XIII. Elektrodynamik eines Plasmas

N.BORGHINI
Theoretische Physik IV
Elektrodynamik in Materie
XIII. Elektrodynamik eines Plasmas
Als Plasma wird ein Zustand der Materie bezeichnet, bestehend aus frei beweglichen Ladungsträgern, der den ganzen zu Verfügung stehenden Raum besetzen kann. Ein Beispiel davon ist ein
teilweise oder völlig ionisiertes Gas.
Dank der Anwesenheit frei beweglicher Ladungsträger ist ein Plasma ein elektrischer Leiter.
Damit sollten die allgemeinen Ergebnisse der Abschnitte X.1 und XII.2.3 gelten. Hiernach wird ein
einfaches System betrachtet, mit nur zwei Arten von Ladungen: Elektronen (Ladung −e, Masse me ,
Dichte n e ) und positiv geladenen Ionen (Ladung +Ze mit Z ∈ N, Masse MZ me , Dichte n Z ).
Die Dichten werden durch Mittelung über Volumina erhalten, die viele Teilchen enthalten, so dass
die Fluktuationen δ n der Dichte klein bleiben: δ n n .
Dieses Plasma ist im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T . Außerdem wird im
„Gleichgewichtszustand“ lokale Neutralität angenommen:
%0 (~r) = −en e (~r) + Zen Z (~r) = 0.
(XIII.1)
Im Folgenden wird angenommen, dass der Gleichgewichtszustand gleichförmig ist, sowie dass dass
alle Bestandteile die gleiche Temperatur haben.
Neben dem thermischen Gleichgewicht gilt auch das „chemische“ Gleichgewicht
IonZ+ + Z e− Ion(Z−1)+ + (Z − 1) e− · · · Atom.
(XIII.2)
Somit sind die Verhältnisse der Dichten der unterschiedlichen Ionen (wenn Z > 1) und der
zugehörigen neutralen Atome durch die Gleichgewichtsbedingung bestimmt. Hiernach werden
alle nicht völlig ionisierten Spezies vernachlässigt, entsprechend dem Hoch-Temperatur-Limes.
Bei sehr hohen Temperaturen werden auch Elektron-Positron-Paare erzeugt — diese Möglichkeit
wird hier nicht berücksichtigt.
Bemerkung: In einem ionisierten Gas sind die freien Ladungsträger Elektronen und Ionen, d.h.
elektrisch geladene Freiheitsgrade; damit handelt es sich um ein elektromagnetisches Plasma.
Weitere Plasmen sind auch (zumindest theoretisch) möglich für Teilchen, die Ladungen bezüglich
anderer Wechselwirkungen tragen: beispielsweise können die „farbgeladene“ Quarks und Gluonen
ein Quark-Gluon-Plasma bilden, das nicht durch die elektromagnetische Wechselwirkung geherrscht
wird, sondern durch die Quantenchromodynamik.
XIII.1 Klassifikation von Plasmen
Die Eigenschaften eines Plasmas im thermischen Gleichgewicht hängen nur von der Temperatur
T , der Teilchendichte eines der Bestandteile — z.B. n e — und den charakteristischen Größen der
Ladungsträger ab. Dann folgen die Dichten der anderen Bestandteilen aus der lokalen Neutralität (XIII.1) und gegebenenfalls aus den Gleichungen, die das chemische Gleichgewicht ausdrücken.
Je nach den Werten dieser Parameter können verschiedene Regime unterschieden werden.
XIII.1.1 Klassisches gegen Quantenplasma, relativistisch gegen nichtrelativistisch
Quanteneffekte in einem Plasma müssen
√ berücksichtigt werden, wenn die thermische de-BroglieWellenlänge66 der Elektronen λth ∼ ~/ me kB T derselben Größenordnung oder größer als der ty−1/3
pische Abstand zweier Elektronen ∼ n e
ist. Diese Effekte sind also vernachlässigbar wenn die
1/3 2
aus dem Pauli-Prinzip resultierende kinetische Energie („Nullpunktenergie“) ∼ ~n e
/2me viel
r
66
Für ein massives bzw. masseloses Teilchen gilt definitionsgemäß λth ≡
XIII. Elektrodynamik eines Plasmas
2π~2
π 2/3 ~c
bzw. λth ≡
.
mkB T
kB T
129
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kleiner als die thermische Bewegungsenergie ∼ kB T ist. Wenn die Letztere außerdem viel kleiner als
die Massenenergie ist, dann ist das Plasma nichtrelativistisch. Für ein klassisches Plasma gilt also
1/3 2
~n e
kB T me c2 .
