U φ

2.Elektrizität und Magnetismus
2.1. Physikalische Grundgrößen und Grundgesetze
2.1.1. Physikalische Grundgrößen
Raumladungsdichte

elektrische Ladung
Q    dV
[] = As/m3
[Q] = As = C
V
elektrische Spannung
elektrische Feldstärke
elektrische Flussdichte,
dielektrische Verschiebung
U

E


D   r 0 E
[U] = V
[E] = N/As = V/m
[D] = As/m2
Permittivität des Vakuums
0 = 8.854  10-12 As/Vm
relative Dielektrizitätskonstante
r
elektrischer Strom
dQ
I
 dt
j
mit
Stromdichte
[I] = A
 
I   j da
A
[j] = A/m2
1
Leitfähigkeit
magnetische Feldstärke
 mit

H


j  E
[] = A/Vm
[H] = A/m
(magnetisches Feld)
magnetische Flussdichte,


B   r 0 H
[B] = Vs/m2 = T
magnetische Induktion
Permeabilität des Vakuums
0 = 4  107 Vs/Am
relative Permeabilitätskonstante
r
2
2.1.2. Grundgesetze
a) Kräfte
Coulomb-Kraft
beschreibt elektrostatische Kraft zwischen zwei Punktladungen Q1, Q2:
 

1
Q1  Q2 r2  r1
F12 
     
4     0 r2  r1 2 r2  r1
Lorentz-Kraft
beschreibt Kraft zwischen elektrischen Strömen bzw. bewegten Ladungen und Magnetfeldern
 

F I l B
 

 
F Q vB


3
b) Maxwellsche Gleichungen in Integralform
Grundgleichungen der Elektrodynamik
1. Gaussches Gesetz
 
D
 da  Qumschlossen
s
2. Nichtexistenz magnetischer Monopole (magnetischer Ladungen)
 
 B da  0
s
3. Verallgemeinertes Ampèresches Gesetz (Durchflutungsgesetz)
4. Induktionsgesetz
 
d  
H
d
l

I


 D da
dt
c
A
 
d  
E
d
l



 B da
dt A
c
c) Materialgleichungen:


j  E


D   r 0 E

H
1 
B
0  r
4
2.2. Elektrostatik
2.2.1. Elektrische Ladungen
Symbol Q
[Q] = As = C
a) Existenz positiver und negativer Ladungen, (+,-)
b) Ladung ist quantisiert
elektrische Ladungen haben Ursprung in Existenz von negativen und positiven
Elementarteilchen: Elektron
e
Proton
p
Elementarladung: e = 1.60219 · 10-19 As
- Ladung ist quantisiert
Q=Ne
(N ist ganze Zahl)
Ladung Elektron:
Gesamtladung der Elektronen:
Ladung Proton:
Ladung Atomkern:
Atom ist neutral:
Qe = -e
Qeg = -Ze
Qp = +e
QK = +Ze
QAtom = Qeg + QK = -Ze + Ze = 0
c) Ladungssumme beleibt erhalten
Die Summe der Ladungen bleibt in einem abgeschlossenen System immer erhalten: Qges   Qi  const
i
Bsp.: Kernzerfall
Dissoziation –
H2O  OH- + H+
5
d) Kräfte zwischen Ladungen
aus Modell des Atomaufbaus folgt:
- Materie ist ladungsneutral
- natürlich belassene Körper haben keine
elektrostatischen Wechselwirkungen
- aber Ladungsungleichgewicht kann durch
Einwirkung äußerer Kräfte entstehen
Bsp.: Reibungselektrizität
(Cohns-Regel)
 r(Wolle) >  r(Plastik)
+++
--Q>0
Q<0
r(Porzellan) > r(Leder)
+++
--Q>0
Q<0
Exp.: Abstoßung zwischen zwei geladenen
Plastikstäben
Anziehung zwischen geladenen Plastikund Porzellanstäben
Ergebnis:
Anziehung zweier ungleicher Ladungen (+,-)
Abstoßung zweier gleichartiger Ladungen (+,+) oder (-,-)
6
Experiment:
Kraft in Abhängigkeit vom Abstand, F=F(r)
Ergebnis:
Abhängigkeit der elektrostatischen Kraft zwischen zwei Ladungen: F  r-2
Coulomb-Kraft
beschreibt elektrostatische Kraft zwischen zwei Punktladungen Q1, Q2:
 

1
Q1  Q2 r2  r1
FC ,12 

  
4     0 r2  r1 2 r2  r1

1
Q1  Q2 r

 2 
4   0
r
r


FC ,12
Q1

r1

er
  
r  r2  r1

r2
Q1 Q2 < 0
1
Q Q 
 1 2 2  er
4   0
r
mit 0 = 8.854  10-12 As/Vm
(Permittivität des Vakuums)
(0 0 =1/c02)
Vergleiche mit Newtonschen Gravitationsgesetz
Q1 Q2 < 0:
Q1 Q2 > 0:
Q2


FG ,12  er


FG ,12  er
 

m1  m2 r2  r1 
FG      2   
r2  r1  r2  r1
Vergleich Coulombkraft und Gravitationskraft zwischen zwei Elektronen:
FC entscheidend für mikroskopische Objekte (Elektron, Kerne, Atome, Ionen)
(FG zu klein und kann werden)
Anziehung
Abstoßung
Coulomb-Kraft ist auch
konservative Kraft
FC
 10 40
FG
7
Beispiel: Blättchenelektroskop
Experiment: Blättchenelektroskop
- Coulomb-Kraft
- Ladung schaufeln
8
2.2.2. Das elektrische Feld
Coulomb-Kräfte sind additiv
 

- Punktadungen Q1, Q2, …, Qi an den Orten r1 , r2 ,..., ri

Coulomb-Kraft die von Ladungen Qi auf Probeladung q am Ort r ausgeübt wird:
 
 

1
Qi
r  ri 
FC r   q
     
4     0 i r  ri 2 r  ri


- Kontinuierliche Ladungsverteilung mit differentiellen Teilladungen dQ´r ´ und Ladungsdichte  r ´


Coulomb-Kraft die von Ladungsverteilung  r ´auf Probeladung q am Ort r ausgeübt wird:
 

1
1
r  r ´
      dQ´
4     0 Q r  r ´2 r  r ´
 
1
1

r  r ´ 
q
       r ´dV
4     0 V r  r ´2 r  r ´
 
FC r   q
 
FC r   q
dQ =  dV
dV
 
r  r'

r'
Q
 
E r 
q

r
0

Coulombkraft hängt nur von Ladungsverteilung und Ort r der der Probeladung q ab
elektrische Feld:

  FC r 
E r  
q
[E] = N/C = V/m
9
Interpretation:
Ladungsverteilung erzeugt eine Eigenschaft des Raumes, die darin besteht,
dass auf Probeladung q eine Kraft wirkt!
Diese Raumeigenschaft heißt elektrisches Feld.

