Vorlesung Logiksysteme - Teil 1: Aussagenlogik

Vorlesung Logiksysteme
Teil 1: Aussagenlogik
Martin Mundhenk
Univ. Jena, Institut für Informatik
12. September 2016
Sommer 2016 – v12
0.0.1
Ein paar einführende Worte
I
Logik heißt korrekte Schlüsse ziehen . . .
(Aristoteles, 300 v.Chr.)
I
Aussagenlogik ist auch nur Rechnen . . .
(Boole, Mitte 19.Jhdt)
I
Alles Formale ist Logik . . .
(Frege, Peano, Russell um 1900)
0.0.2
Logik in der Informatik
Turing zeigt 1936 die Unentscheidbarkeit des
Gültigkeitsproblems der Prädikatenlogik.
Shannon zeigt 1937, dass Aussagenlogik zur Beschreibung und
Optimierung elektromagnetischer Schaltungen benutzt werden kann.
Newell, Simon, Robinson entwickeln in den 1950ern erste Algorithmen
zur logischen Deduktion und wenden sie auf KI-Probleme an.
Cook zeigt 1972 die NP-Vollständigkeit des
Erfüllbarkeitsproblems der Aussagenlogik.
0.0.3
Logikanwendungen in der Informatik
I
Entwurf und Verifikation digitaler Schaltkreise
I
Beschreibung komplexer Systeme
I
Verifikation der Korrektheit von Programmen
I
Datenbanken
I
Künstliche Intelligenz
I
Logisches Programmieren
Inhalt dieser Vorlesung
I
Was wird betrachtet?
1. Aussagenlogik
2. Nicht-klassische Aussagenlogiken
I
I
I
Modallogik
Temporale Logik
Wie wird es betrachtet?
Schwerpunkt auf Beweissystemen und deren Vollständigkeit
I
I
I
Wie lassen sich gültige Formeln formal beschreiben?
Wie lassen sich formale Beschreibungen zu Algorithmen umbauen?
Ziel: Verständnis der Vollständigkeitsbeweise
und Befähigung zum selbständigen Führen “kleiner” Beweise
Zitate
Edsger W. Dijkstra:
Informatik = VLSAL
(Very Large Scale Application of Logics)
Georg Gottlob:
Informatik ist die Fortsetzung der Logik mit anderen Mitteln.
0.0.6
Formalien zur Vorlesung/Übung
I
Termine: 22.8.–9.9.
montags, dienstags, donnerstags und freitags
10-12 und 13-15 Uhr
Logik-Sprechstunde mittwochs 11-13 Uhr (oder n.V.)
I
Zulassungsvoraussetzung zur Prüfung:
ausreichende Bearbeitung der schriftlichen Übungsaufgaben
aktive Teilnahme an den Übungen.
I
Modulprüfung:
mündliche Prüfung am 30.9.
0.0.7
Vorlesung Logiksysteme
Sommer 2016
1. Klassische Aussagenlogik
2. Modale Aussagenlogik
3. Temporale Aussagenlogik
0.0.1
1 Klassische Aussagenlogik
1. Klassische Aussagenlogik
Grundbegriffe
Tableau-Kalkül
Frege-Kalkül
1.0.1
1 Grundbegriffe Aussagenlogik
1. Klassische Aussagenlogik
Grundbegriffe
Sprache (Formeln)
Semantik (Belegungen und die Erfüllungsrelation)
Erfüllbarkeit und Gültigkeit
Äquivalente Formeln
Adäquate Verknüpfungszeichen
Semantische Folgerung
Tableau-Kalkül
Frege-Kalkül
[Literatur:
Schöning: Logik für Informatiker
((fast) jedes Logikbuch)]
1.1.1
1.1 Grundbegriffe
Wir werden die Grundbegriffe der Aussagenlogik definieren:
I
wie sehen aussagenlogische Formeln aus?
I
was ist eine Belegung und wann erfüllt sie eine Formel?
I
was sind gültige, erfüllbare und unerfüllbare Formeln?
I
wann sind Formeln äquivalent?
I
welche Verknüpfungszeichen braucht man überhaupt in Formeln?
(adäquate Verknüpfungszeichen)
1.1.1 Syntax: Formeln
Definition 1.1 (die Sprache der Aussagenlogik: Formeln)
Eine atomare Formel (kurz: Atom) hat die Form Ai für i = 0, 1, 2, . . .
(Aussagenlogische) Formeln sind induktiv definiert wie folgt.
1. Die Konstanten ⊥ (falsum) und > (verum) und alle Atome
sind Formeln.
2. Für alle Formeln α ist ¬α (Negation von α) ebenfalls eine Formel.
Für alle Formeln α und β sind
(α ∧ β) (Konjunktion von α und β, logisches Und ),
(α ∨ β) (Disjunktion von α und β, logisches Oder ) und
(α → β) (Implikation von α und β, logische Folgerung )
ebenfalls Formeln.
(3. Es gibt keine anderen Formeln.)
1.1.2 Semantik: Belegung und Erfüllungsrelation
Definition 1.2 (Belegung)
Eine Belegung B ist eine Menge B ⊆ {A0 , A1 , A2 , . . .} von Atomen.
Definition 1.3 (Erfüllungsrelation
)
Sei B eine Belegung, α und β seien Formeln.
Die Relation zwischen Belegungen und Formeln ist wie folgt definiert.
B
>
B
Ai gdw. Ai ∈ B, für atomare Formeln Ai
B
und
B 6
¬α gdw. B 6
⊥
α
B
(α ∧ β) gdw. B
α und B
β
B
(α ∨ β) gdw. B
α oder B
β
(α → β) gdw. B 6
α oder B
β
B
1.1.3 Erfüllbarkeit, Gültigkeit
Für “B
α” sagt man “B erfüllt α”.
Für Formelmengen Γ bedeutet B Γ (“B erfüllt Γ”),
dass B ϕ für alle ϕ ∈ Γ gilt.
Definition 1.4 (erfüllbar, gültig)
1. Eine Formel heißt erfüllbar,
wenn es eine Belegung gibt, die sie erfüllt.
Anderenfalls heißt die Formel unerfüllbar (oder Kontradiktion).
2. Eine Formel heißt gültig (oder Tautologie),
wenn sie von jeder Belegung erfüllt wird (Schreibweise:
α).
1.1.5
1.1.4 Äquivalente Formeln
Abkürzende Schreibweise: wir schreiben auch A, B , C , . . . für A0 , A1 , A2 , . . . .
Die Formeln (A ∧ B) und ¬(¬A ∨ ¬B) werden von den gleichen
Belegungen erfüllt.
I
Die Belegung {A, B} erfüllt beide Formeln.
I
Die Belegungen ∅, {A} und {B} erfüllen beide Formeln nicht.
I
Jede andere Belegung entspricht für die Atome A und B einer der
obigen Belegungen.
Definition 1.5 (Äquivalenz von Formeln)
Formeln α und β heißen äquivalent (α ≡ β),
falls für jede Belegung B gilt: B α genau dann, wenn B
β.
Lemma 1.6 (grundlegende Äquivalenzen)
Für alle Formeln α, β und γ gelten die folgenden Äquivalenzen.
Idempotenz:
(α ∧ α) ≡ α
(α ∨ α) ≡ α
Kommutativität:
(α ∧ β) ≡ (β ∧ α)
(α ∨ β) ≡ (β ∨ α)
Absorption:
(α ∧ (α ∨ β)) ≡ α
(α ∨ (α ∧ β)) ≡ α
Doppelnegation:
¬¬α ≡ α
deMorgan’s Regeln:
¬(α ∧ β) ≡ (¬α ∨ ¬β)
¬(α ∨ β) ≡ (¬α ∧ ¬β)
Tautologieregeln:
(α ∧ >) ≡ α
(α ∨ >) ≡ >
Kontradiktionsregeln:
(α ∧ ⊥) ≡ ⊥
(α ∨ ⊥) ≡ α
Negation von Konstanten:
¬⊥ ≡ >
Gesetz des ausgeschlossenen Dritten:
(α ∨ ¬α) ≡ >
¬> ≡ ⊥
(α ∧ ¬α) ≡ ⊥
Implikation:
(α → β) ≡ (¬α ∨ β)
Assoziativität von ∧ bzw. ∨:
((α ∧ β) ∧ γ) ≡ (α ∧ (β ∧ γ))
((α ∨ β) ∨ γ) ≡ (α ∨ (β ∨ γ))
Distributivität von ∧ und ∨:
(α ∧ (β ∨ γ)) ≡ ((α ∧ β) ∨ (α ∧ γ))
(α ∨ (β ∧ γ)) ≡ ((α ∨ β) ∧ (α ∨ γ))
Vereinfachende Schreibweisen:
überflüssige“ Klammern können weggelassen werden.
”
n
V
Wir schreiben auch ( αi ) statt (. . . ((α1 ∧ α2 ) ∧ α3 ) ∧ . . . ∧ αn )
und (
n
W
i =1
i =1
αi ) statt (. . . ((α1 ∨ α2 ) ∨ α3 ) ∨ . . . ∨ αn ).
Beweis zu Lemma 1.6:
Absorption:
Sei B eine Belegung.
Zu zeigen ist: B α ∧ (α ∨ β) gdw. B α.
Wir zeigen beide Beweisrichtungen getrennt.
(1) B
α ∧ (α ∨ β) ⇒ B
⇒ B
α und B α ∨ β
(Semantik von ∧)
α
(wenn beide Aussagen wahr sind,
dann ist auch die erste Aussage wahr)
(2) B
α ⇒ B
⇒ B
α und B α ∨ β
α ∧ (α ∨ β)
Aus (1) und (2) folgt: B
(B
α ∧ (α ∨ β) gdw. B
α ∨ β folgt aus B
α)
(Semantik von ∧)
α.
Die anderen Äquivalenzen lassen sich auf ähnlich Art zeigen.
X
1.1.9
Lemma 1.7 (Ersetzungstheorem)
Wenn man in einer Formel ϕ eine Teilformel α durch eine zu α
äquivalente Formel ersetzt, so erhält man eine zu ϕ äquivalente Formel.
Formaler ausgedrückt:
Sei ϕ eine Formel mit der Teilformel α,
und β sei äquivalent zu α.
Sei ϕ0 eine Formel, die aus ϕ entsteht,
wenn ein Vorkommen der Teilformel α durch β ersetzt wird.
Dann sind ϕ und ϕ0 äquivalent.
Beispiel:
ϕ
α
β
ϕ0
=
=
=
=
(B → (A ∧ (A ∨ B)))
(A ∧ (A ∨ B))
A
(B → A)
1.1.10
Äquivalentes Umformen
Wir benutzen Lemma 1.6 und Lemma 1.7, um
die semantische Äquivalenz von Formeln
syntaktisch durch äquivalentes Umformen zu verifizieren
(da ≡ eine Äquivalenzrelation ist).
