Spezifische Ladung des Elektrons

ER
Versuch:
Fachrichtung Physik
Erstellt:
G. Oertel
R. Schwierz
Bearbeitet:
A. Otto
Aktualisiert: am 03. 03. 2011
Physikalisches Grundpraktikum
Spezifische Ladung des Elektrons
Inhaltsverzeichnis
1 Aufgabenstellung
2
2 Grundlagen
⃗
2.1 Ablenkung im 𝐸-Feld
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
⃗
2.2 Ablenkung im 𝐵-Feld
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Feld der Helmholtz-Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
3
3 Experimente
3.1 Experiment
3.2 Experiment
3.3 Experiment
3.4 Experiment
3
4
5
6
7
Fragen
1:
2:
3
4
Klassischer Thomson-Versuch .
Feldausgleichversuch . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
Versuch: ER
Grundlagen
Seite 2
1 Aufgabenstellung
Die spezifische Ladung 𝑒/𝑚 des Elektrons ist auf vier verschiedenen Wegen mittels einer ThomsonRöhre und einem Helmholtz-Spulenpaar zu bestimmen.
⃗
1. Der Elektronenstrahl wird bei bekannter Beschleunigungsspannung 𝑈𝐵 mit einem 𝐵-Feld
⃗
bekannter Größe abgelenkt. Aus 𝑈𝐵 , 𝐵 und Ablenkungsradius 𝑅 wird 𝑒/𝑚 bestimmt.
⃗
2. Der Elektronenstrahl wird mit einem 𝐸-Feld
durch einen definierten Punkt (𝑥, 𝑦) gelenkt.
⃗ 𝐵
⃗ und den Koordinaten
Die Ablenkung wird durch ein Magnetfeld ausgeglichen. Aus 𝐸,
des Punktes wird 𝑒/𝑚 bestimmt.
⃗
3. Der Elektronenstrahl wird mit einem 𝐵-Feld
abgelenkt. Die Auslenkung wird mit einem
⃗
⃗
⃗
𝐸-Feld kompensiert. Aus 𝐸, 𝐵 und der Geometrie wird 𝑒/𝑚 bestimmt.
⃗ und 𝐵-Feld
⃗
4. Bei bekannter Beschleunigungsspannung werden 𝐸so überlagert, dass sich
⃗
⃗
ihre Wirkungen kompensieren. Aus 𝐸, 𝐵 und 𝑈𝐵 wird 𝑒/𝑚 bestimmt.
2 Grundlagen
⃗
2.1 Ablenkung im 𝐸-Feld
⃗ Das Elektron erfährt die Kraft
Ein Elektron bewege sich in einem elektrischen Feld der Stärke 𝐸.
𝐹⃗ und die Beschleunigung ⃗𝑎.
⃗
𝐹⃗ = 𝑚 · ⃗𝑎 = 𝑒 · 𝐸
(1)
Durchläuft das Elektron eine Potentialdifferenz 𝑈𝐵 , so ändert sich seine kin. Energie
Δ𝐸𝐾 = 𝑒 · 𝑈𝐵
(2)
Werden Elektronen in einer Quelle erzeugt (𝐸𝐾0 = 0) und aus dieser heraus beschleunigt, so ist
die Geschwindigkeit 𝑣 des Elektrons nach Durchlaufen der Potentialdifferenz 𝑈𝐵
𝑒 · 𝑈𝐵 =
𝑚 2
𝑣
2
bzw.