  FC r 
E r  
q
-Q2
 
FC r 
+q
-Q4
 
E r 
-Q1
-Q3
Schirm, Vorhang
 
Veranschaulichung von E r  durch Feldlinien
- entsprechen Kraftlinien entlang deren Coulomb-Kraft wirkt
- sind von + nach – gerichtet, entlang Coulomb-Kraft auf positive Probeladung
- Dichte ist Maß für Stärke des Feldes
- entsprechen Symmetrie der Ladungsanordnung
10
Beispiele für Feldlinien des elektrischen Feldes
positive Punktladung
Kugelsymmetrie resultiert in
einem radialen elektrischen Feld

  F r 
1
Q 
E r  

 2  er
q
4  0 r
zwei Punktladungen +Q, +Q
zwei Punktladungen +Q, -Q
elektrischer Dipol mit
Dipolfeld
 
 
E r    Ei ri  
i
1
4   0
Qi 
 ei
2
 r
i
i
Experiment: Elektrisches Feld von Punktladungen (+Q, +Q+Q, +Q –Q)
11
Anwendung: Millikan-Versuch zur Bestimmung der Elementarladung
Experiment:
Millikan-Versuch (quantitativ)
Beachte:
auf geladene Öltröpfchen wirkende Kräfte : Coulomb-Kraft, Reibung in Luft, Auftrieb in Luft

konstante Sink-oder Steiggeschwindigkeit der Öltröpfchen ist abhängig von Masse (Radius) und
Ladung Z = Ne der Öltröpfchen sowie vom elektrischen Feld
 Bestimmung der Elementarladung
12
2.2.3. Berechnung elektrischer Felder – Das Gaussche Gesetz
 
 D da  Qumschlossen    dV
Gaussches Gesetz (1. Maxwellsche Gleichung)
ist Grundlage für die Berechnung von elektrischen
Feldern, die im allgemeinen durch die Ladungsdichte
 verursacht werden
s
V


mit elektrische Flussdichte (dielektrische Verschiebung) D   r 0 E
und r = 1 für Vakuum folgt:

- wir sehen D  
hat physikalische Bedeutung
einer Flächenladungsdichte
[D] = As/m2
 
 
D
d
a


E

 0 da  Qumschlossen    dV
s
s
V
 
E r 
+Qumschlossen
s
V
s – Oberfläche von eingeschlossenen
Volumen V
13
 
E r 
Beispiel für die Berechnung elektrischer Felder:
Geladene Hohlkugel mit Radius R im Vakuum, r = 1
a) r > R

E besitzt radiale Symmetrie:
+ + +
+
r +
+ + +


E || r

da


Integrationsoberfläche ist Kugelschale mit Radius r: E || da
 
 
 D  da    0 E  da  Qums
A
A

2
 E 4r  Qums
0
Q
E r  R   ums 2
4 0 r
Symmetrie


Qums r
E r  R  
4 0 r 2 r
analoges Ergebnis ergibt sich für Punktladung Qums
E
b) r < R
 
 
 D  da    0 E  da  0
A
A
(da Hohlkugel)

E r  R   0

1
r2
0
Experiment: Elektrisches Feld von geladener
Hohlkugel bei r > R und r < R
R
r
14
2.2.4. Elektrisches Potential und Spannung
- Coulomb-Kraft ist konservative Kraft:
 
E
 dr  0
 
F
 dr  0


- potentielle Energie
E
der
Probeladung
q
am
Ort
im
elektrischen
Feld
der Ladung Q bezüglich
r
E
pot

Referenzpunkt r0 :


r  
r  
 

' '
E pot r , r0     F r dr  q  E r ' dr '

r0


r0



- elektrisches Potential V der Ladung Q am Ort r bezüglich Referenzpunkt r0:
 
V r , r0  
 
E pot r , r0 '

r  
 

V r , r0     E r ' dr '

r0
q

  
 
V r , r0     E r ' dr '

r0

mit
 
E r' 

As

dr '

Q r'
4 0r '2 r '
Q>0

r 1
 
Q '
Q 1 1 
  
V r , r0    
dr 
'
2

4 0  r r0 
r 4 0 r
(Volt)
 
E r '
Beispiel: elektrisches Potential einer Punktladung Q:

r
V  Nm  V
mit
mit Referenzpunkt im unendlichen

r0   folgt:
0
elektrische Potential

Q
V r  
4 0r
und


V r , E pot r  gilt ebenfalls für geladenen Kugel bei r > R
potentielle Energie = Coulombenergie:

qQ

E pot r  
 qV r 
4 0r
15
 
- Berechnung des elektrischen Feldes E r  aus elektrischen Potential V :




 
 V r  V r  V r 
dV r 
E r   
,
,
   

x

y

z
dr


Beispiel: Äquipotentialoberfläche
Bedingung:

V r   const

 
dV r 
E r      0
dr
  

dV r    E r  dr  0

dr ist entlang Äquipotentialoberfläche gerichtet
(Skalarprodukt)
 

E r   dr

E steht senkrecht zur Äquipotentialoberfläche

r
 
E r 

dr
Q>0
Äquipotentialoberfläche
16


- elektrisches Spannung U21 ist Potentialdifferenz zwischen zwei Orten r2 und r1


U 21  V r2  V r1 

r2

   r1   
U 21    E r ' dr '   E r ' dr '

r0

r0

r1
 
U 21   E r ' dr '