(XIII.3)
2me
Diese Bedingungen werden erfüllt im intergalaktischen bzw. interstellaren Plasma (n e ∼ 1−105 m−3 ,
T ∼ 106 − 104 K), in der Magneto- bzw. Ionosphäre von Planeten (für die Erde n e ∼ 107 − 1012 m−3 ,
T ∼ 107 − 103 K), sowie in den dichteren Plasmen erzeugt in Gasentladungen (n e ∼ 1016 m−3 ,
T ∼ 104 K) oder in Fusionsexperimenten (n e ∼ 1020 m−3 , T ∼ 108 K in Tokamaks, n e ∼ 1027 m−3 ,
T ∼ 107 K in Trägheitsfusionsexperimenten).
Im Fall des Plasmas im Zentrum der Sonne (n e ∼ 1032 m−3 , T ∼ 107 K) oder schwererer Sterne
dürfen die Quanteneffekte im Gegensatz nicht vernachlässigt werden.
In einem nichtrelativistischen entarteten Plasma gilt
1/3 2
~n e
kB T me c2 .
(XIII.4)
2me
Dies ist der Fall in weißen Zwergen (n e ∼ 1036 m−3 , T . 108 K — der Entartungsdruck der Elektronen ist für die Stabilität der weißen Zwerge gegen Gravitationskollaps verantwortlich) sowie für
das sog. „Elektronengas“ in einem (Halb)Leiter.
In relativistischen Plasmen sind Quanteneffekte nie vernachlässigbar. Wegen der hohen Temperatur werden nämlich Elektron-Positron-Paare ständig erzeugt, insbesondere mit kinetischen Energien kleiner oder derselben Größenordnung als kB T , d.h. für die der Unterschied zwischen klassischer
und Quantenstatistik erheblich ist. Ein relativistisches Plasma kann sogar entartet sein, wenn die
Nullpunktenergie ∼ ~c/n e−1/3 viel größer als kB T ist.
Ein Beispiel relativistisches Plasmas wird durch die Teilchen im frühen Universum dargestellt.
XIII.1.2 Schwach gegen stark wechselwirkendes Plasma
Die Wechselwirkungen in einem Plasma können als „schwach“ betrachtet werden, wenn die zuge−1/3
hörige charakteristische elektrostatische Energie hEpot i . e2 /(4π0 n e ) viel kleiner als die typische
kinetische Energie ist:
schwach wechselwirkendes Plasma ⇔ hEpot i hEkin i .
(XIII.5)
In solchen Plasmen werden Wechselwirkungen dann in erster Näherung vernachlässigt, und in einem
Schritt in Störungsrechnung behandelt.
In einem klassischen Plasma, wo die typische kinetische Energie der Teilchen gleich der thermischen Bewegungsenergie kB T ist, lautet diese Bedingung
1/3
e2 n e
kB T,
(XIII.6)
4π0
so dass die Wechselwirkungen mit sinkender Dichte schwächer werden.
In einem entarteten Plasma, wo die kinetische Energie durch die quantenmechanische Nullpunktenergie bestimmt wird, ist das Verhalten unterschiedlich. Wenn das Plasma nichtrelativistisch ist,
1/3 2
dann ist hEkin i ∼ ~n e
/2me , so dass die Wechselwirkungen vernachlässigbar sind wenn
1/3 2
1/3
~n e
e2 n e
,
(XIII.7)
4π0
2me
e2 me
1/3
d.h. n e : um so dichter das Plasma, desto schwächer die Wechselwirkungen.
2π0 ~2
Dies stellt eine gute Näherung in weißen Zwergen dar.
Für das Elektronengas in einem Leiter können im Gegensatz die Wechselwirkungen zwischen
den Elektronen nicht vernachlässigt werden.
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In einem ultrarelativistischen Plasma, wo die Teilchendichte wegen der Paarerzeugung eine
untere Schranke besitzt, die aus dimensionalen Gründen der Ordnung (kB T /~c)3 sein soll, wird
Gl. (XIII.6) zu
e2 kB T
kB T,
(XIII.8)
4π0 ~c
d.h. αe.m. 1, mit αe.m. der Feinstrukturkonstante der Elektrodynamik. Damit sind die Wechselwirkungen in einem relativistischen elektromagnetischen Plasma immer vernachlässigbar.
