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V 90.
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21./25./26.01.2005 Blatt
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a) Zeigen Sie, daß die Gleichung z 3 + (1 − 3i)z 2 − (5 + 6i)z + 7 − 9i = 0 die Lösung
−i hat und bestimmen Sie die weiteren Lösungen.
b) Zerlegen Sie das Polynom p(z) = z 3 + 3z 2 + 3z + 9 in Linearfaktoren.
G 91.
a) Zeigen Sie, daß die Gleichung z 3 + (1 − i)z 2 + (3 + i)z − 2(1 + 4i) = 0 die Lösung
1 + i hat und bestimmen Sie die weiteren Lösungen.
b) Zerlegen Sie das Polynom p(z) = z 3 + z 2 − 14z − 24 in Linearfaktoren.
V 92.
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge (in C) der folgenden Gleichungen und machen
Sie eine Skizze:
√
i) z 2 = i
ii) z 4 = −1 + i 3
iii) z 5 = −32
b) Bestimmen Sie die Real- und Imaginärteile der Lösungen der Gleichung
(z · (2 − i))3 =
G 93.
4−5i
1+2i
.
Berechnen Sie Betrag und Argument der folgenden komplexen Zahlen und geben
Sie ihre Polardarstellung an. Benutzen Sie die Polarkoordinaten, um die Lage der
Zahlen in der komplexen Ebene anzugeben.
√
√
√
a) 2 − 2 i
b) −1 + 3 i
c) 2 2 + 2 2 i
√
√
3 3
f)
e) −2 3 − 2 i
− i
2
2
d) −4
G 94.
a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil der Lösungen der Gleichung z 5 = −1 +
b) Berechnen Sie von (
G 95.
√
√
3+i 20
) ( 3
2
√
3i.
+ i)5 den Real- und Imaginärteil.
Stellen Sie die komplexe Zahl
z=
(−2 + 2i)7
√
(1 + i 3)5
5
5
in Polarkoordinaten dar. Berechnen Sie mit deren Hilfe sin( 12
π) und cos( 12
π).
(Hinweis: Berechnen Sie z auch in ’gewöhnlichen’ Koordinaten!)
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WS 04/05
Kahnert/Walk/Bürger/Koch/Kolbe/Leitner
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G 96.
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Betrachten Sie für feste a, b ∈ C, a 6= b, r ∈ R, die durch die Ungleichung
|z − a| < r|z − b|
bestimmte Menge in C. Zeigen Sie, daß es sich für r > 1 um das Äußere eines
Kreises und für 0 < r < 1 um das Innere eines Kreises handelt.
V 97.
(wie Aufgabe G76.) In den Aufgaben G42 und G52 wurden Vorgänge beschrieben,
die auf Rekursionsgleichungen der Art zn+1 = Lzn bzw. mn+1 = F mn führen. Für
große n ist die Berechnung der Iterierten zn und mn ausgehend von Startwerten
z0 bzw. m0 sehr aufwendig. Geben Sie für beide Aufgabenstellungen Matrizen Ln
und Fn explizit an, für die zn = Ln z0 bzw. mn = Fn m0 gilt. Transformieren Sie
hierzu L und F zunächst auf Diagonalform.
V 98.
HM 1
Welche Flächen werden durch folgende Gleichungen dargestellt:
a) −5x22 − 4x23 − 4x1 x2 + 8x1 x3 + 12x2 x3 + 12x2 − 24x3 − 12 = 0.
b) 4x21 + 13x22 + 19x23 + 28x1 x2 − 4x1 x3 − 32x2 x3 − 24x1 − 12x2 − 24x3 + 36 = 0.
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Kahnert/Walk/Bürger/Koch/Kolbe/Leitner
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