U 21 V
r2
 
Beispiel: Beschleunigung eines Elektrons mit Ladung q = -e im elektrischen Feld E r 
Beschleunigung durch Coulombkraft: geleistet Arbeit W resultiert in kinetischer Energie des Elektrons
W = Ekin = ½ mv2

r2


2
1

r1

r1

r2

r 
r 
 


W   F dr  e  E dr  e  E dr
r  
 

V r , r0     E r ' dr '


W  eV r2  V r1 


U 21  V r2  V r1 
W = eU21 = ½mv2
hier ist Einheit für Arbeit bzw. Energie: [W] = eV

r0

Anwendung: Elektronenstrahlröhre
17
2.2.4. Elektrische Leiter im elektrischen Feld - Influenz
Elektrische Leiter (z. Bsp. Metalle) besitzen freibewegliche Ladungsträger, z. Bsp. Elektronen mit q = -e



im E -Feld wirkt auf Ladungsträger Coulomb-Kraft F  qE und verschiebt diese
Experiment: Verschiebung der Ladung innerhalb von elektrischen Leitern in einem elektrischen Feld
Frage 1: Wie weit verschieben sich die Ladungen im Leiter unter den Einfluss des elektrischen Feldes?
Antwort 1: Elektrischen Ladungen, die auf einem Leiter aufgebracht oder durch ein elektrisches Feld
erzeugt werden, sitzen nur an der Oberfläche des Leiters. Das elektrische Feld innerhalb des
Leiters ist Null:

 
 
Beachte: Antwort 1 gilt nur für Leiter
E  0 da  D  da    0 E  da  Qums  0
A
A
im Gleichgewicht = Elektrostatik !
Experiment:
- Cavendish Schalen
- Faraday-Käfig
- Ladungstransfer auf Faraday-Becher
- Van-de-Graaff Generator
18
Van-de-Graaff Generator
19
Frage 2: Wie sind die Feldlinien des elektrischen Feldes relativ zur Oberfläche gerichtet?
Antwort 2: Die elektrischen Feldlinien stehen senkrecht auf der Oberfläche, d. h. die Oberfläche des Leiters
ist eine Äquipotentialfläche.
Erklärung: Ladungen bewegen sich auf der Oberfläche
auf Grund der Coulomb-Kraft so lang bis parallele
Komponenten des elektrische Feldes zur Oberfläche
(Tangential-Komponenten) verschwinden
Beachte: Auch Antwort 2 gilt nur für Leiter im Gleichgewicht = Elektrostatik !
Experiment: Spiegelladung
Elektrische Feldlinien treffen rechtwinklig auf
leitende Plattenoberfläche!
Kraft auf geladene Kugel vor leitender Platte:
1
Q2
Fz 
4 0 2 z0 2
Experimente: -Entladung an Spitzen
- elektrischer Wind
- Reaktionsrad
20
2.2.5. Kondensatoren
a) Prinzip:
betrachten zwei leitende parallel Platten
Platte 1
  
U   E r  dr
+
2
Spannung zwischen beiden Platten:
aus
1
 
  0 E  da  Q
A
+Q
folgt für gespeicherte Ladung Q auf Platten:
Q  U, d. h. Q = C U
mit der Kapazität
C
Q
U
+
+
+
+
+
Platte 2
- -Q
-
U
Erde
C  1 A  s  1 Farad  1 F
V
Q = gespeicherte Ladung
U = angelegte Spannung
C ist nur durch Anordnung der beiden Leiter (Geometrie) und
dem isolierenden Medium dazwischen bestimmt
21
b) Berechnung der Kapazität des Plattenkondensators: Plattenabstand l, Plattenfläche A
Experiment: elektrisches Feld des Plattenkondensators,
Feldlinien existieren nur im Raum zwischen Platten
Platte 2
-Q
A´: Gaussche Integrationsfläche
+Q
Platte 1
A´
mit
  Q
E
  da 
o
A´
Berechnung elektrisches Feld:
mit Q = Qums
 
Q  A
 E  da  Ez A  
0
0
A´
Q
Ez 
0 A

Berechnung Spannung:
r 
 
 
U r1, r2   U12    E r  dr
1

r2
 - Flächenladungsdichte

r1  0,0,0 
0
U
U    E z dz  E zl
l
Definition Kapazität:
C
Q
U
C
0 A
l

r2  0,0, l 
Ql
0 A
Kapazität des Plattenkondensators im Vakuum
22
Experiment: Plattenkondensators, Q  l-1 für U = konst., U  l für Q = konst.
- Kapazität ist von Geometrie abhängig
2 0l
z. Bsp. Zylinderkondensator
C
(Koaxialkabel)
r 
ln  a 
 ri 
l - Länge des Zylinders (Kabels)
ra - Radius äußerer Leiter
ri -Radius innerer Leiter

ri

ra
- Kapazität ist vom isolierenden Medium (dielektrisches Material) zwischen Leitern abhängig
z. Bsp. - Plattenkondensator mit Vakuum
- Plattenkondensator gefüllt mit
dielektrischen Material mit
relativer Dielektrizitätskonstante r
Experiment:
C
0 A
l
C
 0 r A
l
Isolierende Platte (Dielektrikum) zwischen Platten eines Kondensators schieben:
wegen Q = C U beobachten wir
- bei Q = const, U sinkt