Beispiel 1: (A → B) ≡ (¬B → ¬A)
(A → B) ≡
≡
≡
≡
(¬A ∨ B)
(¬A ∨ ¬¬B)
(¬¬B ∨ ¬A)
(¬B → ¬A)
(Implikation)
(Doppelnegation)
(Kommutativität)
(Implikation)
1.1.11
Äquivalentes Umformen
Beispiel 2: ((A ∧ B) → C ) ≡ (A → (B → C ))
((A ∧ B ) → C )
≡ (¬(A ∧ B ) ∨ C )
≡ ((¬A ∨ ¬B ) ∨ C )
≡ (¬A ∨ (¬B ∨ C ))
≡ (¬A ∨ (B → C ))
≡ (A → (B → C ))
(Implikation)
(deMorgan)
(Assoziativität)
(Implikation)
(Implikation)
Allgemeiner gilt:
n
^
i=1
Ai → B ≡ (A1 → (A2 → (· · · → (An → B) · · · )))
Äquivalentes Umformen
Beispiel 3: (⊥ → ⊥) ≡ >
(⊥ → ⊥)
≡ (¬⊥ ∨ ⊥) (Implikation)
≡ (> ∨ ⊥)
(Negation von Konstanten)
≡ >
(Kontradiktionsregel)
Beispiel 4: ¬α ≡ (α → ⊥) für jede Formel α
¬α
≡ (¬α ∨ ⊥) (Kontradiktionsregel)
≡ (α → ⊥) (Implikation)
1.1.5 Adäquate Verknüpfungszeichen
Definition 1.8 (adäquate Mengen von Verknüpfungszeichen)
Eine Menge M ⊆ {⊥, >, ¬, ∧, ∨, →, . . .} von Verknüpfungszeichen
heißt adäquat, falls es für jede Formel eine äquivalente Formel gibt, die
nur aus Atomen sowie Verknüpfungszeichen aus M besteht.
Beispiel:
Da ((¬α) → β) ≡ (α ∨ β),
kann man alle Formeln äquivalent durch Formeln ohne ∨ ausdrücken.
Also ist {⊥, >, ¬, ∧, →} adäquat.
Lemma 1.9 ({⊥, →} ist adäquat)
{⊥, →} ist eine adäquate Menge von Verknüpfungszeichen.
D.h. für jede aussagenlogische Formel ϕ gibt es eine äquivalente Formel ϕ0 , die nur aus Atomen,
⊥ und → besteht.
Der Beweis soll mittels Induktion über den Formelaufbau von ϕ geführt werden.
Was ist zu zeigen?
Induktionsanfang:
Für jede aussagenlogische Formel ϕ, die ⊥, > oder ein Atom ist,
gibt es eine äquivalente Formel ϕ0 , die nur aus Atomen, ⊥ und → besteht.
Induktionsschritt:
Für alle aussagenlogischen Formeln α und β gilt:
wenn α und β äquivalente Formeln besitzen, die nur aus Atomen, ⊥ und → bestehen,
dann gibt es auch für ¬α, (α ∧ β), (α ∨ β) und (α → β) äquivalente Formeln,
die nur aus Atomen, ⊥ und → bestehen.
Der Induktionsschritt wird in zwei Teile aufgeteilt:
Induktionsvoraussetzung:
α und β seien beliebige Formeln mit äquivalenten Formeln α0 ≡ α bzw. β 0 ≡ β,
die nur aus Atomen, ⊥ und → bestehen.
Induktionsschluss – für α und β aus der Induktionsvoraussetzung ist zu zeigen:
¬α, (α ∧ β), (α ∨ β) und (α → β) besitzen äquivalente Formeln,
die nur aus Atomen, ⊥ und → bestehen.
1.1.15
Beweis: mittels Induktion über den Formelaufbau der Formel ϕ.
Induktionsanfang (IA):
Zu zeigen ist:
Für jede aussagenlogische Formel ϕ, die ⊥, > oder ein Atom ist,
gibt es eine äquivalente Formel ϕ0 , die nur aus Atomen, ⊥ und → besteht.
Fall 1: ϕ = ⊥. Dann ist ϕ0 = ⊥ äquivalent zu ϕ,
und ϕ0 besteht nur aus Atomen, ⊥ und →.
Fall 2: ϕ = >. Dann ist ϕ0 = (⊥ → ⊥) äquivalent zu ϕ (Beispiel 3),
und ϕ0 besteht nur aus Atomen, ⊥ und →.
Fall 3: ϕ = Ai . Dann ist ϕ0 = Ai äquivalent zu ϕ,
und ϕ0 besteht nur aus Atomen, ⊥ und →.
Induktionsvoraussetzung (IV):
α und β besitzen äquivalente Formeln α0 bzw. β 0 ,
die nur aus Atomen, ⊥ und → bestehen.
Induktionsschluss (IS):
Zu zeigen ist: ¬α, (α ∧ β), (α ∨ β) und (α → β) besitzen äquivalente Formeln,
die nur aus Atomen, ⊥ und → bestehen.
Fall 1: ϕ = ¬α.
Es gilt:
¬α
≡ ¬ α0
(IV)
0
≡ (α → ⊥)
(Beispiel 4)
Also ist ϕ0 = (α0 → ⊥) äquivalent zu ϕ,
und in ϕ0 kommen laut IV nur Atome, ⊥ und → vor.
Fall 2: ϕ = (α ∧ β).
Es gilt: (α ∧ β) ≡
≡
≡
≡
≡
≡
(α0 ∧ β 0 )
(¬¬ α0 ∧ ¬¬ β 0 )
¬(¬ α0 ∨ ¬ β 0 )
((¬ α0 ∨ ¬ β 0 ) → ⊥)
((α0 → ¬ β 0 ) → ⊥)
((α0 → (β 0 → ⊥)) → ⊥)
(IV)
((1.6) Doppelnegation)
((1.6) deMorgan’s Regel)
(Beispiel 4)
((1.6) Implikation)
(Beispiel 4)
1.1.17
Also ist ϕ0 = ((α0 → (β 0 → ⊥)) → ⊥) äquivalent zu ϕ,
und in ϕ0 kommen gemäß IV nur Atome, ⊥ und → vor.
Fall 3: ϕ = (α ∨ β).
Es gilt:
(α ∨ β)
≡ (α0 ∨ β 0 )
(IV)
≡ (¬¬ α0 ∨ β 0 )
((1.6) Doppelnegation)
≡ (¬ α0 → β 0 )
((1.6) Implikation)
≡ ((α0 → ⊥) → β 0 )
(Beispiel 4)
Dann ist ϕ0 = ((α0 → ⊥) → β 0 ) äquivalent zu ϕ,
und in ϕ0 kommen gemäß IV nur Atome, ⊥ und → vor.
Fall 4: ϕ = (α → β).
Dann ist ϕ0 = (α0 → β 0 ) äquivalent zu ϕ (IV),
und in ϕ0 kommen gemäß IV nur Atome, ⊥ und → vor.
X
Satz 1.10 (Adäquate Mengen von Verknüpfungszeichen)
Die folgenden Mengen von Verknüpfungszeichen sind adäquat.
1. {⊥, →}
2. {¬, ∧}
3. {¬, ∨}
4. {¬, →}
1.1.19
1.1.6 Semantische Folgerung
Definition 1.11 (Semantische Folgerung)
Formel ϕ ist eine Folgerung aus der Formelmenge Γ (Γ
wenn jede Belegung, die Γ erfüllt, ebenfalls ϕ erfüllt.
(D.h.: . . . wenn für jede Belegung B gilt: wenn B
ϕ),
Γ, dann B
ϕ.)
Schreibweisen:
I Mengenklammern und Vereinigungszeichen lässt man gerne weg:
z.B. schreibt man α1 , . . . , αn
ϕ oder Γ, α ϕ.
I Statt ∅
ϕ schreibt man
ϕ.
Lemma 1.12 (
verallgemeinert
Sei ϕ eine Formel. Dann gilt:
)
ϕ genau dann, wenn
ϕ.
Folgerung und Gültigkeit
Lemma 1.13 (Zusammenhang zwischen
Die folgenden Aussagen sind äquivalent
und →)
für alle n ∈ N und i = 1, 2, . . . , n + 1.
1. α1 , . . . , αn
ϕ
2. α1 , . . . , αi−1
(αi → (αi+1 → . . . (αn → ϕ) . . .))
3. α1 , . . . , αi−1
(
n
V
αj ) → ϕ
j=i
Insbesondere gelten also folgende Äquivalenzen zu 1.–3. :
I
I
(α1 → (α2 → . . . (αn → ϕ) . . .))
n
V
(( αi ) → ϕ)
i=1
Was haben wir in Kapitel 1.1 gelernt?
Wir haben die Grundbegriffe der Aussagenlogik kennengelernt.
I
Wir wissen, was Atome sind, kennen ∧, ∨, →, ¬, ↔ und wissen,
wie daraus Formeln aufgebaut werden.
I
Wir wissen, was eine Belegung ist und kennen
I
Wir können gültige, erfüllbare und unerfüllbare Formeln
unterscheiden.
I
Wir kennen ≡ und können Formeln äquivalent umformen.
I
Wir wissen, wie man jede Formel in eine äquivalente Formel aus
Atomen, ⊥ und → bzw. aus Atomen, ¬ und ∧ umformen kann.
Wir kennen den Beweis von Lemma 1.9 mittels Induktion über den
Formelaufbau und können ihn auch mit anderen
Verknüpfungszeichen reproduzieren.
und
.
1.2 Der aussagenlogische Tableau-Kalkül
1. Klassische Aussagenlogik
Grundbegriffe
Tableau-Kalkül
Einführende Beispiele
Tableaux und Tableau-Beweisbarkeit
Korrektheit
Vollständigkeit
Einführende Beispiele
Tableaux und Tableau-Beweisbarkeit
Korrektheit
Vollständigkeit
Frege-Kalkül
[Literatur:
Priest: An introduction to non-classical logic
Nerode, Shore: Logic for applications]
1.2 Der aussagenlogische Tableau-Kalkül
Ein Beweis-Kalkül liefert ein syntaktisches Verfahren zum Nachweis der
Gültigkeit von Formeln.
Die Beweise, die er liefert, sollen korrekt und vollständig sein.
I
korrekt: es können nur gültige Formeln bewiesen werden
I
vollständig: alle gültigen Formeln können bewiesen werden
1.2.2
Zuerst werden wir den aussagenlogischen Tableau-Kalkül kennenlernen.
Er ist ein einfacher Beweis-Kalkül, der auf der Zerlegung von Formeln
basiert. Die Zerlegungsregeln entsprechen der Konjunktion und deren
Negation. Deshalb werden wir in diesem Kapitel nur Formeln mit ∧ und
¬ als einzigen Verknüpfungszeichen betrachten.
Wir gehen vor wie folgt.
I
Definition eines Tableau für eine Formel (aus Atomen, ¬ und ∧)
I
Definition von Tableau-Beweisen für Formeln
I
Korrektheit des Tableau-Kalküls:
wir zeigen, dass jede Tableau-beweisbare Formel gültig ist
I
Vollständigkeit des Tableau-Kalküls:
wir zeigen, dass jede gültige Formel Tableau-beweisbar ist
I
Tableaux für Formeln mit anderen Verknüpfungszeichen
1.2.5 Einführende Beispiele (1)
¬(A ∧ B) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B)
Ein (semantisches) Tableau ist ein Baum,
dessen Knoten mit Formeln markiert sind.
Man beginnt mit einem Baum, der nur aus einer Wurzel besteht.
Die Knoten werden nach gegebenen Regeln expandiert und die Markierungen
dadurch in ihre Bestandteile zerlegt “bis auf die Literale”.
1.2.4
1.2.5 Einführende Beispiele (1)
¬(A ∧ B) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B)
Expansionsregeln:
α∧β :
•
α
β
Ein (semantisches) Tableau ist ein Baum,
dessen Knoten mit Formeln markiert sind.
Man beginnt mit einem Baum, der nur aus einer Wurzel besteht.
Die Knoten werden nach gegebenen Regeln expandiert und die Markierungen
dadurch in ihre Bestandteile zerlegt “bis auf die Literale”.
1.2.5 Einführende Beispiele (1)
¬(A ∧ B) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B)
Expansionsregeln:
¬(A ∧ B)
α∧β :
•
¬(¬A ∧ ¬B)
α
β
Ein (semantisches) Tableau ist ein Baum,
dessen Knoten mit Formeln markiert sind.
