Lineare Algebra

Lineare Algebra
Beni Keller
SJ 16/17
Matritzen
Einführendes Beispiel
Ein Betrieb braucht zur Herstellung von 5 Zwischenprodukten 4 verschiedene Rohstoffe und zwar in
folgenden Mengen:
R1
R2
R3
R4
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
1
1
3
0
2
0
1
2
1
4
1
0
0
2
0
1
1
0
0
2
Drei Endprodukte werden dann aus diesen Zwischenprodukten und den Rohstoffen nach folgenden
Tabellen hergestellt:
E1
E2
E3
2
1
0
1
0
0
1
3
0
1
1
2
1
4
0
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
R2
R4
E1
E2
1
2
3
1
Wie viele Rohstoffe benötigt man zur Herstellung von 50 Einheiten von E1 , 200 Einheiten von E2
und 100 Einheiten von E3 ?
1. Erstelle eine Tabelle, aus welcher sich direkt die Anzahl Rohstoffe pro Endprodukt ablesen
lässt.
2. Wie viele Rohstoffe benötigt man zur Herstellung von 50 Einheiten von E1 , 200 Einheiten
von E2 und 100 Einheiten von E3 ?
1
Definition und Rechengesetze
Definition
Eine reelle (m × n)-Matrix (Mehrzahl: Matrizen) ist eine rechteckig Anordnung (Tabelle) von Zahlen
mit m Zeilen und n Spalten.

a1,1

a
 2,1
 .
 .
 .

···
···
..
.
a1,2
a2,2
..
.
am,1 am,2 · · ·
a1,n
a2,n 

.. 

. 
am,n
mit ai,j ∈ R für alle i ∈ {1, . . . , m} und j ∈ {1, . . . n}. Wie bei einem Vektor heissen die einzelnen
Elemente ai,j Komponenten der Matrix. Tatsächlich ist ein (Spalten-) Vektor eine (m × 1)-Matrix.
Skalarmultiplikation
Gegeben seien eine (m × n)-Matrix A und ein Skalar λ ∈ R. So ist die Skalarmultiplikation λA,
jene Matrix, welche entsteht, wenn die einzelnen Komponenten von A mit λ multipliziert wird.

λa1,1

 λa2,1
λA := 
 ..
 .
λa1,2
λa2,2
..
.
···
···
..
.
λam,1 λam,2 · · ·

λa1,n
λa2,n 

.. 

. 
λam,n
Addition
Gegeben seien zwei (m × n)-Matrizen A und B. Wir definieren die Addition A + B als jene Matrix,
welche entsteht, wenn wir die entsprechenden Komponenten von A und B addieren.
a1,1 + b1,1

 a2,1 + b2,1
A + B := 
..

.


a1,2 + b1,2
a2,2 + b2,2
..
.
···
···
..
.
am,1 + bm,1 am,2 + bm,2 · · ·
a1,n + b1,n
a2,n + b2,n
..
.
am,n + bm,n






Haben die beiden Matrizen nicht dieselbe Anzahl Spalten und Zeilen ist ihre Addition nicht möglich.
Da die Addition von Matrizen über die Addition von reellen Zahlen definiert ist, ist es nicht schwer
zu zeigen, dass die folgenden Rechengesetze gelten:
• Kommutativgesetz A + B = B + A.
• Distributivgesetz λA + λB = λ(A + B).
• Assoziativgesetz A + (B + C) = (A + B) + C.
2
Transponierte Matrix
Die transponierte Matrix B einer Matrix A ist die Matrix mit den Komponenten bi,j := aj,i . Wir
schreiben AT für die transponierte Matrix von A. Beispiel:
A=
3 −4 5
−9 2 0
3 −9


T
A = −4 2 
5
0


!
Man kann sich vorstellen, dass die Matrix beim Transponieren an der oben links beginnenden
Diagonale gespiegelt wird. Daher ist diese Diagonale in der transponierten Matrix ist immer gleich
der entsprechenden Diagonale in der ursprünglichen Matrix.
Multiplikation
Gegeben seien eine (m × n)-Matrix A und eine (n × l)-Matrix B. Das Produkt C := A · B der beiden
Matrizen ist definiert durch
ci,j :=
n
X
ai,k · bk,j
k=1
Das Produkt ist nur berechenbar, falls die Anzahl Spalten der ersten Matrix mit der Anzahl Zeilen
der zweiten übereinstimmt. Das Ergebnis C ist eine (m × l)-Matrix. Beispiel:
!
3 9
7 5
·
4 2
6 1
!
=
3·7+9·6 3·5+9·1
4·7+2·6 4·5+2·1
!
=
75 24
40 22
!
Spezielle Matrizen
Eine (m × n)-Matrix heisst
• Nullmatrix, falls für alle Komponenten gilt ai,j = 0.
0 0 ···
 .. .. . .
A = . .
.
0 0 ···

0
.. 
.

0
• quadratische Matrix, falls n = m. Beispiel:
3 −4 5


A = −9 2 0
11 −1 6


• (n × n)-Einheitsmatrix, falls ai,i = 1 und ai,j = 0 für i ≤ j. Wir bezeichnen die Einheitsmatrix
mit E oder In . Beispiel:
3
1 0 0


A = 0 1 0
0 0 1


• invertierbare Matrix, falls eine Matrix A−1 existiert, so dass
A · A−1 = A−1 · A = In
Jede invertierbare Matrix ist eine (n × n)-Matrix, hat also dieselbe Anzahl Spalten und Zeilen.
Übungsaufgaben
1. Gegeben seien die Matrizen
A=
1 −5
3 2
!
B=
4 3
−1 7
!
C=
2 −5 3
0 2 −1
!
Berechne wo möglich:
a) A + B =
b) AT + B =
c) 3C =
d) 2C + A =
e) C T =
f) C · A =
g) A · C =
h) C T · A =
2. Wie kann man mit Hilfe der Matrizenrechnung das zu Beginn des Dossiers gestellte Problem
lösen?
3. Du kennst die Gewinnbeziehungen im Spiel „Schere-Stein-Papier“. Stelle diese Beziehungen
in einer (3 × 3)-Dominanzmatrix A dar. Dabei hat ai,j den Wert 1, falls das Objekt mit der
Nummer i gegen das Objekt mit der Nummer j gewinnt, den Wert −1, wenn es umgekehrt ist
und den Wert 0 für Unentschieden.
4. Bei einem Mischprozess wird der Inhalt der Behälter A1 und A2 im angegebenen Verhältnis
in die Behälter B1 und B2 umgefüllt. Beschreibe den Mischprozess mit Hilfe einer Matrix.
4
5. Bei einem Mischprozess werden die Flüssigkeiten zweimal umgefüllt. Die einzelnen Mischungsverhältnisse sind der Skizze zu entnehmen. Wie kann der Übergang von A1 , A2 zu C1 , C2
mit Hilfe einer Matrix dargestellt werden? Beschreibe dazu die Übergänge von A1 , A2 zu B1 ,
B2 und von B1 , B2 zu C1 , C2 zuerst einzeln mit je einer Matrix.
5