Udiel < UVak
- bei U= const, Q steigt

Qdiel > QVak
Ursache: permanente oder induzierte molekulare Dipolmomente
23
c) Schaltung von Kondensatoren
Parallelschaltung:
Gesamtladung:
+Q1
+Q2
+Q3
-Q1
-Q2
-Q3
Qges   Qi  U  Ci
i
Reihenschaltung:
Gesamtspannung:
U2
-
+
U ges  U i  Q  Ci1
i
Spannungsabfälle Ui über
Kondensatoren sind gleich
-
i
U1
i
U
C ges   Ci
i
-
positiv und negativ geladene Platten
bilden jeweils Äquipotentialfläche
+
in Leitersegmenten zwischen Kondensatoren gilt  Qi  const
U3
+
-
+
C ges 
+
U
-
1
1
 Ci
i
Spannungsabfälle Ui über
Kondensatoren addieren sich
1
C ges
  Ci1
i
i
Experiment: Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren
24
d) Energie des elektrischen Feldes
- Aufladen eines Kondensators erfordert Arbeit
- diese ist in Form von elektrischer Energie im elektrischen Feld des Kondensators gespeichert
Experiment: Kondensator als Energiespeicher, Energie wird frei bei Entladung
Aufladevorgang: Transportiere differentielle Ladung +dq von negativer zur positiver Kondensatorplatte
1
dW  U  dq   q  dq
dabei notwendige Arbeit
(W = qU, Q = U C)
C
1Q
1 Q2 1 2
W
 U C
gesamtes Aufladen
W   q  dq
2 C 2
C0
Arbeit W ist im elektrischen Feld als elektrische Energie gespeichert:
für Plattenkondensator mit U = E l und C 
1
Eel  W  U 2C
2
0 A
folgt:
l
Eel = ½ E2 0 l A = ½ E2 0 V = ½ E D V
Energiedichte des elektrischen Feldes:
wel 
Eel 1  
 ED
V
2


Beachte: bei Kondensator mit Dielektrikum (r >1) gilt D   r 0 E
und somit wel(r >1) > wel(r =1) (im gefüllten, mit Spannungsquelle verbundenen
Kondensator ist mehr Energie gespeichert)
25
2.3. Elektrische Gleichströme
2.3.1. Stromstärke und Stromdichte
Elektrischer Strom ist Ladungstransport!
Wo kann Ladungstransport stattfinden?
26
a) Stromstärke:
Elektrischer Strom ist Ladungstransport!
hier Q > 0
Betrachte Leiter mit Querschnitt
A und angelegter Spannung U

U ist mit elektrischen Feld E verknüpft

r 
 
U 21   E r ' dr '

r

E wirkt Kraft auf Ladungsträger Q aus
Stromfluss
1


E
2
+Definition Stromstärke I: Ladungsmenge dQ, die pro Zeit dt durch
Querschnitt des stromführenden Leiters A fließt
(Stromrichtung  Querschnitt)
I
dQ
dt
[I] = As/s = A = Ampere

Beachte: I fließt entlang E , deshalb entspricht I Bewegung der positiven Ladungsträger (Q > 0)
(technische Stromrichtung)
b) Stromdichte:


Die Stromdichte j ist ein Vektor in Richtung der Normalen zum Fächenelement da
 dI 
j  ea
da
bzw.
 
I   j da
A
[j] = A/m2
27
b) Pfeilrichtung bei Strom und Spannung:
beliebige
Stromquelle
Gleichstromquelle
technische
Stromrichtung
+
+
_
+
_
Bewegung der positiven
Ladungsträger (Q > 0)
von + nach -
_
28
2.3.2. Elektrischer Widerstand, Leitfähigkeit und Leistung
a) Widerstand
Welcher Zusammenhang besteht zwischen I und U?
Experimente: - Strom-Spannungskennlinie eines Ohmschen Widerstande I = f(U)
- I = f(A), I = f(l)
Ergebnis:
I  U, : I  l-1, : I  A
Ohmsches Gesetz:
und R 
s l
A
U=RI
mit elektrischen Widerstand: R
mit spezifischen Widerstand s
[R] = V/A = 
= Ohm
[s] = m
s ist Materialkonstante und ist in der Regel temperaturabhängig
( s steigt mit zunehmender Temperatur für Metalle  Kaltleiter
s sinkt mit zunehmender Temperatur für Halbleiter  Heißleiter)
29
b) Leitfähigkeit

E

j
Leitfähigkeit:
Strom:
 
I   j da  jA
Spannung:
l  

U   E r  dr  E l

1
l

 s RA
[] = (m)-1
Ohmsches Gesetz: U = R I
0
A
El=RjA

mit Stromdichte entlang E - Feld:
alternative Schreibweise für Ohmsches Gesetz:
j
l
E
RA


j  E
30
c) Elektrische Leistung
R
Strom fließt durch Widerstand R,
Ladungsträger müssen Arbeit verrichten,
Arbeit wird von Spannungsquelle geliefert
-
+
- Arbeit W, die geleistet wird, wenn Ladungsmenge Q Potentialdifferenz U (Spannung) durchläuft:
W  QU
[W] = VAs = Ws = J = Joule
Leistung (Arbeit pro Zeit):
P
W
Q
U
 UI
t
t
mit U = R I (ohmsches Gesetz):
[P] = VA = Js-1 = W = Watt
P = UI = I2R = U2/R
Beachte: Die Arbeit, die der Strom leistet, wird im Widerstand in Wärme („Joulesche Wärme“) umgewandelt
Beispiele: Tauchsieder, elektrischer Wasserkocher
31
2.3.3. Gleichstromkreise
2.3.3.1. Kirchhoffsche Gesetze
a) Knotenregel
Aus Erhaltung der Ladung Q und
folgt:
I1 I 2  I 3  I 4
bzw.
Knotenregel:
dQ
I
dt
I1 I 2 I 3  I 4  0
 Ik  0
k
Die Summe aller Ströme, die in den Knoten münden, ist Null.
Experiment: - Demonstration Knotenregel
32
b) Maschenregel
U4
U3 R3
 
Spannungsabfall z. Bsp. über Widerstand R1: U1    E dr
a
a
b
U1
I3
b
U2
 
Da die Coulomb-Kraft eine konservative Kraft ist, gilt  FC dr  0


und mit FC  qE somit
folgt:
 