𝑒
𝑣2
=
𝑚
2 · 𝑈𝐵
(3)
⃗
Tritt das Elektron mit einer Geschwindigkeit ⃗𝑣 = 𝑣𝑥 · ⃗𝑒𝑥 in ein 𝐸-Feld
entgegengesetzt zur
𝑦-Richtung ein, wird es in 𝑦-Richtung beschleunigtay
𝑎𝑦 2
𝑒·𝐸 2
𝑡 =
𝑡
2
2·𝑚
und mit 𝑥 = 𝑣𝑥 · 𝑡 folgt die Bahn der Parabelgleichung
𝑦=
𝑦=
𝑒 · 𝐸 · 𝑥2
2 · 𝑚 · 𝑣𝑥2
(4)
(5)
⃗
2.2 Ablenkung im 𝐵-Feld
Ein Elektron im Magnetfeld erfährt die Lorentzkraft
⃗
𝐹⃗ = −𝑒 · ⃗𝑣 × 𝐵
(6)
Wenn ein Elektron der Geschwindigkeit ⃗𝑣 die Elektronenkanone in ein zur Bewegungsrichtung
senkrechtes homogenes Magnetfeld verläßt, erfährt es eine Kraft konstanter Stärke, die es auf
eine ebene Kreisbahn mit dem Radius 𝑅 zwingt. Für diese Kraft gilt:
𝐹 =
𝑚 · 𝑣2
𝑒
= 𝑒 · 𝑣 · 𝐵 =⇒ 𝑣 =
·𝐵·𝑅
𝑅
𝑚
(7)
Versuch: ER
Experimente
Seite 3
2.3 Feld der Helmholtz-Spulen
Die Helmholtz-Konfiguration ist dadurch gekennzeichnet, daß zwei Spulen mit den Windungszahlen
𝑛1 = 𝑛2 und dem Radius 𝑅 im Abstand 𝑅 aufgestellt werden. Im Bereich zwischen den Spulen
entsteht so ein homogenes Feld. Nach Biot-Savart
gilt:
∫︁
d⃗𝑟 ′ × (⃗𝑟 − ⃗𝑟 ′ )
⃗ = 𝜇0 𝐼
𝐵
(8)
4𝜋
|⃗𝑟 − ⃗𝑟 ′ |3
wobei ⃗𝑟 ′ die Koordinate des stromführenden Leiters ist. Für eine Kreisspule senkrecht zur 𝑧-Achse
bei 𝑧 = 0 ergibt dies auf der 𝑧-Achse:
2
⃗ = 𝜇0 𝐼 · 𝑛 √︀ 𝑅𝑠
𝐵
𝑒𝑧
3⃗
2
𝑅2 + 𝑧 2
(9)
𝑠
Mit zwei Spulen bei 𝑧 = −𝑅𝑠 /2 und 𝑧 = +𝑅𝑠 /2 durch deren jeweils 𝑛 Windungen der Strom in
gleicher Richtung fließt, gilt auf der 𝑧-Achse:
⎡
⎢
⃗ = 𝜇0 𝐼 · 𝑛 ⎢
𝐵
⎢ √︂
2 ⎣
⎤
𝑅𝑠2
(︁
𝑅𝑠2 + 𝑧 −
𝑅𝑠
2
)︁2 3
+ √︂
𝑅𝑠2
(︁
𝑅𝑠2 + 𝑧 +
𝑅𝑠
2
⎥
⎥
𝑒
⎥⃗
)︁2 3 ⎦ 𝑧
(10)
Die Reihenentwicklung um 𝑧 = 0 ergibt
⃗
𝐵(𝑧)
=
𝑅·
(︃
144 𝑧 4
√︂(︁ )︁ · 1 −
+ ...
3
125 𝑅𝑠4
5
𝜇0 𝐼 · 𝑛
)︃
4
d.h. ein sehr homogenes Feld mit Abweichungen von weniger als 1 % bis 𝑧 = 0,3 · 𝑅𝑠 .
3 Experimente
Abb. 1: Schema der Thomsonröhre
(11)
Versuch: ER
Experimente
Seite 4
In der Thomsonröhre wird ein sichtbarer Elektronenstrahl erzeugt. Es können elektrische und
magnetische Felder senkrecht zueinander überlagert werden. Der Strahl kann durch beide Felder
abgelenkt werden. Durch einfaches Lösen der Bewegungsgleichungen kann dann die spezifische
Ladung des Elektrons ermittelt werden.
Verbinden Sie die Thomsonröhre entsprechend folgender Schaltung:
Abb. 2: Schaltskizze
Die Anode 𝐴1 wird auf Erdpotential, die Kathode 𝐶5 auf
negative Hochspannung gelegt. Der Bahnradius 𝑅 läßt sich
aus der Ablenkung 𝐿 wie folgt bestimmen:
Der Elektronenstrahl verläßt bei C die Kanone und bewegt
sich in 𝑥-Richtung. Dabei wird er in 𝑦-Richtung abgelenkt.
Die Kreisbahn habe den Radius 𝑅.
In der Röhre befindet sich ein auf der Spitze stehenden Quadrat, mit den Eckpunkten: C, E, F, G; außerdem ist die
Kantenlänge 𝐾 = 80 mm bekannt, die Länge 𝐿 = |FA| ist
ablesbar.
