerb. Der Diskontfaktor sei
δ = 1.
(a) Ermitteln Sie den Gesamtgewinn von Unternehmen 1 am Ende
des Spiels.
(b) Wie gross ist der Gesamtgewinn von Unternehmen 1 am Ende des
Spiels, wenn die Unternehmen Bertrand-Wettbewerb spielen?
18. Unendlich wiederholter Bertrand-Wettbewerb. (Bühler/Jäger,
2002). Gegeben sei das Modell aus Aufgabe 17. Die Unternehmen spielen nun Bertrand-Wettbewerb und der Zeithorizont umfasst nicht mehr
drei, sondern unendlich viele Perioden (T = ∞). Der Diskontfaktor
ist nicht mehr fest vorgegeben, sondern genügt folgender Bedingung:
1
≤ δ < 1.
2
(a) Zeigen Sie, dass das Spielen der Triggerstrategie “Wähle in der
ersten Periode den Monopolpreis. Wähle in jeder weiteren Periode den Monopolpreis, sofern auch das andere Unternehmen in allen vorangehenden Perioden den Monopolpreis gesetzt hat. Ist dies
nicht der Fall, so setze den Preis gleich den Grenzkosten” eine
Gleichgewichtsstrategie ist. Überlegen Sie, welche Bedingungen in
jeder (und damit einer repräsentativen) Periode gelten muss, und
zeigen Sie, dass diese Bedingung für δ ≥ 12 erfüllt ist.
(b) Ist dies das einzige Gleichgewicht?
(c) Nehmen Sie an, es bestehe eine Zeitverzögerung in der Reaktion
eines Unternehmens auf die Preissetzung des anderen. Diese Zeitverzögerung betrage eine Periode. Welche Auswirkung hat dies
auf die Stabilität der Kollusion? Was passiert, wenn die Zeitverzögerung zunimmt (gegen unendlich geht)? Interpretieren Sie Ihr
Ergebnis.
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19. Unendlich wiederholtes Cournot. (APS-Prüfung 2006). Betrachten Sie ein unendlich wiederholtes, symmetrisches Cournot-Duopol. Die
inverse Nachfragefunktion ist in jeder Periode gegeben durch P (Q) =
1 − Q, wobei Q ≡ q1 + q2 . Beide Firmen weisen konstante Grenzkosten
c = 0 und denselben Diskontfaktor δ auf. Anstatt sich als CournotDuopolisten zu verhalten, maximieren die beiden Anbieter den gemeinsamen Gewinn und teilen den Monopol-Output gleichmässig auf.
Das Kartell wird durch das Spielen der folgenden Trigger-Strategie aufrecht erhalten: Wenn eine der beiden Firmen vom Kartell-Output abweicht, setzen beide in allen zukünftigen Perioden die nicht-kooperative
Cournot-Menge.
(a) Berechnen Sie die Outputs qiK und die Gewinne π K
i (i = 1, 2) der
beiden Firmen in einer beliebigen Periode, wenn sie den gemeinsamen Gewinn maximieren.
(b) Zeigen Sie, dass der Gewinn, den eine unilateral abweichende Fir9
ma in der Abweichungsperiode erzielen kann, πA = 64
beträgt.
(c) Welche Bedingung muss δ erfüllen, damit das Kartell durch das
Spielen der Trigger-Strategie gestützt werden kann?
(d) Gehen Sie nun davon aus, drei symmetrische Firmen mit c = 0
maximieren den gemeinsamen Gewinn. Jede dieser Firmen produziert einen Drittel des Monopol-Outputs und weist denselben
Diskontfaktor δ auf.
i. Welche Bedingung muss δ nun erfüllen, damit das Kartell
durch das Spielen der Trigger-Strategie gestützt werden kann?
ii. Erläutern Sie verbal, weshalb δ mit drei Firmen grösser [bzw.
kleiner] sein muss als mit zwei Firmen.
Thema: Markteintrittsbarrieren (Skript, Kapitel 7)
20. Marktstruktur bei freiem Zutritt. Betrachten Sie einen Markt für
ein homogenes Gut, in dem n symmetrische Firmen konkurrieren. Bezeichnen Sie mit qi den Output einer beliebigen Firma
Pi,n i = 1, ..., n;
daraus ergibt sich für den aggregierten Output Q = i=1 qi . Die inverse Nachfragefunktion sei gegeben durch P (Q) = a − Q, und die
Kostenfunktion für eine beliebige Firma i durch
C(qi ) = cqi + F ; c, F > 0, i = 1, ..., n.
Betrachten Sie folgende Spielstruktur: In der ersten Stufe des Spiels
entscheiden alle potentiellen Anbieter darüber, ob sie bei gegebenen
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Sunk Costs F in den Markt eintreten wollen oder nicht. In der zweiten
Spielstufe findet Produktmarktwettbewerb à la Cournot statt.
(a) Zeigen Sie, dass im Gleichgewicht Folgendes gilt:
q∗ =
a−c
a−c
und p∗ = c +
.
n+1
n+1
(b) Zeigen Sie, dass im Gleichgewicht der Gewinn der Firmen gegeben
ist durch
(a − c)2
− F.
π ∗ (n) =
(n + 1)2
(c) Zeigen Sie, dass die Anzahl Markteintritte nF E bei freiem Marktzutritt in der ersten Stufe des Spiels gegeben ist durch
1
nF E = √ (a − c) − 1.
F
21. Marktzutrittsbeschränkung. Betrachten Sie einen Regulator, welcher im Modellrahmen von Aufgabe 20 versucht, die Anzahl Firmen im
Markt so zu regulieren, dass die Wohlfahrt
Z nq
W (n) :=
P (t)dt − ncq − nF
(4)
0
maximiert wird.
(a) Zeigen Sie, dass sich für das Integral in (4) unter Verwendung von
P (Q) = a − Q
Z nq
1
P (t)dt = anq − (nq)2
(5)
2
0
ergibt.
(b) Substituieren Sie (5) in (4) und maximieren Sie W (n) bezüglich
n. Zeigen Sie, dass die Bedingung erster Ordnung dieses Optimierungsproblems gegeben ist durch
dW (n)
= aq(n) + anq 0 (n) − n [q(n)]2 − n2 q(n)q0 (n)
dn
−cq(n) − ncq 0 (n) − F
= 0.
(6)
Hinweis: Beachten Sie, dass q = q(n) gilt. Vgl. Aufgabe 20 (a).
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(c) Setzen Sie in Gleichung (6) für q(n) und q0 (n) ein, wobei q(n) =
(a − c) / (n + 1) . Verifizieren Sie, dass die wohlfahrtsmaximierende Anzahl Firmen n∗ der Bedingung
(n∗ + 1)3 =
(a − c)2
F
genügt.
(d) Zeigen Sie, dass unter der Annahme (a − c)2 − F > 0 Folgendes
gilt:
nF E − n∗ > 0.
22. Stackelberg-Modell. (Bühler/Jäger, 2002). Zwei Firmen mit konstanten Grenzkosten c1 = c2 = 3 bedienen einen Markt mit der inversen
Nachfrage P (q) = 15 − Q. Berechnen Sie die individuellen Angebotsmengen q1 und q2 , die aggregierte Menge Q = q1 + q2 , den Marktpreis
p, die individuellen Gewinne π 1 und π 2 sowie den aggregierten Gewinn
Π = π1 + π 2 , wenn Firma 1 der Stackelbergführer und Firma 2 der
Mengenanpasser ist.
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