XIII.2 Elektrostatik eines Plasmas
−1/3
Wechselwirkungen zwischen den Teilchen des Plasmas führen bei großen Abständen ` n e
zu kollektiven Effekten, wie z.B. der Abschirmung der elektrischen Ladung bzw. des Potentials.
In einem Punkt eines Plasmas im Gleichgewicht wird eine punktförmige Testladung q eingeführt:
als Antwort verschieben sich die Ladungsträger des Plasmas, entsprechend einer induzierten Polarisation bzw. Ladungsdichte. In der folgenden Herleitung wird der Einfachheit halber die Verschiebung
der Ionen vernachlässigt, d.h. ihre Masse wird als unendlich groß betrachtet.
Die Testladung erzeugt ein makroskopisches elektrisches Potential Φ(~r), mit dem Koordinatenursprung bei der Ladung, das der Poisson-Gleichung
− 4Φ(~r) =
%(~r)
q
%ind. (~r)
= δ (3) (~r) +
0
0
0
(XIII.9)
genügen soll, wobei %ind. die (makroskopische) induzierte Ladungsdichte bezeichnet. Diese lässt sich
im thermodynamischen Gleichgewicht einfach berechnen, indem die Energie E in der mittleren
Besetzungszahl durch E − eΦ(~r) ersetzt wird, d.h. unter Berücksichtigung der elektrostatischen
Energie. Für Elektronen wird die Besetzungszahl durch die Fermi–Dirac-Verteilung
f0 (E) =
exp
1
E−µ
+1
kB T
gegeben, die also in Anwesenheit der Testladung durch
fΦ (E) =
exp
1
E − eΦ(~r) − µe
+1
kB T
ersetzt wird, mit µe dem chemischen Potential der Elektronen. Somit ist die induzierte Ladungsdichte, entsprechend der Differenz zwischen den Ladungsdichten in Anwesenheit und in Abwesenheit
der Testladung,67 durch die Summe über alle Quantenzustände gegeben:
Z
d3 p~
%ind. (~r) = −2e fΦ (Ep~ ) − f0 (Ep~ )
,
(2π~)3
wobei die Abhängigkeit der Energie vom Impuls mithilfe des tiefgestellten p~ gekennzeichnet wird,
während der Faktor 2 dem Entartungsgrad der Spin- 21 Elektronen entspricht.
Wenn die potentielle elektrostatische Energie klein gegen die kinetische Energie ist, entsprechend
dem Fall eines schwach wechselwirkenden Plasmas, kann die Besetzungszahl fΦ (E) Taylor-entwickelt
werden:
df0
(E) für |eΦ(~r)| E.
fΦ (E) ' f0 (E) − eΦ(~r)
dE
Z
df0 (Ep~ ) d3 p~
0
2
Damit ergibt sich %ind. (~r) = 2e Φ(~r)
= − 2 Φ(~r) mit rD der durch
3
dE (2π~)
rD
67
Die Ladungsdichte der Elektronen in Abwesenheit der Testladung ist durch die lokale Neutralität (XIII.1) mit
der Ladungsdichte der Ionen verknüpft, die sich nicht ändert, wenn die Testladung eingeführt wird.
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1
−2e2
≡
2
0
rD
Z
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df0 (Ep~ ) d3 p~
dE (2π~)3
(XIII.10)
definierten Debye-Länge, die nur von T , µe und den charakteristischen Größen der Elektronen
abhängt.
Schließlich wird die Poisson-Gleichung für das elektrische Potential zu einer (inhomogenen)
Helmholtz-Gleichung (XIII.9)
q
1
− 4Φ(~r) + 2 Φ(~r) = δ (3) (~r).
(XIII.11)
0
rD
Die physikalisch sinnvolle Lösung dieser Gleichung ist das abgeschirmte Potential 68
Φ(~r) =
q e−|~r|/rD
.
4π0 |~r|
(XIII.12)
Für Abstände zur Punktladung |~r| rD wird das Potential exponentiell klein. Dementsprechend
ist das elektrische Feld in einem statischen Plasma im Gleichgewicht annähernd null, wie im Inneren
eines Leiters im Gleichgewicht zu erwarten ist.