Man beginnt mit einem Baum, der nur aus einer Wurzel besteht.
Die Knoten werden nach gegebenen Regeln expandiert und die Markierungen
dadurch in ihre Bestandteile zerlegt “bis auf die Literale”.
1.2.5 Einführende Beispiele (1)
¬(A ∧ B) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B)
Expansionsregeln:
¬(A ∧ B)
α∧β :
•
¬(¬A ∧ ¬B)
α
¬(α ∧ β) :
•
¬α
¬β
β
Ein (semantisches) Tableau ist ein Baum,
dessen Knoten mit Formeln markiert sind.
Man beginnt mit einem Baum, der nur aus einer Wurzel besteht.
Die Knoten werden nach gegebenen Regeln expandiert und die Markierungen
dadurch in ihre Bestandteile zerlegt “bis auf die Literale”.
1.2.5 Einführende Beispiele (1)
¬(A ∧ B) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B)
¬A
Expansionsregeln:
¬(A ∧ B)
α∧β :
•
¬(¬A ∧ ¬B)
α
¬B
¬(α ∧ β) :
•
¬α
¬β
β
Ein (semantisches) Tableau ist ein Baum,
dessen Knoten mit Formeln markiert sind.
Man beginnt mit einem Baum, der nur aus einer Wurzel besteht.
Die Knoten werden nach gegebenen Regeln expandiert und die Markierungen
dadurch in ihre Bestandteile zerlegt “bis auf die Literale”.
1.2.5 Einführende Beispiele (1)
Expansionsregeln:
¬(A ∧ B) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B)
¬(A ∧ B)
α∧β :
•
¬(¬A ∧ ¬B)
α
¬A
¬¬A
¬B
¬¬B
¬¬A
¬(α ∧ β) :
•
¬α
¬β
β
¬¬B
Ein (semantisches) Tableau ist ein Baum,
dessen Knoten mit Formeln markiert sind.
Man beginnt mit einem Baum, der nur aus einer Wurzel besteht.
Die Knoten werden nach gegebenen Regeln expandiert und die Markierungen
dadurch in ihre Bestandteile zerlegt “bis auf die Literale”.
1.2.5 Einführende Beispiele (1)
Expansionsregeln:
¬(A ∧ B) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B)
¬(A ∧ B)
α∧β :
•
¬(¬A ∧ ¬B)
α
¬A
¬¬A
¬B
¬¬B
¬¬A
¬(α ∧ β) :
•
¬α
¬β
¬¬β :
•
β
β
¬¬B
Ein (semantisches) Tableau ist ein Baum,
dessen Knoten mit Formeln markiert sind.
Man beginnt mit einem Baum, der nur aus einer Wurzel besteht.
Die Knoten werden nach gegebenen Regeln expandiert und die Markierungen
dadurch in ihre Bestandteile zerlegt “bis auf die Literale”.
1.2.5 Einführende Beispiele (1)
Expansionsregeln:
¬(A ∧ B) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B)
¬(A ∧ B)
α∧β :
•
¬(¬A ∧ ¬B)
α
¬A
¬¬A
¬B
¬¬B
¬¬A
¬(α ∧ β) :
•
¬α
¬β
¬¬β :
•
β
β
¬¬B
A
Ein (semantisches) Tableau ist ein Baum,
dessen Knoten mit Formeln markiert sind.
Man beginnt mit einem Baum, der nur aus einer Wurzel besteht.
Die Knoten werden nach gegebenen Regeln expandiert und die Markierungen
dadurch in ihre Bestandteile zerlegt “bis auf die Literale”.
1.2.5 Einführende Beispiele (1)
Expansionsregeln:
¬(A ∧ B) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B)
¬(A ∧ B)
α∧β :
•
¬(¬A ∧ ¬B)
α
¬A
¬B
¬¬A
¬¬B
A
B
¬¬A
¬(α ∧ β) :
•
¬α
¬β
¬¬β :
•
β
β
¬¬B
Ein (semantisches) Tableau ist ein Baum,
dessen Knoten mit Formeln markiert sind.
Man beginnt mit einem Baum, der nur aus einer Wurzel besteht.
Die Knoten werden nach gegebenen Regeln expandiert und die Markierungen
dadurch in ihre Bestandteile zerlegt “bis auf die Literale”.
1.2.5 Einführende Beispiele (1)
Expansionsregeln:
¬(A ∧ B) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B)
¬(A ∧ B)
α∧β :
•
¬(¬A ∧ ¬B)
α
¬A
¬B
¬¬A
¬¬B
¬¬A
A
B
A
¬(α ∧ β) :
•
¬α
¬β
¬¬β :
•
β
β
¬¬B
Ein (semantisches) Tableau ist ein Baum,
dessen Knoten mit Formeln markiert sind.
Man beginnt mit einem Baum, der nur aus einer Wurzel besteht.
Die Knoten werden nach gegebenen Regeln expandiert und die Markierungen
dadurch in ihre Bestandteile zerlegt “bis auf die Literale”.
1.2.5 Einführende Beispiele (1)
Expansionsregeln:
¬(A ∧ B) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B)
¬(A ∧ B)
α∧β :
•
¬(¬A ∧ ¬B)
α
¬A
¬B
¬(α ∧ β) :
•
¬α
¬β
¬¬β :
•
β
β
¬¬A
¬¬B
¬¬A
¬¬B
A
B
A
B
Wenn alle Knoten expandiert sind,
dann gibt es für jede erfüllende Belegung der Wurzel-Formel einen Pfad,
auf dem die Belegung alle Formeln erfüllt,
und jeder nicht-widersprüchliche Pfad bestimmt
erfüllende Belegungen der Wurzel-Formel.
Erfüllende Belegungen sind hier: {A} und {B }.
Einführende Beispiele (2)
¬(A ∧ ¬(A ∧ ¬B)) wird expandiert zu
Expansionsregeln:
α∧β :
•
α
β
¬(α ∧ β) :
•
¬α
¬β
¬¬β :
•
β
¬(A ∧ ¬(A ∧ ¬B))
Einführende Beispiele (2)
¬(A ∧ ¬(A ∧ ¬B)) wird expandiert zu
¬A ¬¬(A ∧ ¬B)
Expansionsregeln:
α∧β :
•
α
β
¬(α ∧ β) :
•
¬α
¬(A ∧ ¬(A ∧ ¬B))
¬β
¬¬β :
•
β
Einführende Beispiele (2)
¬(A ∧ ¬(A ∧ ¬B)) wird expandiert zu
¬A ¬¬(A ∧ ¬B)
Expansionsregeln:
α∧β :
•
α
β
¬(α ∧ β) :
•
¬α
¬(A ∧ ¬(A ∧ ¬B))
¬β
¬¬β :
•
β
A ∧ ¬B
Einführende Beispiele (2)
¬(A ∧ ¬(A ∧ ¬B)) wird expandiert zu
¬A ¬¬(A ∧ ¬B)
Expansionsregeln:
α∧β :
•
α
β
¬(α ∧ β) :
•
¬α
¬(A ∧ ¬(A ∧ ¬B))
¬β
¬¬β :
•
β
A ∧ ¬B
A
¬B
Einführende Beispiele (2)
¬(A ∧ ¬(A ∧ ¬B)) wird expandiert zu
¬A ¬¬(A ∧ ¬B)
Expansionsregeln:
α∧β :
•
α
¬(α ∧ β) :
•
¬α
¬(A ∧ ¬(A ∧ ¬B))
¬β
¬¬β :
•
β
β
Erfüllende Belegungen: ∅, {A} und {B}.
A ∧ ¬B
A
¬B
Einführende Beispiele (2)
¬(A ∧ ¬(A ∧ ¬B)) wird expandiert zu
¬A ¬¬(A ∧ ¬B)
Expansionsregeln:
α∧β :
•
α
¬(α ∧ β) :
•
¬α
¬(A ∧ ¬(A ∧ ¬B))
¬β
¬¬β :
•
β
β
Erfüllende Belegungen: ∅, {A} und {B}.
Disjunktive Normalform: ¬A ∨ (A ∧ ¬B)
A ∧ ¬B
A
¬B
Einführende Beispiele (2)
¬(A ∧ ¬(A ∧ ¬B)) wird expandiert zu
¬A ¬¬(A ∧ ¬B)
Expansionsregeln:
α∧β :
•
α
¬(α ∧ β) :
•
¬α
¬(A ∧ ¬(A ∧ ¬B))
¬β
¬¬β :
•
A ∧ ¬B
A
β
β
¬B
Erfüllende Belegungen: ∅, {A} und {B}.
Disjunktive Normalform: ¬A ∨ (A ∧ ¬B) ≡ ¬A ∨ ¬B
1.2.6 Tableaux und Tableau-Beweisbarkeit
Definition 1.14 (Tableau für Formeln aus Atomen, ¬ und ∧)
Sei ϕ eine aussagenlogische Formel aus Atomen, ¬ und ∧.
1. Ein Knoten, der mit ϕ markiert ist, ist ein Tableau für ϕ.
2. Sei T ein Tableau für ϕ,
und v sei ein Knoten in T mit Markierung ψ.
Wenn ψ eine Formel der Form α ∧ β, ¬(α ∧ β) oder ¬¬α ist,
dann kann v mit der entsprechenden Expansionsregel expandiert werden.
•
•
¬¬α: •
α ∧ β:
¬(α ∧ β):
α
¬α
¬β
α
β
Expansion von v heißt:
für jeden Pfad durch T , auf dem v vorkommt:
hänge die durch die Expansionsregel für ψ bezeichneten Knoten
an das Ende des Pfades an.
In der Expansionsregel steht • für den letzten Knoten im Pfad.
Durch Expansion von v entsteht ein (weiteres) Tableau für ϕ.
Systematischer Aufbau eines Tableaus
¬ (A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
1.2.7
Systematischer Aufbau eines Tableaus
¬ (A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬((A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ))
¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
1.2.7
Systematischer Aufbau eines Tableaus
¬ (A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬((A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ))
¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬(A ∧ ¬C )
¬(B ∧ ¬C )
1.2.7
Systematischer Aufbau eines Tableaus
¬ (A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬((A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ))
¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬(A ∧ ¬C )
¬(B ∧ ¬C )
¬(¬A ∧ ¬B)
¬(¬A ∧ ¬B)
¬C
¬C
1.2.7
Systematischer Aufbau eines Tableaus
¬ (A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬((A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ))
¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬A
¬(A ∧ ¬C )
¬(B ∧ ¬C )
¬(¬A ∧ ¬B)
¬(¬A ∧ ¬B)
¬C
¬C
¬¬C
×
1.2.7
Systematischer Aufbau eines Tableaus
¬ (A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬((A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ))
¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬(A ∧ ¬C )
¬(B ∧ ¬C )
¬(¬A ∧ ¬B)
¬(¬A ∧ ¬B)
¬C
¬C
¬A
¬¬A
×
¬¬C
×
¬¬B
1.2.7
Systematischer Aufbau eines Tableaus
¬ (A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬((A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ))
¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬(A ∧ ¬C )
¬(B ∧ ¬C )
¬(¬A ∧ ¬B)
¬(¬A ∧ ¬B)
¬C
¬C
¬A
¬¬A
×
¬¬C
×
¬¬B
B
1.2.7
Systematischer Aufbau eines Tableaus
¬ (A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬((A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ))
¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬(A ∧ ¬C )
¬(B ∧ ¬C )
¬(¬A ∧ ¬B)
¬(¬A ∧ ¬B)
¬C
¬C
¬A
¬¬A
×
¬¬C
×
¬B
¬¬C
×
¬¬B
B
1.2.7
Systematischer Aufbau eines Tableaus
¬ (A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬((A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ))
¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬(A ∧ ¬C )
¬(B ∧ ¬C )
¬(¬A ∧ ¬B)
¬(¬A ∧ ¬B)
¬C
¬C
¬A
¬¬A
×
¬¬C
×
¬¬B
¬B
A
¬¬C
×
B
×
B
1.2.7
Systematischer Aufbau eines Tableaus
¬ (A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬((A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ))
¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬(A ∧ ¬C )
¬(B ∧ ¬C )
¬(¬A ∧ ¬B)
¬(¬A ∧ ¬B)
¬C
¬C
¬A
¬¬A
×
¬¬C
×
¬¬B
B
¬B
A
¬¬C
×
B
×
Erfüllende Belegungen: {B} und {A}.
