MSG-Hausaufgaben Serie 8

MSG-Hausaufgaben Serie 8
Abgabe: 03.12.2014
Lucas Mann
Verstehen
Aufgabe 1. Finde die kleinste positive ganze Zahl mit genau 5 (positiven) Teilern. Wie
kannst du aus dieser Zahl eine Zahl konstruieren, die genau doppelt so viele Teiler hat?
Aufgabe 2. Fred möchte mit möglichst vielen seiner Freunde Anna, Bert, Christine, Dennis
und Eva Geburtstag feiern. Er weiß folgendes:
a) Wenn Christine kommt, dann kommt auch Anna.
b) Wenn Bert und Anna zur Party kommen, dann wird Eva auf keinen Fall kommen.
c) Eva kommt nur dann, wenn auch Dennis kommt.
d) Anna kommt nur dann, wenn auch Bert oder Christine bei der Party sind.
e) Anna und Eva sind beste Freundinnen; entweder kommen sie beide zusammen zur Party
oder keine von beiden geht hin.
Beschreibe diese vier Aussagen mit Aussagenformeln, wobei du die Aussagen
A = Anna kommt zur Party,
B = Bert kommt zur Party,
C = Christine kommt zur Party,
D = Dennis kommt zur Party
E = Eva kommt zur Party
verwenden sollst (Beispiel: Die Aussage „Anna und Bert kommen zur Party“ würde man als
A ∧ B schreiben).
Zusatz : Ist es möglich, dass alle fünf Freunde zur Party kommen? Wie viele können höchstens kommen?
Entdecken
Aufgabe 3. Für eine positive ganze Zahl n bezeichnen wir mit ϕ(n) die Anzahl der ganzen
Zahlen zwischen (einschließlich) 1 und n, die teilerfremd zu n sind. Zum Beispiel ist ϕ(10) = 4,
denn zwischen 1 und 10 gibt es die zu 10 teilerfremden Zahlen 1, 3, 7 und 9 und das sind genau
4 Zahlen.
Berechne ϕ(12), ϕ(16), ϕ(21) und ϕ(30). Zeige, dass die folgenden Gleichungen gelten:
ϕ(3 · 4) = ϕ(3) · ϕ(4),
ϕ(3 · 7) = ϕ(3) · ϕ(7),
ϕ(5 · 6) = ϕ(5) · ϕ(6),
ϕ(3 · 10) = ϕ(3) · ϕ(10).
Das sind alles Gleichungen von der Form ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b). Stimmt diese Gleichung für
alle a und b? Für welche a und b gilt sie? Vergleiche mit τ (n) aus Serie 7, Aufgabe 3.
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Aufgabe 4. Zeige mithilfe einer Wahrheitswertetabelle die Äquivalenz der beiden Aussagenformeln A ⇒ B und ¬B ⇒ ¬A:
(A ⇒ B) ≡ (¬B ⇒ ¬A).
Das heißt, zeige, dass die beiden Aussagen immer den gleichen Wahrheitswert haben, unabhängig davon, ob A oder B wahr ist.
Formuliere außerdem einen sprachlichen Satz für die rechte Formel (zum Beispiel ist „Wenn
A richtig ist, dann ist auch B richtig.“ ein Satz für die linke Formel).
Die rechte Formel ¬B ⇒ ¬A nennt man die Kontraposition von A ⇒ B. Dass die beiden
Formeln äquivalent sind, hilft manchmal beim Beweisen: um A ⇒ B zu beweisen, kann man
auch zeigen, dass ¬B ⇒ ¬A gilt.
Schreibe die Kontraposition von folgenden Aussagen auf (finde erst eine Darstellung als
A ⇒ B, wobei A und B konkrete Aussagen sind, dann bilde ¬B ⇒ ¬A und formuliere das
als Satz):
a) Wenn es regnet, dann ist die Straße nass.
b) Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, dann ist sie auch durch 3 teilbar.
c) Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann gilt a2 + b2 = c2 für die Seitenlängen a, b, c des
Dreiecks, wobei c die längste Seite ist.
Anwenden
Aufgabe 5. Zeige, dass es keine dreistellige Zahl mit genau 11 Teilern gibt.
Tipp: Was ist die kleinste positive ganze Zahl mit genau 11 Teilern? Benutze die Formel
für die Anzahl der Teiler.
Aufgabe 6. In einem weit entfernten Land leben zwei verschiedene Bevölkerungsgruppen: Die
Wees, die immer die Wahrheit sagen, und die Ells, die immer Lügen. Ein Reisender betritt das
Land und begegnet prompt drei Bewohnern. Er fragt sie, wer sie sind, und bekommt folgende
Antworten:
Der erste der drei antwortet etwas auf seiner Landessprache, das für den Reisenden völlig
unverständlich ist.
Der Besucher dreht sich verwirrt zum zweiten Bewohner um, woraufhin dieser sagt: „Er
meinte, dass er Sie in unserem Land willkommen heißt und er behauptet, ein Wee zu sein.
Das stimmt auch, denn ich bin ebenfalls ein Wee und kenne ihn.“
Daraufhin protestiert der dritte Bewohner sofort und ruft: „Lügner! Ich bin hier der einzige
Wee. Diese zwei gehören zu den Ells.“
Diese Aussagen genügen dem Besucher bereits, um jeden der drei Angetroffenen seiner
Bevölkerungsgruppe zuzuordnen. Zu welchen Gruppen gehören die drei?
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