Beweis von Gl. (XIII.12): in Kugelkoordinaten gilt für r 6= 0
1 d2 1d
1d
4Φ(~r) =
rΦ(~r) =
r
r Φ(~r).
r dr2
r dr
r dr
Somit wird Gl. (XIII.11) zu
2
1d
1
1d
1
r Φ(~r) = 2 Φ(~r) ⇔
r Φ(~r) = ±
Φ(~r) für r 6= 0.
r dr
rD
r dr
rD
C
Die Lösung mit dem + Vorzeichen ist nicht physikalisch, so dass Φ(~r) = e−r/rD , mit C einer
r
Konstante.
Bei kleinen Abständen sollte die Ladung nicht abgeschirmt werden, entsprechend dem Potential
q
,
Φ(~r) ∼
r→0 4π0 r
woraus C = q/(4π0 ) folgt.
Ein alternativer Beweis wird in Anhang XIII.A dargelegt.
Gleichung (XIII.11) wurde hergeleitet unter Nutzung einer induzierten Ladungsdichte, die einem
durch die statistische Physik gegebenen Mittelwert entspricht. Somit gilt die Herleitung nur dann,
wenn viele Teilchen zum kollektiven Effekt beitragen: die Debye-Länge muss also viel größer als der
−1/3
typische Abstand zwischen den Elektronen sein, rD n e . Aus ihrer Definition (XIII.10) kann
man die Größenordnung der Debye-Länge abschätzen:
Z
1
e2 f0 (Ep~ ) d3 p~
e2 n e
∼
∼
,
2
0 hEkin i (2π~)3
0 hEkin i
rD
mit hEkin i der mittleren kinetischen Energie eines Elektrons im Plasma. Somit gilt
1
2 n 2/3
rD
e
1/3
∼
e2 n e
0
hEpot i
1
∼
,
hEkin i
hEkin i
mit hEpot i der mittleren potentiellen Energie eines Elektrons. Die Herleitung der Gl. (XIII.11) gilt
also für hEpot i hEkin i, d.h. in einem schwach wechselwirkenden Plasma.
Die charakteristische Längenskala der Abschirmung, rD , ist eine neue „makroskopische“ Skala.
3 befinden sich viele Teilchen, deshalb wird die Abschirmung (und andere
In einem Volumen rD
Polarisationseffekte) als ein kollektives Effekt bezeichnet.
68
Die mit dem Abstand |~r| zur Testladung wachsende Lösung kann weggelassen werden.
XIII. Elektrodynamik eines Plasmas
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Bemerkungen:
∗ In einem klassischen Plasma im Gleichgewicht69 kann man die Fermi–Dirac-Verteilung durch
die Boltzmann-Verteilung f0kl. (E) = e−(E−µ)/kB T ersetzen. Damit ist −df0kl. /dE = f0kl. (E)/kB T , so
dass die Debye-Länge (XIII.10) analytisch berechenbar wird:
r
0 kB T
rD =
.
(XIII.13)
n e e2
∗ Unter Berücksichtigung der Bewegung der Ionen wird die Debye-Länge wenig verschoben, wie
sich einfach prüfen lässt.70
∗ Für ~r 6= ~0 ist die Gleichung (XIII.11) analog der Bewegungsgleichung (Klein–Gordon-Gleichung)
eines relativistischen Teilchens mit der Masse m > 0
1 ∂2Φ
m2 c2
−
4Φ
+
Φ = 0,
c2 ∂t2
~2
wobei die Zeitableitung im statischen Fall verschwindet. Damit ist das Berücksichtigen der Polarisationseffekte äquivalent zur Zuordnung einer Masse mD ≡ ~/rD c, der Debye-Masse, zum Photon.
∗ Der Vergleich der Gl. (XIII.11) zur Festlegung des Potentials mit der Gl. (XII.14) für elektromagnetische Wellen in Materie gibt für das statische Plasma
1
µ(ω) (ω) ∼ − 2 2 ,
ω→0
rD ω
entsprechend [Gl. (XII.12b)] einem Leiter mit einer konstanten Permeabilität µ(ω) = µ(0), Γ1 = 0
2.
und Ω21 = 1/µ(0)rD
∗ Im Gegensatz zum elektrischen Feld wird das magnetische Feld nicht abgeschirmt.
