2 Dreiecke
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Schülerbuchseite 38 – 59 Schülerbuchseite 38 – 41 2 Dreiecke Kommentare zum Kapitel Untersuchungen an Dreiecken finden sich in allen Mathematik-Curricula. Kongruente Dreiecke, ähnliche Dreiecke, trigonometrische Funktionen in rechtwinkligen Dreiecken sind Themen, die die Kompetenzen der Schülerinnen und Schüler in den entsprechenden Leitideen von Jahr zu Jahr erweitern. Kumulatives Lernen kann hier im Besonderen gepflegt werden. Auch bei der Untersuchung komplexer Polygone sind die Sätze der Dreieckslehre von grundlegender Bedeutung, da jedes ebene einfache Polygon triangulierbar ist. Vernetztes Denken wird hier besonders deutlich. Die im Buch gebrauchte Gliederung der Dreieckslehre ermöglicht den Schülerinnen und Schülern die notwendige Übersicht. Soll eine Zusammenschau der verschiedenen Lern­ einheiten unterstützt werden, kann eine Kernidee im Sinne von Gallin/Ruf (vgl. folgenden Exemplarischen Kommentar) in das Spiralcurriculum aufgenommen werden. Messungen an Figuren könnten eine solche Kernidee sein. Sie kann bei verschiedenen Themen (u. a. Konstruktionen, Flächenberechnungen, Strahlensätzen, trigonometrischen Funk­ tionen) immer wieder aufgegriffen werden. Daraus ergeben sich viele Möglichkeiten für die Selbsttätigkeit der Schülerinnen und Schüler beim Arbeiten auf Papier, am Bildschirm wie auch im Freien. Auch beim Bearbeiten des < Serviceblatts „Das Dreieck: Ein Messgerät“, Seite S 25, kann diese Kernidee heraus­gearbeitet werden. Exemplarischer Kommentar Kernideen Kernideen weisen über die aktuelle Lerneinheit hinaus, als „rote Fäden“ ermöglichen sie eine Zusammenschau der einzelnen Themen zu einem größeren Ganzen. „Kernideen sind Ideen, Fragestellungen oder Prob­leme hoher Tragweite, anhand derer sich ganze Themenkomplexe erschließen lassen und die – in verschiedenen Jahrgangsstufen aufgegriffen – Zusammenhänge innerhalb der Schulmathematik deutlich werden lassen.“ (Ulm, Volker: Der Mathematikunterricht, Erhard Friedrich Verlag, Seelze, 2004) K 16 2 Dreiecke Intention und Schwerpunkt des Kapitels Fünf Schwerpunkte sind beim Thema Dreiecke zu nennen: – Die Winkelsumme im Dreieck, – die verschiedenen Dreiecksformen und ihre Eigen­schaften, – die Konstruktion von Dreiecken, – die besonderen Punkte im Dreieck (Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt), – das Ausnutzen rechter Winkel und der Satz des Thales. Bezug zum Lehrplan Leitidee Raum und Form: Die Schülerinnen und Schüler können – Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende zeichnen und deren Eigenschaften in Sachsituationen anwenden; – Kreistangente in einem vorgegebenen Berührungspunkt zeichnen und dieses in Sachsituationen anwenden; – Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal durchführen; – symmetrische Dreiecke beschreiben und zeichnen (gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck); – Konstruktionsbeschreibungen erstellen; – Dreiecke aus gegebenen Seitenlängen und Winkelmaßen konstruieren und die Konstruktion beschreiben; – ausgewählte Kongruenzsätze kennen und zur Konstruktion von Dreiecken benutzen; – Fragen zur Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von Konstruktionen untersuchen; – Winkelsumme bei Dreiecken kennen und an­ wenden; – Winkelsätze an einfachen und doppelten Geradenkreuzungen begründen und anwenden; – den Satz über die Winkelsumme im Dreieck begründen; – den Satz des Thales begründen und anwenden. Auftaktseite: Dreiecks-Experimente Bei der Begriffsbildung im Mathematikunterricht sind die enaktiven Wurzeln besonders stabil auszubilden. Die beiden Auftaktseiten berücksichtigen dies im Besonderen. Das handlungsorientierte Vorgehen wird betont durch das Herstellen von Dreiecken aus Schnüren und Pappstreifen und durch das Bilden von Drei­ ecken mit Schülerinnen und Schülern der Klasse. Die Bedeutung der Handlung liegt aber andererseits auch darin, sich selbst zu erübrigen: Wenn einmal ein Schema von einer bestimmten Handlung abstrahiert ist, ist die Basis für