1.2.7
Definition 1.15 (Eigenschaften von Pfaden und Tableaux)
Ein Pfad durch ein Tableau heißt widersprüchlich, wenn
er ⊥, ¬> oder zwei widersprüchliche Formeln α und ¬α enthält.
Ein Pfad durch ein Tableau heißt geschlossen,
wenn er nicht widersprüchlich ist und
jeder seiner expandierbaren Knoten expandiert wurde.
Ein Tableau heißt geschlossen,
wenn jeder Pfad durch das Tableau geschlossen oder widersprüchlich ist.
(Widersprüchliche Pfade müssen nicht weiter expandiert werden.)
Ein Tableau heißt widersprüchlich,
wenn alle Pfade durch das Tableau widersprüchlich sind.
Lemma 1.16 (endliche Tableaux reichen)
Für jede Formel α gibt es ein geschlossenes Tableau mit ≤ 2|α| Pfaden.
Beweis: Übungsaufgabe.
1.2.8
Definition 1.17 (Tableau-beweisbar)
Eine Formel α heißt Tableau-beweisbar (Schreibweise: Tab α),
falls es ein widersprüchliches Tableau für ¬α gibt.
Beispiel:
Tab
¬(A ∧ (B ∧ ¬A))
¬¬(A ∧ (B ∧ ¬A))
A ∧ (B ∧ ¬A)
A
B ∧ ¬A
B
¬A
×
1.2.9
Definition 1.17 (Tableau-beweisbar)
Eine Formel α heißt Tableau-beweisbar (Schreibweise: Tab α),
falls es ein widersprüchliches Tableau für ¬α gibt.
Beispiel:
Tab
¬((¬(A ∧ ¬B) ∧ ¬(B ∧ ¬C )) ∧ ¬(A ∧ ¬C ))
¬¬((¬(A ∧ ¬B) ∧ ¬(B ∧ ¬C )) ∧ (A ∧ ¬C ))
(¬(A ∧ ¬B) ∧ ¬(B ∧ ¬C )) ∧ (A ∧ ¬C )
¬(A ∧ ¬B) ∧ ¬(B ∧ ¬C )
A ∧ ¬C
¬(A ∧ ¬B)
¬(B ∧ ¬C )
A
¬C
¬A
×
¬¬B
B
1.2.9
Beispiel:
Tab
¬((¬(A ∧ ¬B) ∧ ¬(B ∧ ¬C )) ∧ ¬(A ∧ ¬C ))
¬¬((¬(A ∧ ¬B) ∧ ¬(B ∧ ¬C )) ∧ (A ∧ ¬C ))
(¬(A ∧ ¬B) ∧ ¬(B ∧ ¬C )) ∧ (A ∧ ¬C )
¬(A ∧ ¬B) ∧ ¬(B ∧ ¬C )
A ∧ ¬C
¬(A ∧ ¬B)
¬(B ∧ ¬C )
A
¬C
¬A
×
¬¬B
B
¬B
×
¬¬C
×
1.2.9
Korrektheit und Vollständigkeit
Der Tableau-Kalkül unterteilt die Menge aller Formeln
in beweisbare und nicht-beweisbare Formeln.
Sind die Tableau-beweisbaren Formeln genau die gültigen Formeln?
Diese Frage besteht aus zwei Teilen:
1) Ist jede Tableau-beweisbare Formel gültig? (Korrektheit des TK)
2) Ist jede gültige Formel Tableau-beweisbar? (Vollständigkeit des TK)
Anmerkung:
Auf den nächsten Folien beweisen wir die Korrektheit des Tableau-Kalküls.
In Anmerkung 1 (siehe Folie 1.3.40) sehen wir,
dass es mit dem, was wir später gemacht haben werden, auch einfacher geht.
1.2.10
1.2.7 Korrektheit des Tableau-Kalküls
Wir wollen zeigen:
Jede Tableau-beweisbare Formel ist gültig.
D.h.:
Für jede Formel α gilt: wenn α Tableau-beweisbar ist, dann ist α gültig.
Das ist äquivalent zu:
Für jede Formel α gilt:
wenn α nicht gültig ist, dann ist α nicht Tableau-beweisbar.
Anders gesagt:
Für jede Formel α gilt:
wenn es eine Belegung B gibt mit B 6
α, dann ist kein Tableau für ¬α
widersprüchlich.
Besser gesagt:
Für jede Formel α gilt:
wenn es eine Belegung B gibt mit B α,
dann hat jedes Tableau für α einen nicht-widersprüchlichen Pfad.
Gibt es einen Zusammenhang zwischen erfüllenden Belegungen für α
und nicht-widersprüchlichen Pfaden durch Tableaux für α ?
1.2.11
Definition 1.17 (ein Erfüllungsbegriff für Pfade)
Sei B eine Belegung. Ein Pfad durch ein Tableau heißt Belegungs-treu zu B
(kurz: B-treu), wenn B jede Formel auf dem Pfad erfüllt.
¬ (A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
Der rote Pfad ist {A}-treu.
1.2.12
Definition 1.17 (ein Erfüllungsbegriff für Pfade)
Sei B eine Belegung. Ein Pfad durch ein Tableau heißt Belegungs-treu zu B
(kurz: B-treu), wenn B jede Formel auf dem Pfad erfüllt.
¬ (A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬((A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ))
Der rote Pfad ist {A}-treu.
¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
1.2.12
Definition 1.17 (ein Erfüllungsbegriff für Pfade)
Sei B eine Belegung. Ein Pfad durch ein Tableau heißt Belegungs-treu zu B
(kurz: B-treu), wenn B jede Formel auf dem Pfad erfüllt.
¬ (A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬((A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ))
Der rote Pfad ist {A}-treu.
¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬(A ∧ ¬C )
¬(B ∧ ¬C )
1.2.12
Definition 1.17 (ein Erfüllungsbegriff für Pfade)
Sei B eine Belegung. Ein Pfad durch ein Tableau heißt Belegungs-treu zu B
(kurz: B-treu), wenn B jede Formel auf dem Pfad erfüllt.
¬ (A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬((A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ))
Der rote Pfad ist {A}-treu.
¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬(A ∧ ¬C )
¬(B ∧ ¬C )
¬(¬A ∧ ¬B)
¬(¬A ∧ ¬B)
¬C
¬C
1.2.12
Definition 1.17 (ein Erfüllungsbegriff für Pfade)
Sei B eine Belegung. Ein Pfad durch ein Tableau heißt Belegungs-treu zu B
(kurz: B-treu), wenn B jede Formel auf dem Pfad erfüllt.
¬ (A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬((A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ))
Der rote Pfad ist {A}-treu.
¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬A
¬(A ∧ ¬C )
¬(B ∧ ¬C )
¬(¬A ∧ ¬B)
¬(¬A ∧ ¬B)
¬C
¬C
¬¬C
1.2.12
Definition 1.17 (ein Erfüllungsbegriff für Pfade)
Sei B eine Belegung. Ein Pfad durch ein Tableau heißt Belegungs-treu zu B
(kurz: B-treu), wenn B jede Formel auf dem Pfad erfüllt.
¬ (A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬((A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ))
Der rote Pfad ist {A}-treu.
¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬(A ∧ ¬C )
¬(B ∧ ¬C )
¬(¬A ∧ ¬B)
¬(¬A ∧ ¬B)
¬C
¬C
¬A
¬¬A
¬¬C
¬¬B
1.2.12
Definition 1.17 (ein Erfüllungsbegriff für Pfade)
Sei B eine Belegung. Ein Pfad durch ein Tableau heißt Belegungs-treu zu B
(kurz: B-treu), wenn B jede Formel auf dem Pfad erfüllt.
¬ (A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬((A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ))
Der rote Pfad ist {A}-treu.
¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬(A ∧ ¬C )
¬(B ∧ ¬C )
¬(¬A ∧ ¬B)
¬(¬A ∧ ¬B)
¬C
¬C
¬A
¬¬A
¬¬C
¬B
¬¬C
¬¬B
1.2.12
Definition 1.17 (ein Erfüllungsbegriff für Pfade)
Sei B eine Belegung. Ein Pfad durch ein Tableau heißt Belegungs-treu zu B
(kurz: B-treu), wenn B jede Formel auf dem Pfad erfüllt.
¬ (A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬((A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ))
Der rote Pfad ist {A}-treu.
¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬(A ∧ ¬C )
¬(B ∧ ¬C )
¬(¬A ∧ ¬B)
¬(¬A ∧ ¬B)
¬C
¬C
¬A
¬¬A
¬¬C
¬¬B
¬B
¬¬A
¬¬C
¬¬B
1.2.12
Definition 1.17 (ein Erfüllungsbegriff für Pfade)
Sei B eine Belegung. Ein Pfad durch ein Tableau heißt Belegungs-treu zu B
(kurz: B-treu), wenn B jede Formel auf dem Pfad erfüllt.
¬ (A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬((A ∧ ¬C ) ∧ (B ∧ ¬C ))
Der rote Pfad ist {A}-treu.
¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C
¬(A ∧ ¬C )
¬(B ∧ ¬C )
¬(¬A ∧ ¬B)
¬(¬A ∧ ¬B)
¬C
¬C
¬A
¬¬A
¬¬C
¬¬B
¬B
¬¬A
¬¬C
¬¬B
A
1.2.12
Man betrachtet eine Belegung B, die die Wurzel eines Tableaus erfüllt,
und verfolgt die Entwicklung eines B-treuen Pfades beim Aufbau
des Tableaus.
Wenn auf einem B-treuen Pfad ein Knoten expandiert wird,
dann wird der B-treue Pfad verlängert.
Lemma 1.18 (Expansion erhält Belegungs-Treue)
Sei ϕ eine Formel und B eine Belegung mit B ϕ.
Dann besitzt jedes Tableau für ϕ einen B-treuen Pfad.
Beweis:
Sei ϕ eine Formel und B eine Belegung mit B ϕ.
Wir zeigen mittels Induktion über den Aufbau der Tableaus für ϕ,
dass jedes Tableau für ϕ einen B-treuen Pfad besitzt.
1.2.13
Jeden Pfad durch das Tableau beschreiben wir durch die Folge der
Formeln, mit denen die Knoten auf dem Pfad markiert sind, beginnend
mit der Wurzel.
IA: Das Tableau T ist ein mit ϕ markierter Knoten.
Dann ist ϕ der einzige Pfad durch T , und er ist B-treu.
IV: Ein Tableau T für ϕ besitzt einen B-treuen Pfad π = α1 , α2 , . . . , αk .
IS: T 0 entsteht aus T durch Expansion eines Knotens.
Fall 1: T 0 entsteht aus T durch Expansion eines Knotens,
der nicht auf π liegt.
Dann ist π ein Pfad durch T 0 , und laut IV ist er B-treu.