XIII.3 Plasmaschwingungen
Sei ein Plasma im Gleichgewichtszustand, mit der Ladungsdichte %0 = −en e,0 + Zen Z = 0, der
~ 0 = ~0. Es wird angenommen, dass
Ladungsstromdichte J~0 = ~0 und dem elektrostatischen Feld E
kein äußeres magnetisches Feld vorhanden ist.
Unter einer externen Störung versetzen die Elektronen in Schwingungen um die mehr massiven
Ionen. Damit ändert sich die Ladungsdichte:
%(t, ~r) = −e n e,0 + n e,1 (t, ~r) + Zen Z = −en e,1 (t, ~r),
(XIII.14)
wobei die Verschiebung der Ionen vernachlässigt wurde. Dementsprechend ändert sich das elektrische
~ ~r) = E
~0 + E
~ 1 (t, ~r), sowie die Ladungsstromdichte
Feld: E(t,
~ ~r) = J~0 + J~1 (t, ~r) ' −en e,0~v1 (t, ~r),
J(t,
(XIII.15)
mit ~v1 der (kleinen) mittleren Geschwindigkeit der Elektronen. Hier wurde −ene,1~v1 als eine Größe
zweiter Ordnung vernachlässigt, entsprechend |n e,1 | n e,0 bzw. der Linearisierung der Gleichungen.
Diese Plasmaschwingungen verletzen momentan die lokale Neutralität, die sich nach einer typischen Zeitdauer TP ∼ ωP−1 wiederherstellt, mit ωP der Plasmafrequenz.
XIII.3.1 Plasmafrequenz
Mit der Ladungsdichte (XIII.14) und der Ladungsstromdichte (XIII.15) lautet die Kontinuitätsgleichung
∂ n e,1 (t, ~r)
~ · ~v1 (t, ~r) = 0.
−e
− en e,0 ∇
∂t
69
Die Abschirmung in klassischen Plasmen außer Gleichgewicht wird in Ref. [32] diskutiert.
Manchmal werden unterschiedliche Temperaturen für die Elektronen und die postiven Ionen angenommen („Zweitemperaturplasma“).
70
XIII. Elektrodynamik eines Plasmas
133
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Die Ableitung dieser Identität nach der Zeit gibt, unter Berücksichtigung des Grundprinzips der
Dynamik
∂ 2 n e,1 (t, ~r) en e,0 ~ ~
∇ · E1 (t, ~r) = 0,
−
∂t2
me
wobei der magnetische Teil der Lorentz-Kraft vernachlässigt wurde. Mithilfe der Maxwell–GaußGleichung ergibt sich schließlich
∂ 2 n e,1 (t, ~r)
+ ωP2 n e,1 (t, ~r) = 0,
(XIII.16a)
∂t2
d.h. Schwingungen der Elektronen relativ zu den Ionen (sog. Langmuir-Schwingungen) mit einer
Kreisfrequenz
s
ωP ≡
e2 n e,0
,
me 0
(XIII.16b)
der Plasmafrequenz .
r
Bemerkungen:
kB T
∗ Mit der klassischen Debye-Länge (XIII.13) und der mittleren Geschwindigkeit |~
v1 | ∼
me
eines Elektrons bei der Temperatur T gilt
|~
v1 |
,
ωP−1 ∼
rD
d.h. ωP−1 stellt die Zeitdauer dar, die ein Elektron zur Durchquerung der Länge rD benötigt.
∗ In Fourier-Darstellung lautet die Wellengleichung (XIII.16a) (−ω 2 + ωP2 ) ñ e,1 (ω, ~r) = 0. Der
Vergleich mit der Gl. (XII.14) für elektromagnetische Wellen in Materie zeigt, dass die Schwingungen
nicht propagieren (d.h. ~k = ~0), und gibt
ωP2
,
ω2
wobei die Normierung r (ω) µr (ω) → 1 für ω → ∞ benutzt wurde, entsprechend dem Verhalten
eines Leiters mit µr (ω) = 1, Γ1 = 0 und Ω21 = ωP2 .
r (ω) µr (ω) = 1 −
Für Kreisfrequenzen ω < ωP wird r (ω) µr (ω) negativ, d.h. der Brechungsindex (XII.15) wird rein
imaginär. Dementsprechend können elektromagnetische Wellen mit solchen Frequenzen nicht im
Plasma propagieren, sondern werden reflektiert. Diese Tatsache wird für Radiowellen benutzt, die
an der unteren Ionosphäre reflektiert werden.
