Fakultät für Mathematik Dr. U. Streit 1. ¨Ubung

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Fakultät für Mathematik
Dr. U. Streit
4. Oktober 2017
Fakultät für Mathematik
Dr. U. Streit
4. Oktober 2017
Höhere Mathematik I (für MB)
Höhere Mathematik I (für MB)
1. Übung : Beträge und Ungleichungen — Komplexe Zahlen I
2. Übung : Komplexe Zahlen II
1.1 Bestimmen Sie alle x ∈ R , für die gilt :
2.1 Wandeln Sie in die Polarform um.
z1 = 1 + i
(a) |x + 2| = 18 − 3x
x+5
(b) |x − 1| <
2
z2 = −5 i
z3 = 16
1.2 Geben Sie die reellen Lösungsmengen folgender Ungleichungen an.
(a) |x + 3| ≥ |2x + 1|
(c) |3x + 5| − 2 ≤ 2x + |x − 1|
1.3 Für welche x ∈ R ist die Ungleichung
3x + 2
≥ 2 erfüllt ?
3 − 2x
2.4 Ermitteln Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen.
(a) z 4 = 1
(d) z 6 + i = 0
(a) f (x) = x2 + (x − 1) |x|
(b) f (x) = |x − 1| − |x + 1|
(b) z 2 = i
(a) z 2 − 2iz + 8 = 0
(b) |x| + |y| ≤ 1
1.6 Berechnen Sie z + w , z − w , z · w ,
w = 1 − i,
(b) z = cos t + i sin t ,
z
, z · w , z · z , |z| , |w|
w
für:
b, t ∈ R , b 6= 0 .
w = bi ,
1.7 Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie den Betrag von:
1
,
z1 =
a+i
a ∈ R,
+ 2i
z2 =
1
2 + 1−i
5
2
(e) z 4 =
(1 + 2i)(2 − i) + 1
.
z3 =
(2 − i)2 − 2 + i
Aufgaben und Lösungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
√
(c) z 3 = −a , a > 0
i 3−1
2
2.5 Lösen Sie die quadratischen Gleichungen mittels quadratischer
Ergänzung.
1.5 Veranschaulichen Sie die Lösungsmenge in der x-y-Ebene .
3,
z5 = (2 + i) eπ/6
Geben Sie Real- und Imaginärteil von Produkt und Quotient an.
1.4 Skizzieren Sie folgende reelle Funktionen.
√
3−i
2.3 Berechnen Sie die Potenzen.
√
(a) (1 − i)10
(b) (2 + i 12)−5
(b) |x − 1| + |x + 5| ≤ 4
(a) z = 1 + i
√
!
z1
2.2 Berechnen Sie z1 z2 und
für z1 = 2 cos 5π
+ i sin 5π
6
6
z2
√
und z2 = 1 + i 3 , indem Sie z2 in die Polarform umwandeln .
Lösen Sie die Aufgabe (b) auch grafisch.
(a) |x + y| ≤ 1
z4 =
(b) z 2 − z + iz − i = 0
2.6 Die Zahl z liegt im ersten Quadranten der Gaußschen Zahlenebene.
In welchen Quadranten liegen die Zahlen −z und 1/z = z −1 ?
2.7 Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge aller Zahlen z ,
die den Ungleichungen genügen.
(a) |z| ≤ 4
(b) |z − z0 | > 5 , z0 ∈ C
(d) 0 ≤ Re(iz) ≤ 2π
(c) 2 ≤ |z + 3 − 2i| ≤ 3
(e) |z − 1| ≤ |z + 1|
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