Formale Logik

Formale Logik
PD Dr. Markus Junker
Abteilung für Mathematische Logik
Universität Freiburg
Wintersemester 16/17
Sitzung vom 2. November 2016
Erinnerung: aussagenlogische Syntax
Aussagenlogische Formeln sind:
Aussagenvariablen A , B , C . . . , Verum > und Falsum ⊥,
(Zusammensetzungen mit Junktoren:) mit F und F 0 auch
¬F , (F ∧ F 0 ) , (F ∨ F 0 ) , (F → F 0 ) , (F ↔ F 0 ).
Wahrheitswertverhalten:
F
W
W
F
F
F0
W
F
W
F
>
W
W
W
W
⊥ ¬F (F ∧ F 0 ) (F ∨ F 0 ) (F → F 0 ) (F ↔ F 0 )
F F
W
W
W
W
F F
F
W
F
F
F W
F
W
W
F
F W
F
F
W
W
Alternative Schreibweisen
Carol Horn Greenstein Dictionary of Logical Terms and Symbols,
New York 1978.
Verum:
Falsum:
Negation:
Konjunktion:
Disjunktion:
Implikation:
Bi-implikation:
↑, 1, V, W; fehlt auch oft
↓, 0, Λ, F; fehlt auch oft
∼ A, −A, A, A0 ; Np
(A & B), (A · B), (A × B), (AB), (A ∩ B); Kpq
(A | B), (A + B), (A ∪ B); Apq
(A ⇒ B), (A ⊃ B), (A : B); Cpq
(A ⇔ B), (A ≡ B), (A ⊃⊂ B), (A = B)
(A ∼ B), (A u B); Epq
polnische Notation bzw. umgekehrte polnische Notation:
ohne Klammern!
Eindeutige Lesbarkeit und Formelbaum
Jede aussagenlogische Formel kann nur auf eine einzige Art und
Weise nach den Regeln aufgebaut werden und kann wieder
„rückwärts“ zerlegt werden:
(¬((¬A ∨ B) ∧ ¬¬B) ∨ (A ∧ ¬⊥))
¬((¬A ∨ B) ∧ ¬¬B)
?
((¬A ∨ B) ∧ ¬¬B)
(¬A ∨ B)
¬A
?
A
@
R
@
B
@
R
@
¬¬B
?
¬B
?
B
@
R
@
(A ∧ ¬⊥)
A
@
R
@
¬⊥
?
⊥
Eindeutige Lesbarkeit
In der „natürlichen Sprache“ ist dies anders, vergleiche Wörter wie:
Ersatzbusfahrer
Oberleitungsprüfer
Klammerung wird hörbar gemacht
(aber Oberbürgermeister ?)
oder auch sichtbar gemacht
(was aber auch schief gehen kann: SchlüsselFertigbau)
Wahrheitstafeln, Wahrheitsverlauf einer Formel
Sei F die Formel (¬((¬A ∨ B) ∧ ¬¬B) ∨ (A ∧ ¬⊥))
A
W
W
F
F
B
W
F
W
F
¬A
F
F
W
W
(¬A ∨ B)
W
F
W
W
¬B
F
W
F
W
¬¬B
W
F
W
F
A
W
W
F
F
B
W
F
W
F
. . . ¬((¬A ∨ B) ∧ ¬¬B)
F
...
W
F
W
⊥
F
F
F
F
((¬A ∨ B) ∧ ¬¬B) . . .
W
F
...
W
F
¬⊥
W
W
W
W
(A ∧ ¬⊥)
W
W
F
F
F
W
W
F
W
Logische Äquivalenz
Zwei Formeln F1 und F2 heißen logisch äquivalent, wenn sie den
gleichen Wahrheitswertverlauf haben.
Kurzschreibweise: F1 ∼ F2
Beispiele:
I
Doppelnegationsregel: ¬¬A ∼ A.
I
Idempotenz von ∧: (A ∧ A) ∼ A
I
Kommutativität von ∧: (A ∧ B) ∼ (B ∧ A)
I
Kontraposition: (A → B) ∼ (¬B → ¬A)
Zwei Formeln mit genau entgegengesetztem Wahrheitswertverlauf
heißen manchmal logisch kontravalent.
Tautologie
Eine Formeln F heißt Tautologie, wenn ihr Wahrheitswertverlauf
konstant W ist, also nie der Wahrheitswert F vorkommt.
Kurzschreibweise: ` F
Beispiele:
I
tertium non datur: ` (A ∨ ¬A)
I
Prinzip des ausgeschlossenen Widerspruchs: ` ¬(A ∧ ¬A)
I
Identität: ` (A → A)
I
Verum ist eine Tautologie: ` >
Eine Formel mit konstantem Wahrheitswertverlauf F heißt auch
Antilogie. Eine Formel ist erfüllbar, wenn sie keine Antilogie ist.
Logische Folgerung
Eine Formel F folgt logisch aus Formeln P1 , P2 , . . . (oder: wird von
der Menge dieser Formeln impliziert), wenn F immer dann den
Wahrheitswert W bekommt, wenn auch alle P1 , P2 , . . . den
Wahrheitswert W haben. Mit andern Worten: Es kann nicht sein,
dass alle Prämissen P1 , P2 , . . . wahr sind, F aber falsch.
Kurzschreibweise:
P1 , P2 , · · · ` F
{P1 , P2 , . . . } ` F
Beispiele:
I
modus ponens: A, (A → B) ` B
I
modus tollens: (A → B), ¬B ` ¬A
I
„einfacher Syllogismus“:
I
ex falso quodlibet: für beliebiges F gilt ⊥ ` F
(A → B), (B → C ) ` (A → C )
Zusammenhänge
Eine aussagenlogische Formel G folgt dann und nur dann logisch
aus F , wenn (F → G ) eine Tautologie ist.
Zwei aussagenlogische Formeln F und G sind dann und nur dann
logisch äquivalent, wenn (F ↔ G ) eine Tautologie ist.