XIII.3.2 Longitudinale und tranversale Wellen
Eine detaillierte (aber noch vereinfachte) Analysis zeigt, dass es zwei Arten von Plasmaschwingungen71 mit unterschiedlichen Dispersionsrelationen gibt.
XIII.3.2
a Zwei-Fluid-Modell. Bewegungsgleichungen
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Im Folgenden werden die Teilchen einer gegeben Spezies als ein Fluid betrachtet, mit einer
Strömungsgeschwindigkeit ~v(t, ~r), die gleich der mittleren Geschwindigkeit der Teilchen ist, d.h.
gleich der Geschwindigkeit, die im Ausdruck der makroskopischen Ladungsstromdichte auftritt.
Für das hier betrachtete Zweikomponenten-Plasma wird also ein Zwei-Fluid-Modell benutzt: das
Elektronenfluid ist in Bewegung (~ve = ~v1 ), das Ionenfluid ruht.
Die Konsistenz der Modellierung als ein Fluid erfordert, dass die Wellenlänge des elektromagnetischen Feldes in der Materie viel größer als die mittlere freie Weglänge `mfp der Teilchen im
Plasma sein soll, d.h. für den Wellenvektor |~k| `−1
mfp .
71
Tatsächlich gibt es noch mehr Arten von Schwingungen in einem Plasma, insbesondere in Anwesenheit eines
„externen“ magnetischen Feldes, dessen Richtung die Isotropie des Plasmas zerstört.
XIII. Elektrodynamik eines Plasmas
134
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Die Grundgleichungen des Modells sind auf der einen Seite die makroskopischen Maxwell~ und B
~ ausgedrückt werden,
Gleichungen, die hiernach bezüglich der makroskopischen Felder E
und die Euler-Gleichung in Anwesenheit der Lorentz-Kraftdichte. Die Letztere lautet
∂~v1 (t, ~r) ~
~ P (t, ~r) − en e (t, ~r) E(t,
~ ~r) +~v1 (t, ~r) × B(t,
~ ~r) .
me n e (t, ~r)
+ ~v1 (t, ~r) · ∇ ~v1 (t, ~r) = −∇
∂t
(XIII.17)
Die Linearisierung dieser Gleichung führt zum Weglassen des konvektiven Terms in der linken
Seite und des magnetischen Teils in der rechten Seite. Außerdem gilt gemäß der Definition (IV.19)
~ P (t, ~r) = c2s ∇[m
~ e n e (t, ~r)] = me c2 ∇
~
der Schallgeschwindigkeit ∇
r).
s n e,1 (t, ~
Damit lautet die zeitliche und räumliche Fourier-Darstellung der Gl. (XIII.17) und der MaxwellGleichungen, unter Berücksichtigung der Gl. (XIII.14) und (XIII.15)
e
i~k · E~ (ω, ~k) = − ne,1 (ω, ~k),
(XIII.18a)
0
~
~k) = 0,
i~k · B(ω,
(XIII.18b)
~
~k) = ~0,
i~k × E~ (ω, ~k) − iω B(ω,
(XIII.18c)
~
~k) + i ω E~ (ω, ~k) = − e n e,0 ~v#1 (ω, ~k),
i~k × B(ω,
c2
0 c2
(XIII.18d)
− iωme n e,0 ~v#1 (ω, ~k) = −me c2s i~k ne,1 (ω, ~k) − en e,0 E~ (ω, ~k).
(XIII.18e)
sowie
~
Hier bezeichnen E~ , B,
ne,1
~ B,
~ n e,1 , ~v1 .
, ~v#1 die Fourier-Transformierten von E,
XIII.3.2
b Wellengleichung
::::::::::::::::::::::::::
~
~
B(ω, k) lässt sich mithilfe von Gl. (XIII.18c) in Abhängigkeit von E~ (ω, ~k) ausdrücken. Die
Multiplikation nach links mit i~k gibt dann
~
~k) = i ~k × ~k × E~ (ω, ~k) = i ~k · E~ (ω, ~k) ~k − ~k 2 E~ (ω, ~k) ,
i~k × B(ω,
ω
ω
was in der linken Seite der Gl. (XIII.18d) eingesetzt werden kann. Die rechte Seite dieser selben Gleichung kann mithilfe der Gl. (XIII.18e), multipliziert mit e/0 c2 , umgeschrieben werden. Schließlich
ergibt sich
i ~ ~
ω
1 −e ne,1 (ω, ~k) 2 ~ e2 n e,0 ~
~k) .