Fall 2: T 0 entsteht aus T durch Expansion eines Knotens αe auf π.
Es werden die drei möglichen Expansionen betrachtet.
1.2.14
Fall 2.1: αe = β ∧ γ.
Dann ist π 0 = α1 , α2 , . . . , αk , β, γ ein Pfad durch T 0 .
β∧γ :
Laut IV erfüllt B die Formeln α1 , . . . , αk .
•
Deshalb gilt B β ∧ γ,
β
und mit der Semantik von ∧ folgt B β und B γ.
Also erfüllt B alle Formeln auf π 0 ,
γ
d.h. π 0 ein B-treuer Pfad durch T 0 .
Fall 2.2: αe = ¬¬β (ähnlich wie Fall 2.1.)
Dann ist π 0 = α1 , α2 , . . . , αk , β ein Pfad durch T 0 .
¬¬β :
Laut IV erfüllt B die Formeln α1 , . . . , αk .
•
Deshalb gilt B ¬¬β,
und mit der Semantik von ¬ folgt B β.
β
Also ist π 0 ein B-treuer Pfad durch T 0 .
Fall 2.3: αe = ¬(β ∧ γ).
Dann sind ρ1 = α1 , α2 , . . . , αk , ¬β und
ρ2 = α1 , α2 , . . . , αk , ¬γ Pfade durch T 0 .
Laut IV erfüllt B die Formeln α1 , . . . , αk .
Deshalb gilt B ¬(β ∧ γ).
Da ¬(β ∧ γ) ≡ ¬β ∨ ¬γ, folgt
¬(β ∧ γ) :
mit der Semantik von ∨, dass B ¬β oder B ¬γ.
•
Also erfüllt B alle Formeln von ρ1
¬γ
¬β
oder alle Formeln von ρ2 ,
d.h. ρ1 ist ein B-treuer Pfad durch T 0
oder ρ2 ist ein B-treuer Pfad durch T 0 .
Da ρ1 und ρ2 Pfade durch T 0 sind, hat T 0 einen B-treuen
Pfad.
Damit sind alle möglichen Expansionen betrachtet,
und stets erhalten wir einen B-treuen Pfad durch T 0 .
X
1.2.16
Lemma 1.19 (Korrektheit des Tableau-Kalküls)
Sei α eine aussagenlogische Formel.
Wenn Tab α, dann
α.
Beweis: wir zeigen die Kontraposition:
wenn α nicht gültig ist, dann ist α nicht Tableau-beweisbar,
d.h. wenn ¬α erfüllbar ist, dann ist α nicht Tableau-beweisbar.
Sei ¬α erfüllbar.
Dann gibt es eine Belegung B mit B ¬α.
Gemäß Lemma 1.27 hat jedes Tableau für ¬α einen B-treuen Pfad.
Kein B-treuer Pfad ist widersprüchlich.
Also besitzt jedes Tableau für ¬α einen nicht-widersprüchlichen Pfad.
Folglich gibt es kein widersprüchliches Tableau für ¬α.
D.h. α ist nicht Tableau-beweisbar.
X
1.2.8 Vollständigkeit des Tableau-Kalküls
Wir wollen zeigen:
Jede gültige Formel ist Tableau-beweisbar.
D.h.:
Für jede Formel α gilt: wenn α gültig ist, dann ist α Tableau-beweisbar.
Das ist äquivalent zu:
Für jede Formel α gilt:
wenn α nicht Tableau-beweisbar ist, dann ist α nicht gültig.
Anders gesagt:
Für jede Formel α gilt:
wenn jedes geschlossene Tableau für ¬α einen nicht-widersprüchlichen Pfad hat,
dann gibt es eine Belegung B mit B ¬α.
Besser gesagt:
Für jede Formel α gilt:
wenn jedes geschlossene Tableau für α einen nicht-widersprüchlichen Pfad hat,
dann gibt es eine Belegung B mit B α.
Gibt es einen Zusammenhang zwischen nicht-widersprüchlichen Pfaden in
geschlossenen Tableaux und erfüllenden Belegungen?
1.2.18
Man betrachtet die Belegung Bπ aus
den Atomen auf einem geschlossenen Pfad π
und zeigt, dass diese Belegung alle Formeln auf dem Pfad erfüllt.
Lemma 1.20 (Pfad bestimmt Belegung, die alle seine Formeln erfüllt)
Sei T ein nicht-widersprüchliches geschlossenes Tableau
und π = α1 , . . . , αm ein geschlossener Pfad durch T .
Dann gilt für die Belegung Bπ = {Ai | Ai ∈ {α1 , . . . , αm }}
und alle j = 1, 2, . . . , m: Bπ αj .
Beweis:
Sei T ein nicht-widersprüchliches geschlossenes Tableau,
und π = α1 , α2 , . . . , αm sei ein geschlossener Pfad durch T .
Sei Bπ = {Ai | Ai ∈ {α1 , . . . , αm }} die Belegung,
die genau aus den Atomen auf dem Pfad besteht.
Wir zeigen induktiv für j = m, m − 1, . . . , 1, dass Bπ
IA: j = m. Z.z. ist Bπ
αj .
αm .
Da (1) αm = Ai mit Ai ∈ Bπ ,
oder (2) αm = ¬Ai mit Ai 6∈ Bπ
oder (3) αm = > oder αm = ¬⊥,
folgt Bπ αm .
(da π nicht widersprüchlich ist)
1.2.20
IV: Bπ
αm , B π
αm−1 , . . . , Bπ
αj (mit j > 1).
IS: zu zeigen: Bπ αj −1 .
Es muss nachgeschaut werden, wie αj −1 aussieht.
Fall 1: αj −1 ist ein Literal (Ai oder ¬Ai ) oder αj −1 = > oder αj −1 = ¬⊥.
Dann gilt Bπ αj −1 wie bereits im IA gezeigt.
Fall 2: αj −1 = β ∧ γ.
β∧γ :
Da jeder Knoten auf π expandiert ist,
•
gibt es i ≥ j mit αi = β und αi +1 = γ.
Da Bπ β und Bπ γ (gemäß IV),
β
folgt Bπ β ∧ γ (gemäß der Semantik von ∧).
γ
1.2.21
Fall 3: αj −1 = ¬(β ∧ γ).
¬(β ∧ γ) :
•
¬β
¬γ
Da jeder Knoten auf π expandiert ist,
gibt es i ≥ j mit αi = ¬β oder αi = ¬γ.
Da Bπ αi (IV), folgt Bπ ¬β ∨ ¬γ (Semantik von ∨),
und mit ¬β ∨ ¬γ ≡ ¬(β ∧ γ)
erhalten wir Bπ ¬(β ∧ γ).
Fall 4: αj −1 = ¬¬β.
¬¬β :
•
β
Da jeder Knoten auf π expandiert ist,
gibt es i ≥ j mit αi = β.
Da Bπ αi (IV) und β ≡ ¬¬β, folgt Bπ
¬¬β.
X
1.2.22
Lemma 1.21 (Vollständigkeit des Tableau-Kalküls)
Sei α eine aussagenlogische Formel aus Atomen, ¬ und ∧.
Wenn
α, dann Tab α.
Beweis: Wir zeigen die Kontraposition.
Sei α nicht Tableau-beweisbar.
Dann gibt es für ¬α ein geschlossenes Tableau T¬α (1.25),
das nicht widersprüchlich ist.
Also gibt es einen nicht-widersprüchlichen Pfad π durch T¬α ,
auf dem jeder Knoten expandiert ist.
Nach (1.29) gibt es eine Belegung, die jede Formel auf π erfüllt.
Da ¬α am Anfang von π steht, ist ¬α erfüllbar.
D.h. α ist nicht gültig.
X
1.2.23
Vollständigkeitssatz für den Tableau-Kalkül
Satz 1.22 (Vollständigkeitssatz für den Tableau-Kalkül)
Sei α eine aussagenlogische Formel aus Atomen, ¬ und ∧.
α ist gültig genau dann, wenn α Tableau-beweisbar ist,
d.h.
α genau dann, wenn Tab α.
Beweis: folgt aus Lemmas (1.28) und (1.30).
I
I
Gültigkeit“ ist über Belegungen definiert: semantisch.
”
Tableau-Beweisbarkeit“ ist über Formeln definiert: syntaktisch.
”
Zusammenfassung
Definition: Tableaux für ϕ und Tableau-Beweisbarkeit von ϕ
Definition: B-treuer Pfad durch ein Tableau
(1.27) Tableaux für erfüllbare Formeln besitzen stets einen nichtwidersprüchlichen Pfad.
(1.29) Nicht-wid. geschlossene Tableaux
für ϕ bestimmen eine erfüllende Belegung für ϕ.
(1.28) Tableaux-beweisbare Formeln
sind gültig (Korrektheit von Tab ).
(1.30) Gültige Formeln sind Tableauxbeweisbar (Vollständigkeit von Tab ).
(1.31) Tableaux-beweisbar = gültig
(Vollständigkeitssatz von Tab )
1.2.25
Verallgemeinerung für alle Verknüpfungszeichen
Es gibt Expansionsregeln für alle Verknüpfungszeichen.
Man kann Tableau-Kalküle für Formelmengen mit “beliebigen”
Verknüpfungszeichen definieren und deren Korrektheit und
Vollständigkeit wie im Satz (1.31) beweisen.
Typ 1:
Typ 2:
α∧β :
•
¬(α ∨ β) :
•
¬(α → β) :
•
¬¬α :
•
α
¬α
α
α
β
¬β
¬β
¬α
¬β
α→β:
•
α∨β :
•
¬(α ∧ β) :
•
α
β
¬α
β
1.2.26
Bsp:
Tab
((A → B ) ∧ (B → C )) → (A → C ))
¬(((A → B) ∧ (B → C )) → (A → C ))
(A → B) ∧ (B → C )
¬(A → C )
A→B
B→C
A
¬C
¬A
×
B
¬B
×
C
×
1.2.27
Was haben wir in Kapitel 1.2 gelernt?
Wir haben den Tableau-Kalkül kennengelernt.
I
I
I
I
I
Wir können geschlossene Tableaux für beliebige Formeln konstruieren.
Wir kennen Tab .
Wir wissen, wie man aus einem geschlossenen Pfad durch ein Tableau
eine Belegung definiert, die alle Formeln auf dem Pfad erfüllt.
Wir können den Beweis mittels Induktion über die Pfadlänge
reproduzieren.
Wir wissen, dass jedes Tableau für eine erfüllbare Formel einen
nicht-widersprüchlichen Pfad hat.
Wir können den Beweis mittels Induktion über den Tableau-Aufbau
dazu reproduzieren.
Wir kennen die Begriffe Korrektheit, Vollständigkeit und den
Vollständigkeitssatz für den Tableau-Kalkül.
1.2.54
1.3 Ein klassischer Beweis-Kalkül:
der Frege-Kalkül
1. Klassische Aussagenlogik
Grundbegriffe
Tableau-Kalkül
Frege-Kalkül
Axiome, Regeln und Beweise
Das Deduktionstheorem
Korrektheit
Umwandlung von Tableau-Beweisen in Frege-Beweise
Vollständigkeit
Zusammenfassung und Anmerkungen
Ähnliche Theorien
[Literatur: Mendelson: Introduction to Mathematical Logic]
1.3.1
Gottlob Frege (1848-1925)
Grundgesetze der Arithmetik (1893, 1902)
Gottlob Frege (1848-1925) war Professor in Jena.
Er wollte die Grundgesetze der Mathematik finden, aus denen sich jeder
mathematische Satz herleiten lässt.
Dadurch wurde er zum Gründungsvater der formalen Logik.
