höhere analysis i
Werbung
HÖHERE ANALYSIS I LOGIK • MENGEN • ZAHLEN FUNKTIONEN • TOPOLOGIE • METRISCHE RÄUME VON Professor Dr. P . H E I N Z MÜ L L E R Technische Universität Dresden Mit 61 Abbildungen AKADEMIE-VERLAG 1972 • BERLIN INHALTSVERZEICHNIS Kapitel I. Logik 1. Aussagen 2. Zusammensetzung (Verknüpfung) von Aussagen 3. Konjunktion und Disjunktion 4. Negation 5. Implikation 6. Zweiseitige Implikation 7. Gesetze der mathematischen Logik. Logische Äquivalenzen 8. Beziehungen zwischen Konnektiven 9. Prädikate, Subjekte, Quantoren 10. Mathematische Beweise 1 2 3 3 4 5 6 7 9 12 17 Kapitel II. Mengen 1. Der Mengenbegriff 2. Teilmenge, Potenzmenge 3. Mengenalgebra 4. Kartesisches Produkt von Mengen 5. Relation, Funktion 6. Geordnete Mengen 7. Äquivalenzrelation 8. Mächtigkeit von Mengen 9. Prinzip der vollständigen Induktion 21 21 22 24 34 35 44 48 51 61 Kapitel III. Zahlen 63 1. Das Axiomensystem von PEANO 2. 3. Axiomensystem der reellen Zahlen 66 Die topologischen Eigenschaften der Zahlengeraden 72 3.1. Die offenen und abgeschlossenen Mengen 73 3.2. Umgebungen 75 3.3. Häufungspunkte und isolierte Punkte einer Menge 76 3.4. Abgeschlossene Hülle, offener Kern und Rand einer Menge 78 3.5. Konvergenz einer Zahlenfolge 81 3.6. Häufungspunkte einer Zahlenfolge 85 3.7. Der Überdeckungssatz von HEINE-BOREL und der Häufungsstellensatz von BOLZANO-WEIEESTBASS 4. 5. 3.8. g-adische Entwicklung einer Zahl 3.9. Insichdichte, perfekte, nirgendsdichte Mengen 3.10.Die CANTOBschen Mengen F0,O0 3.11.Die Topologie von R Die Topologie im Raum Rn Die komplexen Zahlen 64 88 91 93 95 97 101 105 V XII Inhaltsverzeichnis Kapitel IV. Funktionen 1. Allgemeine Definitionen bei Funktionenfolgen 2. Stetige Punktionen 3. Monotone Punktionen und Punktionen endlicher Schwankung 4. Differenzierbare Punktionen 5. Konvexe Punktionen 113 113 114 128 135 143 Kapitel V. Topologie 1. Die offenen und die abgeschlossenen Mengen 2. Umgebungen 3. Vergleich von Topologien 4. Teilraum eines topologischen Raumes 5. Häufungspunkte und isolierte Punkte 6. Abgeschlossene Hülle, offener Kern und Rand einer Menge. Dichte Menge . . . . 7. Konvergente Polgen 8. Stetige Punktionen 9. Produkte von topologischen Räumen 10. Kompakte topologische Räume 11. Reelle Funktionen 12. Halbstetige Punktionen 13. Topologische Gruppen 14. Topologische Vektorräume 151 151 154 157 158 159 160 161 163 170 175 184 192 200 206 15. 212 Der Fixpunktsatz von BBOTTWER Kapitel VI. Metrische Räume 1. Der Begriff des metrischen Raumes 2. Konvergente Polgen. CAUCHY-Folgen. Vollständige metrische Räume 3. Kompakte metrische Räume 4. Stetige Punktionen in metrischen Räumen. Gleichmäßige Stetigkeit 5. Der Raum G 6. Separable metrische Räume 7. Die Methode der sukzessiven Approximation (BANACHscher Fixpunktsatz) 8. Normierte Räume 9. Räume mit Skalarprodukt 221 221 228 235 239 244 250 251 254 268 Literatur 281 Namen- und Sachregister 282 •.