E
 dr  U k  0
k
U 1 U 2 U 3 U 4 0
Maschenregel:
U k  0
k
Regeln:
- Strom in Uhrzeigersinn zählen (I > 0)
- eingefügte (eingeprägte), gerichtete Spannung
U4 = Ue zeigt vom höheren zum niedrigeren
Potential ( Ue > 0 für +  -)
- Spannungsabfälle Uk = Rk Ik an Widerständen
zeigen ebenfalls vom höheren zum niedrigeren
Potential ( Uk > 0 für +  -) entlang positiven
Ik > 0
Experiment: - Demonstration Maschenregel
33
2.3.3.2. Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze
a) Reihenschaltung von Widerständen
 Rk I  U  0
Maschenregel:
k
U   Rk I
k
Vergleich mit Ohm‘schen Gesetz:
U  Rg I
Rg   Rk
k
Experiment: Widerstände in Reihenschaltung
b) Parallelschaltung von Widerständen
Maschenregel:
-R1 I1 + R2 I2 = 0
-U1 + U2 = 0
U1 = U2 = Uk = U
Ik = U/Rk
Knotenregel:
I   Ik  U 
k
Vergleich mit Ohm‘schen Gesetz:
k
1
Rk
I  U / Rg
Experiment: Widerstände in Parallelschaltung
1
1

Rg k Rk
34
c) Spannungsteiler
R
s l
A
Rx 
s x
A
Rx  x
U x  IRx
U R  IR
U x Rx x


UR R l
Ux  UR
x
x
 U0
l
l
Experiment: - Spannungsteiler
35
d) Innenwiderstand einer Spannungsquelle
+ Ri
U0
U0 - Leerlaufspannung (Urspannung)
Ri - Innenwiderstand
U – Klemmspannung mit
U falls I  0
Spannungsquelle mit Lastwiderstand R:
+ 0  U 0  Ri I  U
I
Ri
U0
I
U  U 0  Ri I
U0
Ri  R
U
U 0R
Ri  R
U  U 0  Ri I  RI
U
R
U0
Ri
Kurzschluss, R = 0:
I
Leerlauf, R >> Ri:
U  U0
Ri begrenzt Strom I
Verbraucherspannung entspricht
Urspannung
Experiment: - Innenwiderstand einer Spannungsquelle
U = U0 -RiI
36
Experiment: - Leistungsanpassung
maximale Leistung am Verbraucherwiderstand
wenn R = Ri
Anpassung:
U 02
2
P  U R  I R   RI  R
Leistung an R:
Ri  R 2
aus Extremwertproblem
dP
0
dR
bei R = Ri maximale Leistung
folgt
U 02
Pmax 
4 Ri
0.3
4 Ri
0.2
P (W)
Pmax 
U 02
0.1
0.0
0
20
R = Ri
40
60
80
100
R ( )
37
2.4. Magnetfelder
2.4.1. Magnetfelder von Permanentmagneten
Ursache des Magnetismus in Materie:
Magnetische Dipolmomente durch Bahnbewegung der Elektronen und durch
Spin, d. h. Eigendrehimpuls der Elektronen.
Beide magnetische Dipolmomente sind nicht teilbar!

Br 
Konsequenz: Es gibt keine isolierten magnetischen Pole, d.h. keine magnetischen Ladungen.
Magnetische Feldlinien sind immer geschlossen!
 
2. Maxwellsche Gleichung:  B da  0

Br 
s
Bsp.: Magnetfeld eines Stabmagneten
Experiment: Feldlinienbild eines stabförmigen Permanentmagneten,
Demonstration mit Eisenfeilspänen
s
V
s – Oberfläche von
eingeschlossenen
Volumen V
Beim Durchbrechen eines
Stabmagneten erhält man
wieder zwei Stücke mit
N-und S-Pol
38
2.4.2. Magnetfelder stationärer elektrischer Ströme
2.4.2.1. Die 3. Maxwellsche Gleichung – Das Ampérsche Gesetz
Magnetfelder werden auch durch elektrische Ströme erzeugt.
Experiment: - Feldlinienbild eines geradlinigen Stromleiter
- Messung B = B(r), B = B(I) mit Hall-Sonde

 I 
B  0 H   e
r
Magnetfeld eines geraden
stromführenden Leiters:

e
3. Maxwellsche Gleichung,
Ampèresches Gesetz für stationäre Ströme:
 
 
 H  ds  I   j  da
c

da

da
A
c


da und ds
sowie

 
I , j und H , B

ds

ds
bilden
Rechtsschraube
39
2.4.2.2. Anwendungen des Ampérschen Gesetzes
a) geradliniger stromdurchflossener Leiter
r  r0 , I  const., j 
I
 
H r 

r

j
I
 const.
  r02
 
 
H
  ds  I   j  da
c
A

ds
A


- geschlossene Integrationskurve c entspricht H -Feldlinie um Leiter bei r
- geschlossene Integrationskurve
c spannt Integrationsfläche A auf und

umschließt hier I bzw. j vollständig

da
d
c
(Zylinder mit Radius r0)
 
H || ds
ds  r  d
  2
 H  ds   H r  const  r  d  2   rH  I
c
H r  
 0
I
2   r
bzw.
 
H r  
I 
e
2   r
40
b) stromdurchflossene lange Zylinderspule
n – Windungen, L - Länge
Experiment: Feldlinienbilder Kreisstrom und Zylinderspulen
L
D
A
C
B
ABCD - geschlossene Integrationskurve c
  B  C 
H
  ds   H  ds   H  ds 
A


H  ds
B
H 0
B
 ...  0
  A 
H
  ds   H  d s  n  I
C
D


H  ds H  L
D
H
nI
L
D
wegen
A
 ...  0
C
beliebigem
Abstand
von Spule
C
 ...  0
B
41
2.5. Magnetische Induktion
2.5.1. Die 4. Maxwellsche Gleichung - Das Induktionsgesetz
4. Maxwellsche Gleichung, Induktionsgesetz


B   r 0 H

dB
0
dt

E

H'

jind , Iind
U ind  U 0'

da
+ 2´
- 1´

dl
 
d  
E
 dl    B da
dt A
c


-Pfeile für dl und da bilden Rechtsschraube
-magnetische Induktion mit induzierter Spannung Uind kann
dargestellt werden durch Ersatzspannungsquelle mit fiktiver
Urspannung U 0'  U ind