1.3.2
Gottlob Frege (1848-1925)
Grundgesetze der Arithmetik (1893, 1902)
Gottlob Frege (1848-1925) war Professor in Jena.
Er wollte die Grundgesetze der Mathematik finden, aus denen sich jeder
mathematische Satz herleiten lässt.
Dadurch wurde er zum Gründungsvater der formalen Logik.
1.3.2
Nun werden wir einen aussagenlogischen Frege-Kalkül kennenlernen.
Frege-Kalkülen liegt die Idee zu Grunde, dass man aus grundlegenden
gültigen Formeln (Axiomen) alle anderen gültigen Formeln
zusammensetzen kann. Die Regeln für das Zusammensetzen spiegeln
das korrekte Ziehen von Schlüssen wider. Deshalb werden wir in diesem
Kapitel nur Formeln mit → und ⊥ als einzigen Verknüpfungszeichen
betrachten. Wir gehen vor wie folgt.
I Definition von Axiomen und Schlussregeln für Frege-Beweise
I Werkzeuge zum Vereinfachen von Frege-Beweisen
I viele Beispiele für Frege-Beweise
I Korrektheit des Frege-Kalküls:
wir zeigen, dass jede Frege-beweisbare Formel gültig ist
I Vollständigkeit des Frege-Kalküls:
wir zeigen, dass jede gültige Formel Frege-beweisbar ist – dazu
benutzen wir die Vollständigkeit des Tableau-Kalküls und zeigen
(nur noch), wie man Tableau-Beweise in Frege-Beweise umwandeln
kann
1.3.1 Axiome, Regeln und Beweise
Definition 1.32 (Herleitbarkeit von Formeln im Frege-Kalkül)
Der Frege-Kalkül dient zur Herleitung von Formeln aus Axiomen.
1. Die Elemente des Frege-Kalküls sind
die aussagenlogischen Formeln aus Atomen, ⊥ und →
(¬α ist abkürzende Schreibweise für α → ⊥; > ist Abkürzung für ¬⊥).
2. Die Axiome des Frege-Kalküls sind für alle Formeln α, β, ϕ:
(A1) α → (β → α)
(A2) (α → (β → ϕ)) → ((α → β) → (α → ϕ))
(A3) (¬¬α) → α
3. Die einzige Schlussregel des Frege-Kalküls ist modus ponens (MP):
aus α und α → β kann man in einem Schritt β herleiten.
α
α→β
Das wird auch beschrieben durch
.
β
(Fortsetzung von Definition 1.32)
4. Eine Herleitung einer Formel α im Frege-Kalkül ist eine Folge
α1 , α2 , . . . , α` von Formeln, an deren Ende α(= α` ) steht und
deren Elemente folgende Eigenschaften haben (für i = 1, 2, . . . , `):
I
I
αi ist ein Axiom, oder
es gibt αa , αb mit a, b < i, aus denen αi in einem Schritt mit
modus ponens hergeleitet werden kann
(d.h. es gibt a, b < i mit αb = αa → αi ).
(Statt Herleitung verwendet man gerne auch Frege-Beweis.)
5. Formel α ist ein Theorem des Frege-Kalküls (Schreibweise:
wenn es eine Herleitung von α im Frege-Kalkül gibt.
Fre
α),
Ein Beweis für B → B im Frege-Kalkül
α1 =
B → ( (B → B ) → B )
Axiom (A1)
α2 = ( B → ( (B → B ) → B )) → (( B → (B → B ) ) → ( B → B ))
Axiom (A2)
α3 = (B → (B → B )) → (B → B ) MP mit α1 und α2
α4 =
B →(B → B )
α5 = B → B
Axiom (A1)
MP mit α4 und α3
Nimmt man statt B eine beliebige Formel β,
dann hat man einen Beweis für β → β für alle β.
Also: für alle Formeln β gilt: Fre β → β.
1.3.6
Lemma 1.33
Fre
β→β
für jede Formel β.
Beweis:
Wir zeigen, dass β → β im Frege-Kalkül herleitbar ist.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
β → ((β → β) → β)
(A1)
(β → ((β → β) → β)) → ((β → (β → β)) → (β → β)) (A2)
(β → (β → β)) → (β → β) MP (1), (2)
β → (β → β)
(A1)
β→β
MP (4), (3)
X
1.3.7
Definition 1.34 (Verallgemeinerung des Herleitungsbegriffs)
Sei Γ eine Menge von Formeln.
Γ Fre α bedeutet α ist im Frege-Kalkül beweisbar, wenn Formeln
”
aus Γ wie Axiome benutzt werden können“
Lemma 1.35 (TRANS)
{α → β, β → γ}
Fre
α→γ
für alle Formeln α, β, γ.
Beweis:
(1) β → γ
(2) (β → γ) → (α → (β → γ))
(3) α → (β → γ)
(4) (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))
(5) (α → β) → (α → γ)
(6) α → β
(7) α → γ
Hypothese
(A1)
MP (1), (2)
(A2)
MP (3), (4)
Hypothese
MP (6), (5)
X
1.3.8
1.3.2 Werkzeuge zum Vereinfachen von Beweisen
Satz 1.36 (Deduktionstheorem (DT))
Sei Γ eine Menge von Formeln, α und β seien Formeln.
Dann gilt: Γ ∪ {α} Fre β genau dann, wenn Γ Fre α → β.
Beweis:
⇐: Sei Γ Fre α → β.
Dann gibt es folgenden Beweis mit Hypothesen aus Γ ∪ {α}.
)
(1)
...
..
..
hier steht der Beweis für Γ Fre α → β
.
.
(k)
α→β
(k + 1) α
Hypothese
(k + 2) β
MP (k + 1), (k)
Damit folgt Γ ∪ {α}
Fre
β.
⇒: Wir führen einen Induktionsbeweis über die Länge `
eines Beweises α1 , . . . , α` von β aus Γ ∪ {α}.
IA ` = 1: dann ist β ∈ Ax ∪ Γ ∪ {α}.
Zu zeigen ist nun: Γ
Fre
α → β.
Fall 1: β ∈ Ax ∪ Γ: (1) β
Hyp. aus Γ oder Axiom
(2) β → (α → β) (A1)
(3) α → β
MP (1),(2)
Also folgt Γ Fre α → β.
Fall 2: β = α: es gilt Fre β → β für jede Formel β (1.33).
Also gilt auch Γ Fre β → β, d.h. hier Γ Fre α → β.
Das sind alle Möglichkeiten für β, und stets folgt Γ
Fre
α → β.
1.3.10
IV: Sei β eine Formel.
Wenn Γ ∪ {α} Fre β mittels einem Beweis aus ` ≤ k Schritten,
dann folgt Γ Fre α → β.
IS ` = k + 1: α1 , . . . , αk+1 sei Beweis von β
Zu zeigen ist: es gilt Γ
Fre
(= αk+1 )
aus Γ ∪ {α}.
α → β.
Fall 1: β ∈ Ax ∪ Γ ∪ {α}. Dann folgt Γ
Fre
α → β wie im IA.
1.3.11
Fall 2: β entsteht mit MP aus αi und αj (i, j ≤ k).
Dann ist αj = αi → β.
Nach IV gilt Γ Fre α → (αi → β) und Γ
Folgender Beweis zeigt Γ Fre α → β.
(1)
..
.
(s)
(s + 1)
..
.
(m)
...
..
.
α → αi
α → αi .
)
Beweis für
Γ Fre α → (αi → β) gemäß IV
)
Beweis für
Γ Fre α → αi gemäß IV
α → (αi → β)
...
..
.
Fre
(m + 1) (α → (αi → β)) → ((α → αi ) → (α → β)) (A2)
(m + 2) (α → αi ) → (α → β) MP (s), (m + 1)
(m + 3) α → β
MP (m), (m + 2)
X
1.3.12
Beispiele: Anwendung des Deduktionstheorems
zur Vereinfachung von Beweisen
Lemma 1.37 (Die fehlende Richtung des Doppelnegationsgesetzes)
Fre
α → ¬¬α
Beweis:
(1) α
(2) ¬α
(3) ⊥
(4) ¬¬α
(5) α → ¬¬α
für alle Formeln α.
Hyp
Hyp
MP (1),(2)
DT (2),(3)
DT (4)
(Nun ist {α, ¬α}
(Nun ist {α}
(Nun ist
Fre
Fre
Fre
⊥ bewiesen.)
¬¬α bewiesen.)
α → ¬¬α bewiesen.)
X
Andere Schreibweise für Herleitungen mit Hypothesen im Frege-Kalkül:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
α, ¬α
α, ¬α
α, ¬α
α
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
α
¬α
⊥
¬¬α
α → ¬¬α
Hyp
Hyp
MP (1),(2)
DT (3)
DT (1),(4)
Lemma 1.38 (ex falso quod libet)
Fre
⊥→α
für alle Formeln α.
Beweis:
(1) ¬α
(2) ⊥
(3) ¬¬α
(4) ¬¬α → α
(5) α
(6) ⊥ → α
Hyp
Hyp
DT (1),(2)
(A3)
MP (3),(4)
DT (2),(5)
(Nun ist {¬α, ⊥}
(Nun ist {⊥}
(Nun ist
Fre
Fre
Fre
⊥ bewiesen.)
α bewiesen.)
⊥ → α bewiesen.)
Andere Schreibweise:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
¬α, ⊥
¬α, ⊥
⊥
⊥
⊥
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
¬α
⊥
¬¬α
¬¬α → α
α
⊥→α
Hyp
Hyp
DT (2)
(A3)
MP (3),(4)
DT (5)
1.3.14
Bewiesene Formeln (Theoreme) können in Beweisen wie Axiome
benutzt werden.
Lemma 1.39 (ex falso quod libet (allgemeiner))
Fre
¬α → (α → β)
Beweis:
(1) α
(2) ¬α
(3) ⊥
(4) ⊥ → β
(5) β
(6) α → β
(7) ¬α → (α → β)
für alle Formeln α und β.
Hyp
Hyp
MP (1),(2)
(1.38)
MP (3),(4)
DT (1),(5)
DT (2),(6)
(Nun ist {α, ¬α}
(Nun ist {¬α}
(Nun ist
Fre
Fre
Fre
β bewiesen.)
α → β bewiesen.)
¬α → (α → β) bewiesen.)
X
1.3.15
Vereinfachte Schreibweise für Hypothesenmengen:
Mengenklammern und ∪ weglassen . . .
Lemma 1.40 (MID)
α → (β → γ), β
Fre
α→γ
für alle Formeln α, β, γ.
Beweis:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
α, α → (β
α, α → (β
α, α → (β
α, α → (β
α, α → (β
α → (β
→ γ), β
→ γ), β
→ γ), β
→ γ), β
→ γ), β
→ γ), β
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
α
α → (β → γ)
β→γ
β
γ
α→γ
Hyp
Hyp
MP (1),(2)
Hyp
MP (4),(3)
DT (5)
X
1.3.16
Mit Hypothesen bewiesene Formeln können wie Regeln benutzt werden.
Lemma (1.35) α → β, β → γ
Fre
α→γ
kann als Regel TRANS
α→β
β→γ
α→γ
benutzt werden.
Lemma (1.40) α → (β → γ), β
Fre
α→γ
α → (β → γ)
α→γ
kann als Regel MID
β
benutzt werden.
1.3.17
Lemma 1.41 (Verallgemeinerung von TRANS)
Für k ≥ 1 und alle Formeln α1 , . . . , αk , β, γ gilt
α1 → (α2 → (. . . → (αk → β) . . .)), β → γ Fre α1 → (α2 → (. . . → (αk → γ). . .)).
