¨Ubungsblatt 3

Grundlagen der Logik in der Informatik
WS 2016
Übungsblatt 3
Abgabe der Lösungen: Tutorium in der Woche 14.11.-18.11.
Aufgabe 1
Triviale Falschheit
(Präsenzaufgabe)
Das Induktionsprinzip für aussagenlogische Formeln lautet: um zu zeigen, dass eine
Eigenschaft P für alle aussagenlogischen Formeln φ gilt, zeige, (Induktionsbasis) dass P für
φ = ⊥ gilt sowie für alle atomaren φ ∈ A; (Induktionsschritt) dass, wenn P für Formeln φ und
ψ gilt, dann auch für φ ∧ ψ und ¬φ.
Sei φ eine aussagenlogische Formel, die nur aus Konjunktionen, Atomen und Wahrheitskonstanten (> und ⊥) gebildet ist (dabei ist natürlich > die Abkürzung für ¬⊥). Zeigen Sie anhand
des obigen Induktionsprinzips, dass für jede Wahrheitsbelegung κ, für die es ein Atom A ∈ A
mit κ(A) = ⊥ gibt, κ 6|= φ gilt, wenn A in φ vorkommt.
Aufgabe 2
Positives Denken
(Präsenzaufgabe)
Sei φ eine aussagenlogische Formel, die wie in der Vorlesung aus Konjunktion, Negation, Falsum
und Atomen aufgebaut ist. Wir definieren rekursiv, dass ein Atom A positiv (negativ ) in φ ist,
wenn
• φ ein Atom ist (φ ein Atom ist außer A);
• φ = ¬ψ und A negativ (positiv) in ψ ist;
• φ = ψ ∧ ξ und A in ψ und in ξ positiv (negativ) ist.
(Insbesondere ist A weder negativ noch positiv in ⊥.)
Beweisen Sie, dass φ erfüllbar ist, wenn jedes Atom A ∈ A positiv oder negativ (oder beides)
in φ ist. Kann eine solche Formel auch gültig sein?
Hinweis: Verwenden Sie Induktion über den Aufbau von φ. Man muss in der Induktion in
Wirklichkeit eine stärkere Aussage als die verlangte beweisen, indem man auch darüber redet,
welche Wahrheitsbelegungen φ wahr bzw. falsch machen.
Aufgabe 3
Also, können Schweine fliegen?
(4 Punkte)
Formalisieren Sie die Schlussfolgerung aus Aufgabe 5, Übungsblatt 1 als aussagenlogische Implikation. Überprüfen Sie nun formal, ob die Schlussfolgerung gilt, indem Sie eine Wahrheitstafel
aufstellen. Geben Sie, falls die Schlussfolgerung nicht gilt, ausdrücklich an, welche Zeile der
Wahrheitstafel eine Gegenbeispiel darstellt. Andernfalls halten Sie kurz in Worten fest, warum
die Schlussfolgerung durch die Wahrheitstafel belegt wird.
GLoIn, WS 2016
Aufgabe 4
Negationsnormalform
(10 Punkte)
Eine aussagenlogische Formel ist in Negationsnormalform (NNF), wenn sie durch die folgende
Grammatik erzeugt werden kann:
ψ, ξ ::= A | ¬A | ψ ∧ ξ | ψ ∨ ξ
(A ∈ A).
Dabei ist ψ ∨ ξ, wie in der Vorlesung, Abkürzung für ¬(¬ψ ∧ ¬ξ).
Eine bekannte Tatsache ist, dass jede Formel φ in eine NNF φ0 umgeformt werden kann, so
dass φ und φ0 logisch äquivalent sind (natürlich unter der Annahme, dass A nicht leer ist). Wir
zeigen das indirekt mittels des in Übungsblatt 2 eingeführten “Schaltkreiskalküls”.
1. Zeigen Sie, dass es für jede Formel φ einen Schaltkreis gibt, durch den genau dann Strom
fließt, wenn φ erfüllt ist. Verwenden Sie dafür das Induktionsprinzip für aussagenlogische
Formeln von Aufgabe 1.
4 Punkte
Hinweis: Um Negation zu behandeln, verwenden Sie die Ergebnisse von Übungsblatt 2,
Aufgabe 2.
Achtung: Verwenden Sie den folgenden leeren Schaltkreis:
um logische Falschheit auszudrücken.
2. Zeigen Sie, dass es für jeden Schaltkreis eine Formel φ in NNF gibt, die genau dann erfüllt
ist, wenn durch den Schaltkreis Strom fließt. Verwenden Sie dabei das Induktionsprinzip
für Schaltkreise aus Übungsblatt 2, Aufgabe 2.
4 Punkte
3. Bringen Sie die folgende Formel mithilfe der Schritte (1) und (2) in NNF:
2 Punkte
((A → B) → A) → A.
Genauer gesagt: Übersetzen Sie jeweils die gegebene Formel in einen Schaltkreis, führen
Sie auf diesem die Transformation in NNF durch, und wandeln Sie ihn anschließend
wieder in eine Formel um.
Achtung: Es ist ausdrücklich verboten, Vereinfachungsregeln für Formeln zu verwenden;
Sie dürfen jedoch doppelte Negationen eliminieren indem Sie Formeln der Form ¬¬φ
durch φ ersetzen.
Aufgabe 5
Logische Äquivalenz
(6 Punkte)
Beweisen Sie, dass die folgenden Paare von Formeln jeweils logisch äquivalent sind:
1. (φ → ψ) ∨ φ und (ψ → φ) ∨ ψ;
2 Punkte
2. (φ ∧ ψ) → ξ und (φ → ξ) ∨ (¬ξ → ¬ψ);
2 Punkte
3. (φ ∧ (ψ → ξ)) → ψ und (φ ∧ (ψ → ¬ξ)) → ψ.
2 Punkte
Zeigen Sie dabei mindestens zwei Äquivalenzen durch Vergleichen der jeweiligen Wahrheitstafeln.
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