-Pfeile für Uind und da bilden Rechtsschraube
A
R
-induzierte Spannung Uind und induzierter Strom Iind sind



d
B
B
ihrer Ursache
 0 entgegengerichtet: H ' 
dt
 r 0
c
Lenzsche Regel
I
42
Diskussion der 4. Maxwellsche Gleichung:
 
d  
E
d
l



 B da
dt A
c
  2 
'
 E dl   E dl  U 0  U ind
'
linke Seite:
c
rechte Seite:

H'

jind , Iind
1'
d   d m
 B da 
dt A
dt
mit magnetischen Fluss


B   r 0 H

dB
0
dt

E
U ind  U 0'

da
+ 2´
- 1´
A
 
 m   B da   B cos  da
A
R
c
A
 
und    B, a
 
induzierte Spannung:

dl
U ind 
[m] = Vs = Tm2
d   d m
 B da 
dt A
dt
I
43
Experiment: magnetische Induktion, Induktionsspulespule mit NI - Windungen im Magnetfeld der Erregerspule mit
Ne-Windungen, Messung mit Galvanometer
U ind
d  B cos  da
d   d m
  B da 
 A
dt A
dt
dt
t
allg. Messsignal am Galvanometer:
S   Iind  dt 
0
Erregerspule erzeugt magn. Flussdichte
B  o   r H   o   r
 
d
in Induktionsspule induzierte Spannung: U ind   N I B da
dt A
beobachtetes Messsignal
S
1t
 U ind  dt
R0
Ne  Ie
L
N I 0 r N e I e
A cos 
R
L

B
Experimente: Demonstration Lenzsche Regel
- leitender Ring auf Magnet
- Waltenhofensches Pendel (Wirbelstrombremse)
44
2.5.2. Selbstinduktion
a) Induktivität
- Betrachte zeitabhängigen Strom I(t) durch Spule

- I(t) resultiert in zeitabhängiger magnetischer Induktion Bs t  in Spule
- diese führt wiederum zu einer selbst-induzierten Spannung Uind,s in der Spule
Selbstinduktion U ind , s 
da Bs(t)  I(t) folgt:
d 

 Bs t da
dt A
U ind , s  U  L
dI
dt
mit Induktivität L
[L] = Vs/A = H (Henry)
dI
- resultierender induzierter Strom Iind,s ist seiner Ursache, d. h. zeitlicher Änderung
dt
entgegengesetzt (Lentzsche Regel)
Experimente: Selbstinduktion mit Spule
45
Beispiel: Zylinderspule
Länge l, Querschnitt A << l2, Windungszahl N
zeitabhängiges Magnetfeld durch Strom I(t):
H s t  
l
N  I t 
l
Bs t   r 0 H s t  
Nr 0 I t 
l

d
 d   r 0 N 2 I t A 

Induktionsgesetz: U t    NBs t da  

dt A
dt 
l

 r 0 N 2 A dI
U
l
dt
dI
Vergleich mit U  L
dt
ergibt für Induktivität einer Zylinderspule
r 0 N 2 A
L
l
- Induktivität ist von der relativen Permeabilitätskonstante r des Füllmaterial der Spule abhängig
Ursache: magnetische atomare oder molekulare Dipolmomente infolge ungepaarter Elektronenspins
und des magnetischen Bahnmomentes des Elektrons
46
b) Energie des magnetischen Feldes
- Das magnetische Feld in einer Spule wird gegen die Wirkung der Selbstinduktion, d. h. gegen die selbst-induzierte
Spannung U aufgebaut.
dI
- Dazu ist Arbeit notwendig: dW  P dt  IU dt  IL dt  LI dI
dt
I
1
W   LI dI  LI 2  Emag
2
0
- Diese Arbeit W ist als Energie Emag im magnetischen Feld gespeichert.
r 0 N 2 A
N I
, Magnetfeld in Zylinderspule H 
- mit Induktivität einer Zylinderspule L 
l
l
und Volumen der Zylinderspule V = A l folgt:
Emag
1 2 1 r 0 N 2 A 2 1 r 0 N 2 A H 2l 2 1
1
2
 LI 
I 



H
Al

BHV
r
0
2
2
l
2
l
2
2
N2
Energiedichte des magnetischen Feldes:
1
wmag  BH
2
Experimente: Energiespeicherung im Magnetfeld einer Spule
47
2.5.3. Die Lorentz-Kraft
auf stromdurchflossenen Leiter

Fx Fxe

B  0,0, Bz 

l  0, l y ,0

da
Uind
- rechteckige Leiterschleife in xy-Ebene

mit Flächenelement da  0,0, da z  0 

- magnetische Induktion B  0,0, Bz  0 

- verschiebbarer Leiter mit l  0, l y  0,0 

v  vx ,0,0 

beweget sich in Zeit  t mit Geschwindigkeit v  v x  0,0,0 
entlang Weg  x = vx  t
Berechne die Kraft auf Strom I (bewegte Ladung im Magnetfeld):
in Leiterschleife induzierte Spannung
liefert induzierten Strom I  
U ind 
d   d m
0
 B da 
dt A
dt
U ind  B z l y
x
 Bz l y v x
t
Bl v
U ind
 z y x
R
R
I 2 Rx
vx

Joulsche Wärme entspricht Arbeit W die notwendig ist zur Bewegung des Leiter l : W  Wth ,
I erzeugt im Widerstand R Wärmenergie (Joulsche Wärme):
Fx x  IBzl y x
Verallgemeinerung Lorentz-Kraft:
Fx  I l y Bz
 