handlungsfreie Vorstellungen gewonnen. Die folgenden Fragen lassen sich dann auch ohne konkretes Material beantworten: – Wie viele Knoten muss eine Schnur haben, um ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten zu bilden? – Wie viele verschiedene Dreiecke mit zwei gleich langen Seiten lassen sich aus einer Schnur mit 12 Knoten bilden? Auf dem < Serviceblatt „Drei­ ecke in Form“, Seite S 22, finden sich solche Fragestellungen. – Unter welcher Bedingung lassen sich drei Pappstreifen nicht zu einem Dreieck verbinden? Das < Serviceblatt „Dreiecke aus Pappstreifen“, Seite S 16, unterstützt das Herstellen der Dreiecksseiten für den handlungsorientierten Einstieg. Werden beim Arbeiten Fotos von den Schülerinnen und Schülern aufgenommen, gedruckt und ins Heft geklebt oder gar auf der Schulhomepage veröffentlicht, ist dies besonders motivierend. Die Bedeutung der Auftaktseiten als advanced organizers für die folgenden Kapitel wird im exemplarischen Kommentar im Serviceband 6, Seite K 1, besprochen. 1 Winkel im Schnittpunkt von Geraden Intention der Lerneinheit – wissen, dass Stufen- und Wechselwinkelsatz nur bei parallelen Geraden gelten – Winkelsätze kennen und zu Berechnungen verwenden Tipps und Anregungen für den Unterricht – Das Entdecken von Beziehungen zwischen Winkeln ist zunächst ungewohnt. Besonders in schwächeren Klassen empfiehlt sich eine getrennte Behandlung der unterschiedlichen Winkelbeziehungen. Zuerst werden an einer Faltung (zwei Faltlinien) die Winkelbeziehungen behandelt, die zu den Begriffen Neben- und Scheitelwinkel führen. Nach ersten Übungen kann anschließend die Einstiegsaufgabe im Schülerbuch selbstständig bearbeitet werden. – Die Begriffe Scheitelwinkel, Nebenwinkel usw. stehen nicht für besondere Winkel und sind somit keine Eigenschaftsbegriffe. Es handelt sich um Relationsbegriffe: Man kann immer nur von zwei – – – – Winkeln sagen, ob sie Nebenwinkel, Scheitelwinkel usw. sind (vgl. Exemplarischer Kommentar im Serviceband 6, Begriffslernen, Seite K 2). Die Hauptintention dieser Lerneinheit ist das Lösen von Berechnungsaufgaben. Anhand eines oder mehrerer gegebener Winkel müssen an besonderen geometrischen Figuren weitere Winkel berechnet werden. Dies impliziert folgende Vorgehensweise: 1. Erkennen der Besonderheit der Figur 2. Anwendung des entsprechenden Satzes Um eine Übergeneralisierung der Sätze zu vermeiden, müssen frühzeitig genügend Gegenbeispiele (keine parallelen Geraden!) behandelt werden. Das < Serviceblatt „Winkel berechnen“, Seite S 17, enthält entsprechende Aufgaben und trainiert zusätzlich mathematisches Begründen. Die Lerneinheit ist für die folgenden Lerneinheiten und Klassen von großer Bedeutung. Im Rahmen der Trigonometrie wird im zehnten Schuljahr auf die hier gewonnenen Erkenntnisse zurückgegriffen. Die Fähigkeit, solche Berechnungsaufgaben zu lösen, ist auch eine Voraussetzung für viele Beweisaufgaben. Das < Serviceblatt „Winkelmemory“, Seite S 18, wiederholt und sichert die wesentlichen Begriffe. Es kann als Einstieg in eine Übungsstunde verwendet werden. Einstiegsaufgabe Die Einstiegsaufgabe knüpft an die aus Klasse 5 gewohnten Verfahren (Papierausrisse) an. Die offene Fragestellung bietet Raum für eigene Vermutungen und Begründungen. Aufgabenkommentare 1 bis 7 Die operativen Aufgabenstellungen fördern die Beweglichkeit des Denkens und vermitteln vertiefte Einsichten in die Winkelsätze (vgl. Exemplarischer Kommentar: Operative Prinzipien, Seite K 13, in Schnittpunkt Serviceband 5). 7 Die erste Teilfrage entspricht noch Anforderungsbereich I, weil zur Lösung nur der Wechselwinkelsatz verwendet werden muss und den Lernenden die Figur vertraut ist. Die zweite Frage enthält viele Elemente aus Anforderungsbereich II, insbesondere dann, wenn noch begründet werden muss. Die Lernenden begründen die Schnittseite oft unterschiedlich. Hier können Kompetenzen aus Anforderungsbereich III erreicht werden: – logisch schließen und begründen – mathematische Argumentationen (Begründungen) stichhaltig entwickeln 2 Dreiecke K 17