Dann folgt für den gesuchten Radius 𝑅:
𝑎=𝑐=𝑅
△ A,B,C: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 · cos 𝛾 ====⇒ cos 𝛾 =
𝑏
2𝑎
𝑞
𝑏
𝑏2
=
=⇒ 𝑅 = 𝑎 =
𝑏
2𝑎
2𝑞
2
2
2
△ A,C,F: 𝑏 = 𝐾 + 𝐿
△ A,C,D: cos 𝛾 =
√︃
△ A,G,H: (𝐾 − 𝐿)2 = 𝑞 2 + 𝑞 2 =⇒ 𝑞 =
1
=⇒ 𝑅 =
2
2
(︃
𝐾 2 + 𝐿2
𝐾 −𝐿
)︃2
(𝐾 − 𝐿)2
2
1
und für 𝐿 = 0 =⇒ 𝑅 = √ 𝐾
2
3.1 Experiment 1: Klassischer Thomson-Versuch
Um 𝑒/𝑚 zu bestimmen (s. Gleichung (3)) wird die Geschwindigkeit 𝑣 der Elektronen nach der
Beschleunigung mit 𝑈𝐵 durch Messung des Bahnradius 𝑅 der Elektronen in einem homogenen
Versuch: ER
Experimente
Seite 5
𝑒
2𝑈𝐵
= 2
𝑚
𝐵 · 𝑅2
(12)
Magnetfeld (s. Gl. (7)) bestimmt also:
Durchführung:
1. Die obere Ablenkplatte auf Erdpotential legen.
2. Die Beschleunigungsspannung auf 𝑈𝐵 = 455 V einstellen.
3. Die Helmholtzspulen korrekt anschließen und den Spulenstrom so wählen, dass der Strahl
durch einen gut sichtbaren Punkt verläuft.
4. Spulenstrom und Beschleunigungsspannung so variieren, daß der Strahl immer durch den
2 über 𝑈 auftragen, die
gleichen Punkt verläuft und die Wertepaare 𝑈𝐵 , 𝐼𝑀 notieren, 𝐼𝑀
𝐵
Steigung bestimmen.
𝐿/mm
0/40
0/40
0/40
0/40
0/40
0/40
𝑈𝐵 /V
2000
2500
3000
3500
4000
4500
𝐼𝑀 /A
2 /A2
𝐼𝑀
5. Daraus 𝑒/𝑚 bestimmen.
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃗ ⃒ mit 𝑅 =
6. Wie groß ist 𝑣 bei 𝑈𝐵 = 4,0 kV? Wie groß ist ⃒𝐵
𝐾
√
2
und 𝑈𝐵 = 4,0 kV?
3.2 Experiment 2: Feldausgleichversuch
Unter der Wirkung der Lorentzkraft ändert sich ständig die Bewegungsrichtung des Elektrons.
Wird die Lorentzkraft durch die Kraftwirkung eines elektrischen Feldes kompensiert, so ändert
sich Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Elektrons nicht, also mit
𝑒 · 𝐸 = 𝑒 · 𝑣𝑥 · 𝐵 =⇒ 𝑣𝑥 =
𝐸
𝐵
(13)
ist 𝑣𝑥 in (5) bestimmbar, sodass
𝑦(𝑥) = 𝑥2
𝑒 · 𝐵2
2𝑚𝐸
(14)
zur Berechnung von 𝑒/𝑚 benutzt wird.
Dabei sind 𝑦- und 𝑥-Koordinaten des Elektronenstrahls nur unter Wirkung des ablenkenden
⃗
𝐸-Feldes.
Für eine genaue Ablenkung des Elektronenstrahls durch einen Punkt werden an der
Position 𝑥 = 47 mm und 𝑑/2 = 𝑦 = ±4 mm angelötete Pins genutzt, auf die der Elektronenstrahl
⃗
nur durch die Wirkung des 𝐸-Feldes
der Ablenkplatten gelenkt wird. Mit 𝐸 = 𝑈𝐴 /𝑑 folgt:
𝑒
𝑈𝐴
= 2
𝑚
𝑥 · 𝐵2
(15)
Durchführung:
1. Beschleunigungsspannung 𝑈𝐵 auf ca. 4 kV stellen, 𝑈𝐴 auf 150 V einstellen. Der Strahl wird
in die Nähe eines Pins abgelenkt.