FL  I l  B
 
Wth  Pt  I 2 Rt  
Fxe x
Experimentator
bewegt Draht mit
Kraft Fxe
I 2 Rx
  Fx x 
vx
Gegenkraft des Drahtes
nach 3. Newt. Axiom, Fx
48
Experimente: Demonstration Lorentz-Kraft auf Ströme
- Lorentz-Schaukel
- Kraft auf zwei parallel Drähte
(Definition der Stromstärke: 1A entspricht F/l = 210-7 N/m im Vakuum)
49
2.5.3. Die Lorentz-Kraft auf bewegte Ladung
Lorentz-Kraft auf stromdurchflossenen Leiter mit Länge l und Querschnitt A:
     



mit Stromdichte: j  nqvD
FL  I l  B  j Ae A l  B

vD - Driftgeschwindigkeit (Geschwindigkeit der
dx = vD dt
folgt
Ladungsträger im Leiter

n – Ladungsträgerkonzentration
   
FL  nqvD Ae A l  B
Ladung dQ die durch Querschnitt A in Zeit dt fließt:
dQ = q n dV = q n A vD dt


mit Leitervolumen V  Ae Al
dQ I
dQ
j
  qnvD
I
 qnAvD
Adt
A
dt
sowie n = N/V folgt für N = 1:
 
 
 
Lorentz-Kraft auf bewegte Ladung q = e im Vakuum (v = vD):

 
FL  q v  B


Experimente: Ablenkung eines Elektronenstrahl im Magnetfeld eines Stabmagneten
50
Lorentz-Kraft auf bewegte Ladung q = -e (Elektronenstrahl):

 
 
F  q v  B  e v  B




Experiment: Ablenkung eines Elektronenstrahl
im Magnetfeld eines Stabmagneten
Anwendungen: Bestimmung spezifische Ladung des Elektrons e/me

 
B  const, B  v
e v B = me v2 r-1

Beschleunigung der Elektronen im elektrischen Feld E
Kreisbahn: FL = Fz
mit Spannung U=E d zwischen Kathode und Anode
me 2
v  eU
2
e
2U
 2 2
me r B

 
FL  e v  B
 
51
Anwendungen: Massenspektrometer


 
F  qE  q v  B


q
2U
 2 2
m r B

B

E
52
2.6. Wechselströme
2.6.1. Erzeugung von Wechselströmen – Der Generator

Leiterschleife mit Fläche A rotiert in Magnetfeld B mit Winkelgeschwindigkeit 
4. Maxwellschen Gleichung (Induktionsgesetz):
A
 
d  
 E dl    B da
dt A
c
induzierte Spannung:
d m t 
dt
U – Anfangsphase der Spannung
U
mit  m t   BA cost  U 
induzierte Wechselspannung:
U t    BA sin t  U 
U t   U 0 sin t  U 
T
U(t)
1 2



mit Amplitude U0 = -BA
in Analogie: Wechselstrom
I t   I 0 sin t   I 
U0
U 0 sin U
t
-U0
Experimente: Wechselstromgeneratoren
-Prinzip
- U0  
53
2.6.2. Leistung in Wechselstromkreisen
- momentane Leistung: Pt   U t  I t 
- Wirkleistung:
mit
U t   U 0 sin t  U ,
P
1 T
  Pt  dt
T 0
P
1
 U 0  I 0  cos   U eff  I eff  cos 
2
I t   I 0 sin t   I 
(Mittelwert über Periode T )
Effektivwerte: U eff 
  U   I
1
U0,
2
I eff 
1
 I0
2
1
 cos     cos   
2
1
1T
P  U 0 I 0 cos    U 0 I 0 cos2    t  U   I dt
2
T
0 


sin   sin  
Wirkleistung ist die tatsächlich
verbrauchte Leistung!
0
- Blindleistung:
PBlind 
1
 U 0  I 0  sin 
2
Blindleistung wird nicht wirklich verbraucht, sondern von Wechselstromwiderständen aufgenommen und
im elektrischen Feld (Kondensator) oder magnetischen Feld (Spule) gespeichert
es gilt:
2
P 2  P 2  PBlind
54
2.6.3. Widerstände in Wechselstromkreisen- Impedanzen
Serien RLC-Kreis (Reihenschaltung: Widerstand – Spule – Kondensator)
I t 
Generator: U t   U 0 sin t 
Maschenregel:
UR
U t   U L  U c  U R
U t   L
U t 
UL
I t   I R  I L  I C
dI Q
  IR
dt C
dU t 
d 2 I I dI
L 2   R
dt
C dt
dt
Z  
inhom. Differentialgleichung 2. Ordnung
UC
komplexer Ansatz:
U t   U 0 e it
einsetzen in Diff.-gln. liefert:
I t   I 0 ei t  
I
 i R I
C

1 

U   R  i  L 
  I

C



iU   L 2 I 
(vgl. mit Ohmschen Gesetz U = R I)
Wechselstromwiderstand – Komplexe Impedanz:
U  Z   I
mit
- induktive Reaktanz:
1 

Z    R  i L 

C 

- kapazitive Reaktanz:
Z    Z L  Z C  Z R
- ohmschen Widerstand:
Z L  i L
i
ZC  
C
ZR  R
55
Experimente: Wechselstromwiderstände an Widerstand, Spule, Kondensator
Zeige:
ZR  R
ZC  
ZR  R
i
C
Z L  i L
ZC 
1

Z L  L  r
, da
r 0 N 2 A
L
L
56
2.6.4. Zeigerdiagramme
1 

Z    R  i L 

C 

Darstellung der komplexe Impedanz Z   in komplexer Zahlenebene
als „Zeigerdiagramm“ mit
tan  
Hier ist A  R und B  L 
B
A
und
Z 
A2  B 2
1
C
Auftragung der Impedanzen: Z R  R
Z L  iL
ZC  
i
C
- Phasenverschiebung  zwischen U und I da
i t  
U t   U 0 eit , I t   I 0 e
- am Widerstand:
- an Spule:
- am Kondensator:
und
 = 0,
 = +/2,
 = -/2,
U  Z   I
U und I in Phase
U eilt I um /2 voraus
I eilt U um /2 voraus
57
- allgemeine Darstellung von Z   im Zeigerdiagramm:
1 

Z    R  i L 

C 

1
C
Betrag der komplexen Impedanz:
1 

Z  R    L 

 C 

2
2
L
Phasenverschiebung:
tan  
Eulersche Darstellung
komplexer Zahlen:
Z  Z e i
1
 C
R
58
2.6.5. Erzwungene Schwingungen im RLC-Serienschwingkreis
I t 
UR
U t 
UL
U
komplexer Strom: I 
Z
mit
Eulersche Darstellung
für Z
1 

