Allgemeine Topologie - TU Darmstadt/Mathematik

Technische Universität Darmstadt
Fachbereich Mathematik
Klaus Keimel
Alexander Rohr
Sommersemester 2002
25. April 2002
2. Übung zur Veranstaltung
Allgemeine Topologie
Präsenzübungen
Aufgabe 12
Die obere Topologie auf R hat als offene Mengen ∅, R und alle offenen Intervalle ] − ∞, a[, a ∈ R. Weise
die Axiome (O1)–(O3) nach. Danach zeige: f : R → R ist stetig in dieser Topologie genau dann, wenn
f isoton (d. h. x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y)) und von rechts stetig“ ist für die übliche Topologie, d.h.
”
f (x) =
lim
h→0,h>0
f (x + h)
für alle x.
Ein Beispiel für solche Funktionen sind Verteilungsfunktionen in der Statistik: F (t) := P (Y ≤ t) für
t ∈ R und Y eine reellwertige Zufallsvariable.
Aufgabe 13
Seien (X1 , O1 ) und (X2 , O2 ) topologische Räume. Zeige:
a) Ist (X1 , O1 ) diskret oder O2 = {∅, X2 }, so ist jede Abbildung f : (X1 , O1 ) → (X2 , O2 ) stetig.
b) Ist O2 6= {∅, X2 } und ist jede Abbildung f : (X1 , O1 ) → (X2 , O2 ) stetig, so ist (X1 , O1 ) diskret.
Aufgabe 14
Die koendliche Topologie auf einer Menge X hat
A = {X} ∪ {A ⊆ X | A endlich}
als System der abgeschlossenen Mengen. Weise die Axiome (A1)–(A3) nach. Betrachte X = {0} ∪ { n1 |
n ∈ N>0 } einerseits mit der koendlichen Topologie O1 , andererseits mit der durch die euklidische Metrik induzierten Topologie O2 . Für welche i, j ∈ {1, 2} und x ist die identische Abbildung
id : (X, Oi ) → (X, Oj ) stetig an der Stelle x?
Aufgabe 15
Welche der folgenden Aussagen ist für Teilmengen A, B eines topologischen Raumes X stets richtig?
Beweise oder widerlege:
A∪B =A∪B
∂A = ∂(X \ A)
A∩B =A∩B
o
(A) = A
o
X \A=X \A
X \ A = (X \ A)o
Hausübungen
Aufgabe 16
Zeige, daß für jede Teilmenge A eines topologischen Raums X gilt:
a) x ∈ ∂A ⇔ jede Umgebung von x schneidet A und X \ A an ⇔ x 6∈ Ao ∪ (X \ A)o
b) A abgeschlosssen ⇔ A ⊇ ∂A
c) A offen ⇔ A ∩ ∂A = ∅
Aufgabe 17
Es seien X, Y topologische Räume und f : X → Y eine Abbildung. Zeige, daß folgende Aussagen
äquivalent sind:
a) f ist stetig.
b) Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.“ (Präzisiere diesen Slogan!)
”
c) f ist in jedem Punkt stetig.
Aufgabe 18
Seien X und Y topologische Räume und f : X → Y eine stetige Abbildung. Welche der folgenden
Aussagen ist stets richtig? Beweise oder widerlege:
Ist A abgeschlossen in X, so ist f (A) abgeschlossen in Y .
Ist U offen in X, so ist f (U ) offen in Y .
f (B) ⊆ f (B) für alle B ⊆ X.
f (B) ⊇ f (B) für alle B ⊆ X.
Aufgabe 19
Es sei X ein metrischer Raum und A ⊆ X. Wir definieren:
L(A) := lim ai ai ∈ A für alle i ∈ N und (ai )i∈N konvergiert in X .
i∈N
Zeige: L(A) ist abgeschlossen.
Aufgabe 20
Sei f : X → Y stetig und surjektiv. Zeige: Ist X separabel, dann ist auch Y separabel. Insbesondere
ist also Separabilität eine topologische Eigenschaft.
Aufgabe 21
Welche der folgenden Aussagen ist richtig? Beweise oder widerlege:
Eine dichte Teilmenge schneidet jede nichtleere offene Teilmenge (in mindestens einem Punkt)
an.
Der Durchschnitt zweier dichter Teilmengen ist dicht.
Der Durchschnitt zweier offener, dichter Teilmengen ist dicht.
Der Durchschnitt abzählbar vieler offener, dichter Teilmengen ist dicht.
Aufgabe 22 (Preisaufgabe)
Eine Teilmenge K ⊆ Rn wird konvex genannt, wenn K die Verbindungsstrecke von je zwei Punkten
a, b ∈ K enthält, d.h.
a, b ∈ K ⇒ λ1 a + λ2 b ∈ K für beliebige reelle Zahlen λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0 mit λ1 + λ2 = 1.
Wir betrachten die übliche Topologie auf Rn . Es sei K eine abgeschlossene konvexe beschränkte Teilmenge des Rn mit inneren Punkten. Zeige:
a) K ist homöomorph zu Dn := {x ∈ Rn | kxk2 ≤ 1}.
b) ∂K ist homöomorph zu Sn−1 := {x ∈ Rn | kxk2 = 1}.