Beweis mittels Induktion über k .
IA k = 1: für k = 1 ist die Behauptung gleich TRANS (1.35).
IV: die Behauptung gilt für k .
=:ψ
z
}|
{
IS: zu zeigen: α1 → (α2 → (. . . → (αk +1 → β) . . .)), β → γ Fre
α1 → (α2 → (. . . → (αk +1 → γ) . . .))
(1)
(2)
(3)
(4)
ψ, β → γ
ψ, β → γ, α1
ψ, β → γ, α1
ψ, β → γ
Fre
Fre
Fre
Fre
α1 → (α2 → (. . . → (αk +1 → β) . . .))
α2 → (. . . → (αk +1 → β) . . .)
α2 → (. . . → (αk +1 → γ) . . .)
α1 → (α2 → (. . . → (αk +1 → γ) . . .))
Hyp
DT (1)
IV mit (3)
DT (4)
X
1.3.18
Satz 1.42 ( Wichtige“ Theoreme von Fre)
”
Für alle Formeln α und β gilt:
1.
Fre
α→α
(1.33)
2.
Fre
α → ¬¬α
(1.37)
3.
Fre
¬α → (α → β)
(1.39)
4.
Fre
(¬β → ¬α) → (α → β)
5.
Fre
(α → β) → (¬β → ¬α)
6.
Fre
α → (¬β → (¬(α → β)))
7.
Fre
(α → β) → ((¬α → β) → β)
8.
Fre
(¬β → ¬α) → ((¬β → α) → β)
9.
Fre
¬(α → β) → α
10.
Fre
¬(α → β) → ¬β
(4)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Fre
¬β
¬β
¬β
¬β
¬β
(¬β → ¬α) → (α → β)
→ ¬α, ¬β, α
→ ¬α, ¬β, α
→ ¬α, ¬β, α
→ ¬α, ¬β, α
→ ¬α, ¬β, α
¬β → ¬α, α
¬β → ¬α, α
¬β → ¬α, α
¬β → ¬α
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
¬β → ¬α
¬β
¬α
α
⊥
¬¬β
¬¬β → β
β
α→β
(¬β → ¬α) → (α → β)
Hyp
Hyp
MP (1),(2)
Hyp
MP (3),(4)
DT (5)
(A3)
MP (6),(7)
DT (8)
DT (9)
1.3.20
(5)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Fre
(α → β) → (¬β → ¬α)
α → β, ¬β, α
α → β, ¬β, α
α → β, ¬β, α
α → β, ¬β, α
α → β, ¬β, α
α → β, ¬β
α→β
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
α→β
¬β
α
β
⊥
¬α
¬β → ¬α
(α → β) → (¬β → ¬α)
Hyp
Hyp
Hyp
MP (1),(3)
MP (2),(4)
DT (5)
DT (6)
DT (7)
1.3.21
(6)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Fre
α → (¬β → ¬(α → β))
α, ¬β, α → β
α, ¬β, α → β
α, ¬β, α → β
α, ¬β, α → β
α, ¬β, α → β
α, ¬β
α
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
α→β
¬β
α
β
⊥
¬(α → β)
¬β → ¬(α → β)
α → (¬β → ¬(α → β))
Hyp
Hyp
Hyp
MP (1),(3)
MP (2),(4)
DT (5)
DT (6)
DT (7)
1.3.22
(7)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
Fre
(α → β) → ((¬α → β) → β)
α → β, ¬α → β, ¬β
α → β, ¬α → β, ¬β
α → β, ¬α → β, ¬β
α → β, ¬α → β, ¬β
α → β, ¬α → β, ¬β
α → β, ¬α → β, ¬β
α → β, ¬α → β, ¬β
α → β, ¬α → β, ¬β
α → β, ¬α → β, ¬β
α → β, ¬α → β, ¬β
α → β, ¬α → β, ¬β
α → β, ¬α → β, ¬β
α → β, ¬α → β
α → β, ¬α → β
α → β, ¬α → β
α→β
Fre
α→β
¬α → β
Fre
(α → β) → (¬β → ¬α)
Fre
¬β → ¬α
Fre
(¬α → β) → (¬β → ¬¬α)
Fre
¬β → ¬¬α
Fre
¬β
Fre
¬α
Fre
¬¬α
Fre
¬¬α → α
Fre
α
Fre
⊥
Fre
¬¬β
Fre
¬¬β → β
Fre
β
Fre
(¬α → β) → β
Fre
(α → β) → ((¬α → β) → β)
Fre
Hyp
Hyp
Satz 1.42(5)
MP (1),(3)
Satz 1.42(5)
MP (2),(5)
Hyp
MP (7), (4)
MP (7),(6)
(A3)
MP (9),(10)
MP (8),(11)
DT (12)
(A3)
MP (13),(14)
DT (15)
DT (16)
1.3.23
(9)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
¬(α → β) → α
¬α → (α → β)
(¬α → (α → β)) → (¬(α → β) → ¬¬α)
¬(α → β) → ¬¬α
¬¬α → α
¬(α → β) → α
Satz 1.42(3)
Satz 1.42(5)
MP (1),(2)
(A3)
TRANS (3),(4)
1.3.24
(10)
(1)
(2)
(3)
Fre
Fre
Fre
Fre
¬(α → β) → ¬β
β → (α → β)
(A1)
(β → (α → β)) → (¬(α → β) → ¬β) Satz 1.42(5)
¬(α → β) → ¬β
MP (1),(2)
1.3.25
1.3.3 Korrektheit des Frege-Kalküls
Lemma 1.43 (Alle Axiome des Frege-Kalküls sind gültig)
Für alle Formeln α, β und ϕ gilt
1. α → (β → α) ist gültig,
2. (α → (β → ϕ)) → ((α → β) → (α → ϕ)) ist gültig und
3. ¬¬α → α ist gültig.
Beweis: Sei A eine Belegung.
zu (A1): Es gilt
A α → (β → α) ⇔ A 6
⇔ A6
⇔ A6
Wir zeigen A
γ für jedes Axiom γ.
α oder A β → α
α oder A 6 β oder A
α oder A α
Da A 6 α oder A α“ eine wahre Aussage ist,
”
ist A α → (β → α)“ ebenfalls eine wahre Aussage.
”
α
zu (A2): Es gilt
A (α → (β → ϕ)) → ((α → β) → (α → ϕ))
⇔ A 6 α → (β → ϕ) oder A 6 α → β oder A 6 α oder A ϕ
⇔ A 6 α oder A ϕ oder (A α und A β und A 6 ϕ)
oder (A α und A 6 β)
Da jede Kombination von Erfüllungen von α, β und ϕ diesen Ausdruck
erfüllt, folgt A (α → (β → ϕ)) → ((α → β) → (α → ϕ)).
zu (A3): Es gilt
A
¬¬α → α ⇔ A 6
⇔ A
⇔ A6
¬¬α oder A α
¬α oder A α
α oder A α (∗)
Die Aussage (∗) ist wahr.
Folglich ist die äquivalente Aussage A
”
¬¬α → α“ ebenfalls wahr.
Da A beliebig gewählt wurde,
folgt A γ für jede Belegung A und jedes Axiom γ.
X
1.3.27
Lemma 1.44 (Korrektheit von
Fre
)
Sei α eine Formel. Aus Fre α folgt
α.
D.h. jedes Theorem von Fre ist eine gültige Formel.
Beweis: Induktion über die Länge ` des Beweises von α.
IA ` = 1: dann ist α ein Axiom.
Da jedes Axiom gültig ist (1.43), folgt α.
IV: die Behauptung gilt für Formeln mit Beweisen der Länge ` ≤ k.
IS ` = k + 1: falls α ein Axiom ist, dann ist α gültig (1.43).
Sonst entsteht α mit MP aus αi und αj = αi → α (mit i, j ≤ k).
αi und
αi → α.
Nach IV gilt
Dann muss auch
α gelten (das hatten wir mal als Übungsaufgabe).
Lemma 1.45 (Verallgemeinerung der Korrektheit von
Sei α eine Formel und Γ eine Formelmenge. Aus Γ
Der Beweis geht entsprechend dem von Lemma (1.44).
Fre
Fre
X
)
α folgt Γ
α.
1.3.4 Umwandlung von Tableau- in
Frege-Beweise
Wir wissen bereits, dass jede gültige Formel einen Tableau-Beweis
besitzt.
Wir werden jetzt zeigen, wie man einen Tableau-Beweis in eine
Herleitung im Frege-Kalkül umwandelt.
Damit folgt dann, dass jede gültige Formel im Frege-Kalkül hergeleitet
werden kann.
Bisher hatten wir nur Tableaux für Formeln mit den
Verknüpfungszeichen ¬ und ∧ betrachtet.
Damit wir über Formeln aus Atomen, ⊥ und → sprechen können,
definieren wir uns noch die entsprechenden Tableaux.
Definition 1.46 (Tableau für Formeln aus Atomen, ⊥ und →)
Sei ϕ eine aussagenlogische Formel aus Atomen, ⊥ und →.
1. Ein Knoten, der mit ϕ markiert ist, ist ein Tableau für ϕ.
2. Sei T ein Tableau für ϕ,
und v sei ein Knoten in T mit Markierung ϕ.
Wenn ϕ eine Formel der Form α → β (mit β 6= ⊥), ¬(α → β)
oder ¬¬α ist, dann kann v mit der entsprechenden
Expansionsregel expandiert werden.
•
¬¬α: •
¬(α → β): •
α → β:
α
¬α
β
α
¬β
Durch Expansion von v entsteht ein (weiteres) Tableau für ϕ.
Vollständigkeitssatz für den Tableau-Kalkül
für Formeln aus Atomen, ⊥ und →
Satz 1.47 (Vollständigkeitssatz für den Tableau-Kalkül für Formeln aus Atomen, ⊥ und →)
Sei α eine aussagenlogische Formel aus Atomen, ⊥ und →.
α ist gültig genau dann, wenn α Tableau-beweisbar ist,
d.h.
α genau dann, wenn Tab α.
Der Beweis geht genauso wie der des Vollständigkeitssatzes für den
Tableau-Kalkül für Formeln aus Atomen, ¬ und ∧ (1.31).
Nun aber wieder zurück zum Vollständigkeitssatz für den Frege-Kalkül.
1.3.31
Frege-Herleitungen aus widersprüchlichen Tableaux
Zuerst zeigen wir, dass Formeln, die durch Anwendung einer Expansionsregel
zu einer Formelmenge dazukommen,
für die Herleitung von Formeln überflüssig sind.
Lemma 1.48 (Aus ¬¬β expandierte Formeln sind überflüssig)
Sei Γ eine Formelmenge, β und ϕ seien Formeln.
Wenn Γ, ¬¬β, β Fre ϕ, dann Γ, ¬¬β Fre ϕ.
(Die Beweislänge wächst dabei um eine Konstante unabhängig von Γ, β und ϕ.)
Beweis:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Γ, ¬¬β, β
Γ, ¬¬β
Γ, ¬¬β
Γ, ¬¬β
Γ, ¬¬β
Γ, ¬¬β
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
ϕ
β→ϕ
¬¬β
¬¬β → β
β
ϕ
Voraussetzung
DT (1)
Hyp
(A3)
MP (3),(4)
MP (5),(2)
X
Lemma 1.49 (Aus ¬(β → γ) expandierte Formeln sind überflüssig)
Sei Γ eine Formelmenge, β, γ und ϕ seien Formeln.
Wenn Γ, ¬(β → γ), β, ¬γ
Fre
ϕ, dann Γ, ¬(β → γ)
Fre
ϕ.