Z  R    L 

 C 

U 0eit U 0ei t  
I

Z
Z ei
2
2
ergibt sich für den Realteil von I
UC
I t   ReI  
U0
1 

R 2   L 

C 

mit Phase
2
cost     I 0 cost   
1 

  L 



C
 und
  ar tan 
R






frequenzabhängiger Stromamplitude
U0
I 0   
1 

R   L 

C 

2
2
59
Diskussion von
U0
I 0   
1 

R   L 

C 

2
2
I 0   hat Maximum, d. h. Stromresonanz, bei Resonanzfrequenz:
mit
I 0    r  
1
LC
U0
R
Resonanzkurve
I0 R
U0
  r 
Phasenverschiebung
Linienbreite  
R
L
Experiment: Stromresonanz im RLC-Serienschwingkreis
Erzwungene Schwingung
1 

  L 

 C 
  ar tan 
R







60
2.6. Elektromagnetische Wellen
2.6.1. Entstehung elektromagnetischer Wellen
- Wir betrachten RLC-Serienschwingkreis mit Induktivität (Spule) L und Kapazität (Kondensator) C
1
 r 0 N 2 AS
Induktivität: L 
Resonanzfrequenz: r 
LC
l
- Verkleinerung von L und C resultiert in Vergrößerung der
Resonanzfrequenz r, höheren Verlusten (in Analogie) zu
Widerstand R und „Energieabstrahlung“
Kapazität: C 
 r 0 AC
l

 Dipol
2
Strom- und Spannungsverlauf auf /2 -Dipol
t=0
t = T/4
t = T/2
t = 3T/4
Experiment: Visualisierung der Strom- und
Spannungsbäuche am  /2-Dipol
mittels Glühlampe (I) und
Glimmlampe (U)
- I z , t  ist analog zur Grundschwingung einer
Seilwelle mit festen Enden (eingespannten Seite),
stehende Welle mit /2 = l
c
c
- Resonanzfrequenz des /2-Dipols:   2 f  2  

l
1
mit Phasengeschwindigkeit c 
 0 r 0 r
c ist Lichtgeschwindigkeit im jeweiligen Ausbreitungsmedium
- /2 Phasenverschiebung zwischen I z , t  und U z, t 
61


Abstrahlung des elektrischen Feldes am Beispiel des Hertz‘schen Dipols: pt   p0 cos t


mit Dipolmoment p0  Ql
Animation Feldabschnürung
62
Elektrisches und magnetisches Feld der abgestrahlten elektromagnetischen (Fernfeld):

 
1  d 2 pt   
H r , t  
 er
4cr  d t 2 
t
r
 
E r , t  
 d 2 p t     
1

  er   er
2 
2 

4 r 0c r  d t t


r
mit retardierter Zeit
und Dipolmoment
 
1
E r , t   ,
r
 
1
H r , t  
r
geringe Schwächung mit zunehmenden Abstand
tr  t 
r
c


pt   p0 cos t
Signalübertragung
m
1 / 2
 2,998 108
Phasengeschwindigkeit der elektromagnetischen Welle: c   r 0 r 0 1/ 2 , im Vakuum: c0   0 0 
s
(Vakuumlichtgeschwindigkeit)


keine Phasenverschiebung zwischen E und H
  

 
aus E  c  r  0 H  er folgt E  H  er
Polarisation der elektromagnetischen Welle


H
oszillieren senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
E und
Ausbreitungsrichtung und Energiestromdichte


  

63
ist durch Pointingvektor gegeben S  E  H || er
S bzw. er der elektromagnetischen Welle


Experiment: Polarisation der Dipolstrahlung
64
Elektrisches und magnetisches Feld der abgestrahlten elektromagnetischen (Fernfeld):

 
1  d 2 pt   
H r , t  
 er
4cr  d t 2 
t
r
 
E r , t  
 d 2 p t     
1

  er   er
2 
2 

4 r 0c r  d t t


r
mit retardierter Zeit
und Dipolmoment
 
1
E r , t   ,
r
 
1
H r , t  
r
geringe Schwächung mit zunehmenden Abstand
tr  t 
r
c


pt   p0 cos t
Signalübertragung
m
1 / 2
 2,998 108
Phasengeschwindigkeit der elektromagnetischen Welle: c   r 0 r 0 1/ 2 , im Vakuum: c0   0 0 
s
(Vakuumlichtgeschwindigkeit)


keine Phasenverschiebung zwischen E und H
  

 
aus E  c  r  0 H  er folgt E  H  er
Polarisation der elektromagnetischen Welle


H
oszillieren senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
E und
Ausbreitungsrichtung und Energiestromdichte


  

65
ist durch Pointingvektor gegeben S  E  H || er
S bzw. er der elektromagnetischen Welle



Energiestromdichte – „Leistung P, die von elektromagnetischer Welle durch Einheitsfläche
senkrecht zur
d
a

Ausbreitungsrichtung, d.h. senkrecht zu Pointingvektor S , transprotiert wird“
 
dP  S da
Ausbreitungsrichtung und Energiestromdichte

  
ist durch Pointingvektor gegeben S  E  H || er
 sin 2 
S  2
r
66
2.6.2. Das elektromagnetische Spektrum
Charakter der elektromagnetischen Wellen ändert sich mit Frequenz  = c/
infolge der unterschiedlichen Energien der Lichtquanten E = h 
67


Neben Frequenz  und der Wellenlänge  sind die Amplituden des elektrischen und magnetischen Feldes E0 und H 0
sowie die Polarisation wichtige Parameter der elektromagnetischen Wellen.
Polarisationstypen:
- linear polarisiert
- zirkular polarisiert
- elliptisch polarisiert
- unpolarisiert
Experiment: Polarisation von Mikrowellen (  9 GHz,   0.027 m = 2.7 cm)
(linear polarisiert)
68