k · E (ω, ~k) ~k − ~k 2 E~ (ω, ~k) + i 2 E~ (ω, ~k) =
c
i
k
−
E
(ω,
s
ω
c
iωc2
0
0 me
Im ersten Term in den Klammern auf der rechten Seite erkennt man die rechte Seite der Maxwell–
Gauß-Gleichung (XIII.18a), während im zweiten Term die Plasmafrequenz (XIII.16b) auftritt. Somit
lässt sich diese Gleichung schreiben als
c2 ~k · E~ (ω, ~k) ~k − ~k 2 E~ (ω, ~k) + ω 2 E~ (ω, ~k) = c2s ~k · E~ (ω, ~k) ~k + ωP2 E~ (ω, ~k).
(XIII.19)
Dies stellt die Wellengleichung für das elektrische Feld dar.
XIII.3.2
c Longitudinale und transversale Schwingungsmoden
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Man definiert die longitudinale bzw. transversale Komponente des elektrischen Feldes (bezüglich
der Richtung des Wellenvektors ~k) durch
~k · E~ (ω, ~k)
~k,
E~k (ω, ~k) ≡
~k 2
(XIII.20a)
~k 2 E~ (ω, ~k) − ~k · E~ (ω, ~k) ~k
E~⊥ (ω, ~k) ≡ E~ (ω, ~k) − E~k (ω, ~k) =
.
~k 2
(XIII.20b)
XIII. Elektrodynamik eines Plasmas
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Diese Komponenten sind für beliebigen ~k orthogonal:
2 i
1 h ~ ~ 2~ 2
E~k · E~⊥ =
k · E k − ~k · E~ ~k 2 = 0
(~k 2 )2
∀~k.
Durch Einsetzen der Zerlegung E~ = E~k + E~⊥ in Gl. (XIII.19) ergibt sich die Wellengleichung
i
i
h
h
(XIII.21)
ω 2 E~k (ω, ~k) + E~⊥ (ω, ~k) = ωP2 E~k (ω, ~k) + E~⊥ (ω, ~k) + c2s~k 2 E~k (ω, ~k) + c2~k 2 E~⊥ (ω, ~k),
die mithilfe der Orthogonalitätseigenschaft zu zwei unterschiedlichen Dispersionsrelationen für die
Komponenten E~k , E~⊥ führt:
• für die transversale Komponente E~⊥ (ω, ~k), entsprechend zwei Polarisationszuständen, gilt
ω(~k)2 = ωP2 + c2~k 2 .
(XIII.22)
Fortschreitende Wellen mit einem reellen Wellenvektor können nur für ω > ωP existieren. Dann
~
~k) = (~k/ω) × E~ (ω, ~k), d.h. das entsprechende magnetische Feld ist
gilt [Gl. (XIII.18c)] B(ω,
auch transversal, wie im Vakuum: somit spricht man von elektromagnetischen Plasmawellen.
Die Phasen- bzw. Gruppengeschwindigkeit dieser Wellen ist
ωP2 −1/2
ωP2 1/2
ceff (ω) = c 1 − 2
,
vg (ω) = c 1 − 2
,
ω
ω
d.h. größer bzw. kleiner als c, die aber die Größenordnung dieser Geschwindigkeiten darstellt.
• für die longitudinale Komponente E~k (ω, ~k), entsprechend einem einzigen Polarisationszustand,
lautet die Dispersionsrelation (sog. Bohm-Gross Dispersionsrelation)
ω(~k)2 = ω 2 + c2~k 2 .
