¨Ubungsblatt 3

Grundlagen der Logik in der Informatik
WS 2014
Übungsblatt 3
Abgabe der Lösungen: Tutorium in der Woche 10.11-14.11
Aufgabe 1
Triviale Falschheit
(Präsenzaufgabe)
Das Induktionsprinzip für aussagenlogische Formeln lautet: um zu zeigen, dass eine Eigenschaft P für alle aussagenlogischen Formeln φ gilt, zeige, (Induktionsbasis) dass P für φ = ⊥
gilt sowie für alle atomaren φ ∈ A; (Induktionsschritt) dass, wenn P für Formeln φ und ψ gilt,
dann auch für φ ∧ ψ und ¬φ.
Sei φ eine aussagenlogische Formel, die nur aus Konjunktionen, Atomen und Wahrheitskonstanten (> und ⊥) gebildet ist (dabei ist natürlich > die Abkürzung für ¬⊥). Zeigen Sie anhand des
obigen Induktionsprinzips, dass für jede Wahrheitsbelegung κ, für die es ein Atom A ∈ A mit
κ(A) = ⊥ gibt, κ 6|= φ gilt, wenn A in φ vorkommt.
Aufgabe 2
Positives Denken
(Präsenzaufgabe)
Sei φ eine aussagenlogische Formel, die wie in der Vorlesung aus Konjunktion, Negation, Falsum
und Atomen aufgebaut ist. Wir definieren rekursiv, dass ein Atom A positiv (negativ ) in φ ist,
wenn
• φ ein Atom ist (φ ein Atom ist außer A);
• φ = ¬ψ und A negativ (positiv) in ψ ist;
• φ = ψ ∧ ξ und A in ψ und in ξ positiv (negativ) ist.
(Insbesondere ist A weder negativ noch positiv in ⊥.)
Beweisen Sie, dass φ erfüllbar ist, wenn jedes Atom A ∈ A positiv oder negativ (oder beides) in
φ ist. Kann eine solche Formel auch gültig sein?
Hinweis: Verwenden Sie Induktion über den Aufbau von φ. Man muss in der Induktion in
Wirklichkeit eine stärkere Aussage als die verlangte beweisen, indem man auch darüber redet,
welche Wahrheitsbelegungen φ wahr bzw. falsch machen.
Aufgabe 3
Smith, Jones und Wahrheitstafeln (Präsenzaufgabe)
Zeigen Sie, dass der Detektiv von Aufgabe 1, Übungsblatt 2 schließen kann, dass Smith der
Mörder ist oder der Mord nach Mitternacht passiert ist (analog zu Aufgabe 2, Übungsblatt 1),
indem Sie die Aufgabe in Aussagenlogik formalisieren und für die so erhaltene Formel die Wahrheitstafel aufstellen.
GLoIn, WS 2014
Aufgabe 4
Dame oder Tiger, aussagenlogisch
(5 Punkte)
Formalisieren Sie das Szenario der Dame-oder-Tiger“-Aufgabe von Übungsblatt 1 in Aussagen”
logik. Prüfen Sie dann, ob die Aussagen Eine Dame ist in Raum I“ bzw. Eine Dame ist in
”
”
Raum II“ logische Folgerungen aus dieser Formalisierung sind, indem Sie entsprechende Wahrheitstafen bilden.
Aufgabe 5
Negationsnormalform
(8 Punkte)
Eine aussagenlogische Formel ist in Negationsnormalform (NNF), wenn sie durch die folgende
Grammatik erzeugt werden kann:
ψ, ξ = A | ¬A | ψ ∧ ξ | ψ ∨ ξ
(A ∈ A).
Dabei ist ψ ∨ ξ, wie in der Vorlesung, Abkürzung für ¬(¬ψ ∧ ¬ξ).
Eine bekannte Tatsache ist, dass jede Formel φ in eine NNF φ0 umgeformt werden kann, so dass φ
und φ0 logisch äquivalent sind. Wir zeigen das indirekt mittels des in Übungsblatt 2 eingeführten
“Schaltkreiskalküls”.
1. Zeigen Sie, dass es für jede Formel φ ein Schaltkreis gibt, durch den genau dann Strom
fließt, wenn φ erfüllt ist. Verwenden Sie dafür das Induktionsprinzip für aussagenlogische
Formeln von Aufgabe 1. Hinweis: Um Negation zu behandeln, verwenden Sie die Ergebnisse von Übungsblatt 2, Aufgabe 3; verwenden Sie den folgenden wiedesprüchligen
Schaltkreis
A
¬A
(mit beliebigen A ∈ A) um logische Falschheit auszudrücken.
2. Zeigen Sie, dass es für jeden Schaltkreis eine Formel φ in NNF gibt, die genau dann erfüllt
ist, wenn durch den Schaltkreis Strom fließt. Verwenden Sie dabei das Induktionsprinzip
für Schaltkreise aus Übungsblatt 2, Aufgabe 3.
Die Aussagen 1 und 2 zusammen zeigen, dass für jede Formel φ eine NNF berechnet werden kann
indem man φ zunächst in einen Schaltkreis übersetzt und danach zurück in eine aussagenlogische
Formel.
Aufgabe 6
Syntax trifft Semantik
(7 Punkte)
Seien φ und ψ zwei aussagenlogische Formeln wie in Aufgabe 2. Wir bezeichnen mit φ[ψ/A]
die Formel, die wir erhalten, indem wir in φ jedes Vorkommen des Atoms A durch ψ ersetzen.
Formal wird φ[ψ/A] wie folgt rekursiv definiert:
• A[ψ/A] = ψ
• B[ψ/A] = B wenn B ∈ A − {A};
• (¬φ)[ψ/A] = ¬(φ[ψ/A]);
• (φ ∧ ξ)[ψ/A] = φ[ψ/A] ∧ ξ[ψ/A].
Beweisen Sie, dass die Formeln φ[ψ/A] und (φ[>/A] ∧ ψ) ∨ (φ[⊥/A] ∧ ¬ψ) logisch äquivalent sind.
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GLoIn, WS 2014
Hinweis: Es wird empfohlen, zunächst die folgende Hilfsaussage durch Induktion über den
Aufbau von φ zu beweisen: für jede Wahrheitsbelegung κ gilt κ |= φ[ψ/A] ⇐⇒ κ |= φ[κ(ψ)/A],
wobei κ(ψ) = >, wenn κ |= ψ, und κ(ψ) = ⊥ sonst.
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