(Die Beweislänge wächst dabei um eine Konstante unabhängig von Γ, β, γ und ϕ.)
Beweis:
(1)
Γ, ¬(β → γ), β, ¬γ
(2)
(3)
(4)
Γ, ¬(β → γ)
Γ, ¬(β → γ)
(5)
(6)
Γ, ¬(β → γ), β
Γ, ¬(β → γ), β
(7) Γ, ¬(β → γ)
(8)
(9) Γ, ¬(β → γ)
(10) Γ, ¬(β → γ)
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
ϕ
Voraussetzung
¬(β → γ) → ¬γ (1.42(10))
¬(β → γ)
Hyp
¬γ
MP (3),(2)
¬γ → ϕ
ϕ
DT (1)
MP (4),(5)
β→ϕ
¬(β → γ) → β
β
ϕ
DT (6)
(1.42(9))
MP (3),(8)
MP (9),(7)
X
1.3.33
Lemma 1.50 (Aus β → γ expandierte Formeln sind überflüssig)
Sei Γ eine Formelmenge, β, γ und ϕ seien Formeln.
Wenn Γ, β → γ, ¬β
Fre
ϕ und Γ, β → γ, γ
Fre
ϕ, dann Γ, β → γ
Fre
ϕ.
(Die Beweislänge wächst dabei um eine Konstante unabhängig von Γ, β, γ und ϕ.)
Beweis:
(1) Γ, β → γ, ¬β
(2) Γ, β → γ
Fre
(3) Γ, β → γ, γ
(4) Γ, β → γ
Fre
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Γ, β
Γ, β
Γ, β
Γ, β
Γ, β
→γ
→γ
→γ
→γ
→γ
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
Fre
ϕ
¬β → ϕ
Voraussetzung
DT (1)
ϕ
γ→ϕ
Voraussetzung
DT (3)
β→γ
β→ϕ
(β → ϕ) → ((¬β → ϕ) → ϕ)
(¬β → ϕ) → ϕ
ϕ
Hyp
TRANS (5),(4)
(1.42(7))
MP (6),(7)
MP (2),(8)
1.3.34
Lemma 1.51 (Frege-Herleitungen von ⊥ aus widersprüchlichen Tableaux)
Sei T ein widersprüchliches Tableau für ϕ.
Für jeden Pfad π = α1 , . . . , α` durch T gilt:
für jedes i = 1, 2, . . . , ` ist α1 , . . . , αi Fre ⊥.
Beweis:
Sei m die Länge des längsten Pfades durch T .
Wir führen eine Induktion über i = m, m − 1, . . . , 1.
IA: zu zeigen: für alle Pfade π = α1 , . . . , αm mit maximaler Länge m
durch T gilt α1 , . . . , αm Fre ⊥.
Da T widersprüchlich ist und π ein maximaler Pfad durch T ist,
ist π widersprüchlich – d.h. es gibt i, j ≤ m mit αi = ¬αj .
Mit Fre ¬αj → (αj → ⊥) (1.33) und (DT) folgt αi , αj Fre ⊥, und
|{z}
| {z }
αi
damit α1 , . . . , αm
¬αj
Fre
⊥.
1.3.35
IV: Für jeden Pfad π = α1 , . . . , α` durch T und ein j ≤ ` gilt:
für jedes i = j, j + 1, . . . , ` ist α1 , . . . , αi Fre ⊥.
IS: zu zeigen ist: Für jeden Pfad π = α1 , . . . , α` durch T ist
α1 , . . . , αi−1 Fre ⊥ (i > 1).
Fall 1: ` = i − 1, d.h. π ist ein widersprüchlicher Pfad.
Dann folgt α1 , . . . , αi−1 Fre ⊥ wie im IA.
Fall 2: ` > i − 1, d.h. αi entsteht durch Expansion eines αe mit e < i.
Fall 2a: αe = (β → γ).
Dann gibt es die beiden Pfade α1 , . . . , αi−1 , ¬β, . . .
und α1 , . . . , αi−1 , γ, . . . durch T .
Nach IV gilt für deren Anfangsabschnitte der Länge i
α1 , . . . , αi−1 , ¬β Fre ⊥ und α1 , . . . , αi−1 , γ Fre ⊥.
Damit folgt aus Lemma (1.50), dass α1 , . . . , αi−1 Fre ⊥.
1.3.36
Fall 2b: αe = ¬(β → γ).
Dann folgt α1 , . . . , αi−1 Fre ⊥ aus der IV und aus Lemma (1.49).
Fall 2c: αe = ¬¬β.
Dann folgt α1 , . . . , αi−1
Fre
⊥ aus der IV und aus Lemma (1.48).
Andere Fälle gibt es nicht. Also gilt stets α1 , . . . , αi−1
Fre
⊥.
X
Satz 1.52 (aus Tableau-Beweisen können Frege-Beweise gemacht werden)
Sei α eine aussagenlogische Formel.
Aus einem widersprüchlichen Tableau für α kann eine (asymptotisch
gleichgroße) Herleitung von ¬α im Frege-Kalkül konstruiert werden.
Beweis:
Sei T ein widersprüchliches Tableau für α.
Der Fall i = 1 von Lemma (1.51) liefert α Fre ⊥ und damit Fre ¬α.
Die Abschätzung der Länge der Herleitung folgt daraus, dass gemäß
(1.48)–(1.51) jede Expansion eines Knotens im Tableau durch eine konstante
Anzahl an Schritten in der Frege-Herleitung simuliert“ wird.
X
”
1.3.37
1.3.5 Vollständigkeit des Frege-Kalküls
Lemma 1.53 (Vollständigkeitslemma für
Fre
)
Sei ϕ eine aussagenlogische Formel. Wenn
ϕ, dann
Fre
ϕ.
Beweis:
Sei ϕ gültig.
Dann gibt es ein widersprüchliches Tableau für ¬ϕ (1.31).
Mit Satz (1.52) folgt
Fre
¬¬ϕ, und mit (A3) schließlich
Fre
ϕ.
Die Korrektheit (1.44) und Vollständigkeit (1.53) liefert den
Vollständigkeitssatz für den Frege-Kalkül:
Satz 1.54 (Vollständigkeitssatz für
Fre
)
Für jede aussagenlogische Formel ϕ gilt:
ϕ ist gültig genau dann, wenn ϕ im Frege-Kalkül beweisbar ist
(d.h. ϕ gdw. Fre ϕ).
X
1.3.6 Zusammenfassung 1
Struktur des Beweises des Vollständigkeitssatzes für
Fre
Definition: Frege-Kalkül und Frege-Beweisbarkeit von ϕ
Lemma (1.36): Deduktionstheorem
(1.43) Alle Axiome des Frege-Kalküls
sind gültig.
(1.48)–(1.50) Expandierte Formeln sind
nicht nötig zur Herleitung von ⊥
(1.44) Frege-beweisbare Formeln sind
gültig (Korrektheit von Fre ).
(1.51) Tableaux-Beweise können in
Frege-Beweise umgewandelt werden
(1.54) Frege-beweisbar = gültig
(Vollständigkeitssatz für Fre )
(1.30) Gültige Formeln sind
Tableau-beweisbar
(Vollständigkeit von Tab )
1.3.39
Anmerkung 1
Wir haben die Vollständigkeit des Frege-Kalküls (1.53) aus der
Vollständigkeit des Tableau-Kalküls (1.31) und der Umwandlung von
Tableau-Beweisen in Frege-Beweise (1.52) gefolgert.
Entsprechend können wir die Korrektheit des Tableau-Kalküls (1.28)
aus der Korrektheit des Frege-Kalküls (1.44) und der Umwandlung von
Tableau-Beweisen in Frege-Beweise (1.52) folgern.
Damit erhalten wir einen alternativen Beweis zu Lemma (1.28).
nochmal Lemma 1.28
Jede Tableau-beweisbare Formel ist gültig.
Beweis:
Sei α Tableau-beweisbar (d.h. Tab α).
Nach Satz (1.52) ist α dann ebenfalls Frege-beweisbar (d.h.
Mit Lemma (1.44) folgt, dass α gültig ist ( α).
Fre
α).
1.3.40
Zusammenfassung 2
Struktur der wichtigen Ergebnisse dieses Kapitels
(1.28) Korrektheit von
(1.44) Korrektheit von
Fre
Tab
(1.31) Vollständigkeitssatz für
Tab
(1.51) Tableaux-Beweise können in
Frege-Beweise umgewandelt werden.
(1.54) Vollständigkeitssatz für
Fre
(1.30) Vollständigkeit von
(1.53) Vollständigkeit von
Tab
Fre
1.3.41
Anmerkung 2
Bei Frege-Herleitungen haben wir die Benutzung von Hypothesen
erlaubt.
Das können wir auch bei Tableau-Beweisen einbauen.
Die Konstruktion eines Tableaus,
mit dem wir ϕ aus den Hypothesen α1 , . . . , αm herleiten
(α1 , . . . , αm Tab ϕ),
beginnt mit einem Pfad aus den Knoten α1 , . . . , αm , ¬ϕ.
Der Rest der Konstruktion läuft ab wie gehabt.
Man kann die Vollständigkeitssätze für den Tableau-Kalkül und den
Frege-Kalkül dann auch zu Herleitungen aus Hypothesen
verallgemeinern.
1.3.42
1.3.7 Ähnliche Theorien I
Die Auswahl der Axiome in unserem“ Frege-Kalkül hat das Ziel, den Beweis des
”
Vollständigkeitssatzes technisch einfach zu machen.
Eine Theorie von Kleene (1952) hat Modus Ponens und die folgenden Axiome
(für Formeln mit Verknüpfungszeichen →, ∧, ∨ und ¬).
1. α → (β → α)
2. (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))
3. (α ∧ β) → α und (α ∧ β) → β
4. α → (β → (α ∧ β))
5. α → (α ∨ β) und β → (α ∨ β)
6. (α → γ) → ((β → γ) → ((α ∨ β) → γ))
7. (α → β) → ((α → ¬β) → ¬α)
8. ¬¬α → α
Durch Weglassen des letzten Axioms (Doppelnegationsgesetz)
erhält man eine Theorie für die intuitionistische Logik.
Ähnliche Theorien II
Eine Theorie, die im Buch von Mendelson benutzt wird,
hat Modus Ponens und die folgenden Axiome
(für Formeln mit Verknüpfungszeichen → und ¬).
1. α → (β → α)
2. (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))
3. (¬β → ¬α) → ((¬β → α) → β)
1.3.44
Was haben wir in Kapitel 1.3 gelernt?
Wir haben den Frege-Kalkül kennengelernt.
I Wir kennen die Axiome und Schlussregeln des Frege-Kalküls.
I Wir kennen
und das Deduktionstheorem.
Fre
I Wir wissen, dass die Axiome des Frege-Kalküls gültig sind und können
den Beweis für (A1) reproduzieren.
I Wir wissen, dass im Frege-Kalkül nur gültige Formeln herleitbar sind
und können den Beweis mittels Induktion über die Länge der Herleitung
reproduzieren.
I Wir wissen, dass Hypothesen, die durch Expansion anderer Hypothesen
entstehen, zum Herleiten von Formeln überflüssig sind.
I Wir wissen, wie man Tableau-Beweise in Frege-Beweise umwandeln
kann und können den Beweis mittels Induktion über die Pfadlänge im
Tableau reproduzieren.
I Wir wissen, wie die Vollständigkeit des Frege-Kalküls aus der
Vollständigkeit des Tableau-Kalküls gefolgert werden kann.
I Wir kennen die Begriffe Korrektheit, Vollständigkeit und den
Vollständigkeitssatz für den Frege-Kalkül.