(XIII.23)
P
s
d.h. diese Langmuir-Wellen propagieren nur für ω > ωP , mit einer Phasen- bzw. Gruppengeschwindigkeit vergleichbar mit der Schallgeschwindigkeit.72
Bemerkungen:
∗ Die Zerlegung in longitudinale und transversale Komponenten kann für ein beliebiges Vektorfeld
~ (~r) durchgeführt werden. Sei V~ (~k) die räumliche Fourier-Transformierte des Feldes. Für jeden ~k
V
führt man die Tensoren
~ ~
~k ⊗ ~k
~
~
~~ ~
~Pk (~k) ≡ k ⊗ k ,
P⊥ (k) ≡ ~~1 − ~Pk (~k) = ~~1 −
(XIII.24)
~k 2
~k 2
ki kj
ki kj
und (P⊥ )ij = δij −
.
ein, mit den jeweiligen Komponenten (Pk )ij =
~k 2
~k 2
~~ ~
~
Pk (k) bzw. ~P⊥ (~k) projiziert einen Vektor auf die Richtung von ~k bzw. auf die Ebene senkrecht zu
~k. Damit ergibt sich73 V~ (~k) = V~k (~k) + V~⊥ (~k) mit
~
V~k (~k) = ~Pk (~k) · V~ (~k),
~
V~⊥ (~k) = ~P⊥ (~k) · V~ (~k),
V~k (~k) · V~⊥ (~k) = 0 ∀~k.
∗ In der Näherung eines kalten Plasmas wird die thermische Bewegung der Elektronen (und a
fortiori der Ionen) vernachlässigt: somit üben die Elektronen keinen Druck aus, entsprechend cs = 0.
In diesem Fall vereinfacht sich die Dispersionsrelation (XIII.22) zu ω 2 = ωP2 , d.h. die Wellen können
nur mit der Plasmafrequenz ωP propagieren.
Dies ist im Gegensatz zur Propagation einer Schallwelle in einem Gas oder einer Flüssigkeit, wobei
die Frequenz beliebig sein kann.
72
Die entsprechenden Wellen der Ionen, wenn diese als beweglich betrachtet werden, werden als Ionen-Schallwellen
bezeichnet.
~
~
73
~Pk (~k) · ~
~P⊥ (~k) = ~
~P⊥ (~k) · ~
~Pk (~k) = 0.
~1 und ~
Dies folgt aus den Eigenschaften ~Pk (~k) + ~P⊥ (~k) = ~
XIII. Elektrodynamik eines Plasmas
136
N.BORGHINI
Elektrodynamik in Materie
Theoretische Physik IV
XIII.A Alternativer Herleitung des abgeschirmten Potentials
Eine Möglichkeit, um die Helmholtz-Gleichung (XIII.11) zu lösen, besteht in dem Durchführen
einer räumlichen Fourier-Transformation. Dann wird die Gleichung zu
~k 2 − k 2 Φ̃(~k) = q
D
0
⇔
q
1
Φ̃(~k) =
,
2
2
~
0 k − kD
−1
mit kD = rD
. Die inverse Transformation lautet
Z 1
Z ∞
Z
k2
q
d3~k
−ikr cos θ
−i~k·~
r
~
= 2
e
d(cos θ) dk
Φ̃(k)
Φ(~r) = e
2
(2π)3
4π 0 0 k 2 + kD
−1
Z ∞
Z ∞
iq
q
i −ikr
k2
k
ikr
= 2
e
−e
dk = 2
e−ikr − eikr dk,
2
2
2
2
4π 0 0 k + kD kr
4π 0 r 0 k + kD
mit θ dem Winkel zwischen ~k und ~r. Wenn I das Integral im letzten Glied bezeichnet, dann gilt
dank der Geradheit des Integranden
Z +∞
Z
k e−ikr
k
1 ∞
−ikr
ikr
e
−
e
dk
=
I=
2
2 dk,
2
2 −∞ k 2 + kD
−∞ k + kD
wobei die zweite Identität aus der Variablenänderung k → k 0 = −k folgt. Dieses Integral lässt sich
mithilfe des Residuensatzes berechnen. Die Polstellen des Integranden in der komplexen Ebene sind
bei k = ±ikD . Der Faktor e−ikr deutet einen Pfad Γ in der unteren Halbebene an, bestehend aus
der reellen Achse und einem Halbkreis im Unendlichen: dann spielt nur das Residuum bei k = −ikD
eine Rolle. Da der Pfad im Uhrzeigersinn durchlaufen wird, taucht ein − Vorzeichen auf. Schließlich
ergibt sich
I = −iπ e−kD r ,
und somit
Φ(~r) =
q
e−kD r ,
4π0 r
entsprechend Gl. (XIII.12).
Literatur
• Feynman [5, 6], Kapitel 7.3–7.4
• Lifschitz–Pitajewski [33], Kapitel III.
XIII. Elektrodynamik eines Plasmas
137