Versuch: ER
Experimente
Seite 6
Abb. 3: Zur Definition von 𝑥, 𝑦 und 𝑑
2. 𝑈𝐵 so einstellen, daß der Strahl durch den Pin abgeschnitten wird.
Diese Einstellungen dürfen bis zur Messung von 𝐼𝑀 nicht verändert werden.
3. Stellen sie das Magnetfeld so ein, daß es den Strahl wieder durch den Punkt G zwingt.
Notieren Sie 𝑈𝐴 und 𝐼𝑀 .
4. Ändern Sie 𝑈𝐴 in 50 V Schritten und wiederholen sie 2. und 3., notieren Sie 𝑈𝐴 und 𝐼𝑀 .
2 über 𝑈 auf und bestimmen Sie die Steigung.
Tragen Sie 𝐼𝑀
𝐴
𝑈𝐴 /V
150
200
250
300
350
𝐼𝑀 /A
2 /A2
𝐼𝑀
5. Bestimmen Sie 𝑒/𝑚 aus der Steigung.
3.3 Experiment 3
Unter Verwendung der Kenntnisse aus Experiment 2 (Gleichungen (7), (13)), wird mit 𝐸 =
𝑈𝐴 /𝑑:
𝑒
𝑈𝐴
= 2
(16)
𝑚
𝐵 ·𝑅·𝑑
⃗
⃗
Dabei ist 𝑅 der Radius der Bahn der Elektronen im 𝐵-Feld
ohne Wirkung des 𝐸-Feldes.
Das
läßt sich umformen zu:
𝑈𝐴
2
𝐼𝑀
=𝑘
(17)
𝑅
Durchführung:
1. Man setzt 𝑈𝐵 ≈ 2,5 kV
2. Man setzt 𝑈𝐴 = 100 V und gleicht die Krümmung durch den Spulenstrom wieder aus, so
daß der Strahl wieder durch den Punkt G verläuft.
3. Nun setzt man die Ablenkplatte wieder auf Erdpotential und notiert den Wert für 𝐿.
4. Dies wiederholt man für verschiedene 𝑈𝐴 und notiert 𝑈𝐴 , 𝐼𝑀 , 𝐿.
𝑈𝐴 /V
100
150
200
𝐼𝑀 /A
2 /A2
𝐼𝑀
𝐿/mm
5. Bestimmen Sie aus den Meßwerten 𝑒/𝑚.
𝑅/mm
Versuch: ER
Fragen
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3.4 Experiment 4
Unter Verwendung der Kenntnisse aus Experiment 2 (Gleichungen (3), (13)), wird mit 𝐸 =
𝑈𝐴 /𝑑:
(︂
)︂
𝑈𝐴 2
𝑈2
𝑒
1
2
also: 𝐼𝑀
=𝑘 𝐴
(18)
=
𝑚
2 · 𝑈𝐵 𝐵 · 𝑑
𝑈𝐵
Durchführung:
1. Beschleunigungsspannung auf 𝑈𝐵 = 4 kV einstellen.
2. Ablenkspannung auf 𝑈𝐴 = 100 V einstellen.
3. Das Magnetfeld so einstellen, daß der Strahl wieder durch den Punkt G verläuft.
4. Spannungen und Spulenstrom notieren, bei konstanter Beschleunigungsspannung 𝑈𝐴 , 𝐼𝑀
variieren, 𝐼𝑀 über 𝑈𝐴 auftragen, die Steigung für zwei Beschleunigungsspannungen bestimmen.
𝑈𝐵 /V
4000
𝑈𝐴 /V
100
150
200
250
300
𝐼𝑀 /A
5. 𝑒/𝑚 aus den Steigungen bestimmen.
Fragen
1. Welche anderen experimentellen Möglichkeiten kennen Sie, um die spezifische Elektronenladung zu bestimmen?
2. Welche Möglichkeiten gibt es, die Ladung des Elektrons zu bestimmen?
⃗ steht?
3. Wie sieht die Elektronenbahn aus, wenn ⃗𝑣 nicht senkrecht auf 𝐵
4. Diskutieren Sie ausführlich den Einfluß des Erdmagnetfeldes, wie kann man ihn abschätzen
oder verringern?
5. Das homogene Magnetfeld wird durch zwei Spulen erzeugt, die in Reihe geschaltet werden.
Wie kann man feststellen, ob sie richtig gepolt sind?
6. Skizzieren Sie eine Schaltung zum Umpolen des Stromes, der durch das HelmholtzSpulenpaar fließt.